Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Пиковое значение главного лепестка равно К. В этом пиковом значении заложен некоторый смысл, не правда ли? Отсчет ДПФ Х(0) равен сумме исходных отсчетов, а сумма К единиц равна К. Мы можем показать это более строго, вычислив (3-43) при т = О. Когда мы подставляем т = 0 в (3-43), возникает трудность, т. к.
мы получаем выражение зш(0)/з1п(0), которое представляет собой неопределенное отношение О/О. Придется призвать на помощь высшую математику. Используя правило Лопиталя, мы можем взять производную числителя и знаменателя (3-43), и после этого подставить и = 0 для определения пикового значения ядра Дирихле. Это выполняется слелующим образом [Х(т) [ о= (с1/с1т)Х(т) = [4з1п(лтК/йг)[/гтт[/[г1[в(п(лт/Х) 1/гтт) = =[сов(лтК/йг)/соз(лт/о1) [ [с1(лтК/с1)/Йт 1ДЙ(лт/М)/йт[ = [сох(0)/сов(0)[ ° (лтК/?у)/(лт/К1) = 1 К = К, (3-44) На рисунке 3 24, изображающем х(н), Убыло четным. Если бы Убыло нсчстным числом, пределы суммирования в (3-35) были бы такими: — (М вЂ” 1)/2 < и я (?х'-1)/2. Использованиеис таких пределов суммирования привело бы нас точно к такому жс выражению для Х(т), как и (3-43).
что и требовалось показать. (Мы могли бы быть сообразительнее и вычислить (3-35) при т = О, чтобы получить этот результат. Попробуйте сделать это, помня, что е' = 1.) Если бы значения ненулевых отсчетов были равны не единице, а некого торому Ао, то, конечно же, пиковое значение ядра Дирихле было бы равно АОК вместо К. Следующий важный момент, касающийся ядра Дирихле, который следует отметить — это ширина главного лепестка.
Первый ноль выражения (3-43) возникает на частоте, на которой аргумент числителя равен л, т. е. когда л)лК/Ат = л. Таким образом, значение т для первого нулевого отсчета равно ш„„,„„,„„„=лА/як =К/К (3-45) как показано на рисунке 3.25 (Ь). Таким образом, ширина главного лепестка равна 2Ж/К, как показано на рисунке 3.25 (с), и обратно пропорциональна К'. (а) т4-мтк т=мк Х(т)( (.о ° к « о.в Го««пей лепесток . ( ) о.4 о г « ° « ° о «4-'ьч- «-и- «-н- «««- «««-«««- «-н- ° -в+4- ++4. -«м« -4.н«гмк пт Рис. 3.25. Ядро Дмрнхле: (а) периодическая непрерывная кривая, на которой лежат отсчеты Х(гп); (Щ значения отсчетов Х(гп) вблизи Гп = О; (с) модули (Х(гп) ( в окрестности Гл = О Посмотрите, главный лепесток на рисунке 3.25 (а) окружен рядом волн, которые называются боковыми лепестками, как на рисунке 3.25 (с).
Амплитуды этих 1 Это фундаментальное свойство преобразования Фурье. Чем уже функция в одной области, тем шире ее преобразование в другой области Ко о.в 0.6 0.4 (ь) 0 г о -ог Глава 3. Диск егное и еоб азованне Ф ье « ° «Щ «-к««.««««- ° «««- ° -н-~Г к«-т- «««-««и«-«-««а. ° .ф«й«км ° ° '. ° к О й ° .« т 3.13.ДПФп ямо гольных нкций к ь. ° а«« «« «« 11 яп) 0 в~ (в) 0 «««« ««а «а««««««««а а«а « )н+На«Н«а ««««а «а ° ° а« ° ««« а !ь -28 -24 -20 -16 -!2 -8 -4 0 4 8 12 16 20 24 28 82 Х!««1( ') 1 К=!! « -в в -20 -16 -12. « -4 0 4 "а 12 !6 20 О! (ь) 014«« Х!«««в (~) а 4 «12 16 24 28 а а а „° „-го „„-в ' «а 1+Н 2 +й+Н ~+Н44444 н«+)444, 28 -24 « -!6 -4 0 « « « Рис. 3.26.
