Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 25
Текст из файла (страница 25)
3.39. Обратное ДПФ прямоугольной функции, центр которой находится в точке т = О: (а) исхоДнаЯ фУнкЦиЯ Н(т)' (Ы )77 ((п); (с) )7(70 (и); (б) моДУль )7(п): (е) фаза )7(п) в радианах И, т. к. е'" = 1, (3-58) превращается в Ь(п) = (1/(5() ° [яп(лпК/Ю)/яп(лп/)5()) . (3-59) Выражение (3-59) говорит нам, что обратное ДПФ симметричной прямоугольной функции, показанной на рисунке 3.38, тоже является действительной функцией, и это мы можем показать на примере. Мы выполним 64-точечное обратное ДПФ последовательности, показанной на рисунке 3.39 (а). Здесь функция О(и) представляет собой ) ( отсчетов, равных единице и центрированных относительно индекса и = О.
В атом случае обратное Д ПФ дает последовательность Ь(п), действительная и мнимая части которой приведены на рисунках 3.39 (Ь) и 3.39 (с) 4 11 (и) 3 2 1 (е) О -1 -2 3 вв ГлаваЗ.Диск етноеп еоб азованиеФ ье а ° -8 8 „, ° в а 16 12 ава '4 0 4 вава 12 16 26 28 3() Э. 14. Частотный откликД)7Ф на комплексный входной сигнал 125 3.14.
Частотный отклик ДПФ на комплексный входной сигнал В этом разделе мы определим частотный отклик У-точечного ДПФ, когда входная последовательность представляет собой дискретную комплексную синусоиду, обозначенную как хс(п). Под частотным откликом мы имеем ввиду выходные отсчеты ДПФ при преобразовании комплексной синусоидальной последовательности.
Мы начнем с графика входной последовательности х,(л), приведенного на рисунке 3.40. Эта последовательность имеет форму х,(п) = е12™?Н, (3-60) где?с — количество полных циклов на интервале в Жотсчетов. На рисунке ЗАО показана хс(п) для случая )1 = 2. Если мы обозначим выходную последовательность ДПФ как Х (т) и полставим паш сигнал х (и) в формулу ДПФ (3-2), то получим и — 1 и-1 Х (т) = с х (п)е -1злпт,'1У = > е12тпк/и'е -12лпт1м с б с ,л п=О М-1 (3-61) ,12лп(1с — сп)?У и=-О Если мы положим Ч = К, п = р и о =- — 2п(к — т)/)Ч, выражение (3-61) превращается в К вЂ” 1 Хс(т) = ~~~ е — 1РЯ р=о (3-62) Почему мы сделали подстановки в (3-61) с целью получить (3-62)? Потому, что мы уже работали с выражением (3-62), когда оно имело номер (3-39).
Результат в замкнутой форме был представлен выражением (3-41), которое мь1 повторяем здесь в виде К-1 Хс(т) — — ~~', е — ЛО = е 1О(х 1)?з 'з(и(дК/2)/з(и(с?/2). (3 63) р=о Возвращая переменные из (3-61), мы получаем окончательный результат: Хс(т) = е13л(1с-сп)-л(1с сп),'У1 . 'яп~л(тс -т)~ мигал(А' тУГУ 1 ДПФ комплексной синусоиды: (3-64) соответственно. Как и предсказывает (3-47), й„„1 (и) отлична от нуля, а Ь,п„(п) равна нулю. Модуль и фаза последовательности Цп) показаны на рисунках 3.39'(с1) и 3.39 (е).
(Здесь мы тоже сделали функции на рисунке 3.39 более удобными для сравнения с прямым ДПФ на рисунке 3.29.) На самом деле нам нужна действительная часть Ь(п). Значения Ь„„,~(п) используются как коэффициенты фильтра при проектировании КИХ-фильтров нижних частот, которые мы будем рассматривать в разделе 5.3. 126 Глава 3. иск етное и еоб азоввние Ф ье (а) О мя (л) ~ Мнимая часть к,(л) 1 вя ° вюв ° ° ° я м1 я Ю (Ь) О Я+++++++В+++++4-+в+++++++В++++++4-В -1 Ю Время (л) я як ввв Рис.
3.40. комплекснаЯ последовательность хс(л) = е12ллх/и во вРеменной области, имеющая два полных периода (к = 2) на интервале в И отсчетов: (а) действительная часть к (л); (Ь) мнимая часть х (и) Как и ядро Дирихле в (3-43), Х,(т) в (3-64) представляет собой комплексное выражение, в котором отношение синусов есть амплитуда Х,(т), а экспоненциальный сомножитель дает фазовый угол Х,(т). В данный момент в (3-64) нас интересует только отношение синусов.
Его модуль показан на рисунке 3.41. Заметьте, что, т. к. хг(п) является комплексным, в Х,(т) отсутствуют компоненты с отрицательными частотами. Сосредоточимся на серой кривой на рисунке 3.41. Эта кривая представляет собой непрерывное преобразование Фурье комплексной последовательности х, (п) и может рассматриваться как непрерывный спектр последовательности хз(п)'. Под непрерывным спектром мы понимаем спектр, который определен для всех значений частоты, а не только для частот анализа У-точечного ДПФ, кратных у', /И.
Форма этого спектра с главным' н боковыми лепестками является прямым и неизбежным следствием анализа последовательности ограниченной ллптельности, подобной последовательности хк(п) на рисунке ЗАО. Мы можем получить этот непрерывный спектр аналитически, взяв непрерывное преобразование Фурье нашей дискретной последовательности х,(п), которое некоторые