ДПФ прямоугольной функции: (а) исходная функция х(п); (Ь) действительная часть ДПФ х(п), Хгаа)(т); (с) мнимая часть ДПФ х(п), Х (гп) )глад Хотя Х „((т) и Х,, (и) могут сообщить нам все, что можно узнать о ДПФ последовательности х(п), об истинной природе спектра Х(т) легче судить, рассматривая его абсолютное значение (модуль). Модуль спектра, рассчитанный боковых лепестков уменьшаются по мере удаления от главного лепестка. Но как бы далеко боковые лепестки ни удалялись от главного, их амплитуда никогда не становится в точности равной Π— и они представляют собой источник изрядной головной боли для специалистов по ЦОС. Боковые лепестки вызывают маскирование сигналов небольшой амплитуды мощными сигналами по соседству при спектральном анализе и создают определенные трудности при проектировании цифровых фильтров.
Как мы увидим в главе 5, нежелательные пульсации АЧХ в полосе пропускания и небольшое ослабление в полосе задерживания простых цифровых фильтров обусловлены боковыми лепестками ДПФ прямоугольной функции. (Для минимизации вредного влияния боковых лепестков, которые хорошо видны на рисунке 3.25, пришлось прибегнуть к проектированию и анализу окон, а также к разработке рекомендаций по их применению.) Продемонстрируем использование (3-45) на простом конкретном примере. Предположим, что мы вычисляем 64-точечное ДПФ прямоугольной функции, содержащей 64 отсчета, показанной на рисунке 3.26 (а). В этом примере Ж = 64 и К = 11. В результате вычисления ДПФ этой последовательности мы получаем последовательность Х(т), действительная и мнимая части которой Х,((т) и Х,, (т) изображены на рисунках 3.26 ())) и 3.26 (с) соответственно.
Рисунок 3.26 (Б) дает хорошую иллюстрацию того, что действительная часть ДПФ действительной последовательности обладает четной симметрией, а рисунок 3.26 (с) подтверждает, что мнимая часть ДПФ действительной последовательности обладает нечетной симметрией. ГлаваЗ.Диск егноеп еоб азоааниеФ ье 112 согласно (3-7), приведен на рисунке 3.27 (а), на котором хорошо видны главный и боковые лепестки. Как мы и ожидали, пиковое значение главного лепестка равно 11, потому что мы имеем К = 11 единичных отсчетов х(п). Ширина главного лепестка, согласно (3-45), равна 64/11, или 5.82. Следовательно, первая положительная частота, на которой модуль уменьшается до О, лежит немного ниже отсчета дискретного спектра [Х(т) [, показанного квадратиками на рисунке 3.27 (а) с индексом и = 6.
Фазовые углы спектра, определенные выражениями (3-6) и (3-8), показаны на рисунке 3.27, (Ь). 12 (Х(и)) ГО 8 8 8 2 » ° »»» 0 Щ»т»»~.+»28.~ »( Д -28 -24 -20 ° » »» (8) »» » »»»»»»»»» »» .+)+8»2»++»). »»++».т»инт»»+Ф (ь) О»„ »»„Х 00) »»»' о Рио. 3.27. ДПФ обобщенной прямоугольной функции; (а) модуль [Х(т) [; Оз) фаза а радианах Чтобы глубже понять природу ДПФ прямоугольных функций, обсудим е(це несколько примеров менее общих прямоугольных функций, которые в цифровой обработке сигналов встречаются чаще, чем х(п) с рисунка 3.24.
3.13.2. ДПФ симметричной прямоугольной функции Выражение (3-43) сложновато, т. к. исходная функция х(п) задана в самом общем виде. На практике частные случаи прямоугольных функций приводят к более простым версиям (3-43). Рассмотрим симметричную прямоугольную функцию х(п), показанную на рисунке 3.28. Как показано на этом рисунке, нам необходимо вычислить Д ПФ прямоугольной функции, центр которой совпадает с индексом и = О. Такую задачу приходится решать на практике доврльно часто. В этом случае последовательность из К единичных отсчетов начинается с индекса п = — и = -(К-1)/2. Соответственно, подстановка (К вЂ” 1)/2 вместо по в (3-43) дает о Х(т) = е)(2лт/Щ(К вЂ” 1)12 — (К вЂ” 1)/2), [яп(лтК/М)/яп(ллг/М)] = = еу(2"и/)У)(()) ° [яп(л тК/)()) /я п(лт/Ж) [ .
(3-46) Поскольку е)О = 1, (3-46) превращается в Симметричная форма ядра Дирихле: (3-47) 3.13. ДПФ и яме гольных нкций 113 — — — — К вЂ” зь- „° ° ° ° ° х(и) и-и- ° - ° -и-и-и-и- ° - ° -> — к-и-и-и-и-и-и-и-и О Л и и = (К-1)(2 НI2 Н(2+1 п о (К 1)12 Рис. 3.28. Прямоугольная функция х(п), содержащая К отсчетов с центром в точке п=О Формула (3-47) показывает, что ДПФ симметричной прямоугольной функции является действительной функцией, т. е. комплексная экспонента в (3-47) отсутствует, так что в этом частном случае ДПФ не имеет мнимой части нли фазового множителя.
Как мы установили в разделе 3.2, если х(п) — действительная и четная функция, т. е. х(п) = х( — п), то Х„„((т) отлична от О, а Х(,„(т) всегда равна О. Мы покажем это, вычислив 64-точечное ДПФ последовательности, показанной на рисунке 3.29 (а). х(п) в этом случае содержит 11 единичных отсчетов, центр которых приходится на индексе и = О. ДПФ этой последовательности дает последовательность Х(т), действительная и мнимая части которой показаны на рисунках 3.29 (Ь) и 3.29 (с) соответственно. Как и предсказывало выражение (3-47), Х„„( (т) отлична от О, а Х; „(т) равна О. Графики модуля н фазы Х(гл) приведены на рисунках 3.29(с() и 3.29(е).
Обратите внимание на то, что модули, показанные на рисунках 3.27 (а) и 3.29(1(), идентичны. Это подтверждает очень важную теорему о сдвиге, т. е. модуль (Х(т) ! зависит только от количества ненулевых отсчетов в х(п), К, и не зависит от их позиции по отношению к п = О. Сдвиг К единичных отсчетов при центрировании их относительно индекса и = О влияет только на фазу отсчетов Х(т) и не влияет на их модуль. Говоря о фазовых углах, здесь интересно будет отметить, что, хотя Х;~,„(т) на рисунке 3.29 (с) равна О, фазовый угол Х(т) отличен от нуля. В этом случае фазовые углы отсчетов Х(т) на рисунке 3.29 (е) принимают значения ч-л, 0 или — л радиан. При необходимости мы легко можем восстановить Х„„((п1) по (Х(п1)) и фазовому углу Х (т), поставив в соответствие углам +л и — л радиан множитель Ф -1.
Отсчеты Х„,((т) равны отсчетам (Х(т)), взятым со знаком, который меняется на противоположный при переходе из одного бокового лепестка в другой'. Чтобы яснее представить себе, что ДПФ прямоугольной последовательности является дискретизированной версией ядра Дирихле, увеличим количество ненулевых отсчетов последовательности х(п). На рисунке 3.30 (а) показана 64-точечная последовательность х(п), содержащая пакет из 31 единичного отсчета с центром в точке и = О. Модуль Х(гп) приведен на рисунке 3.30 (Ь). Расширяя прямоугольную функцию х(п), т. е. увеличивая К, мы сделали ядро Дирихле Х(гп) уже.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
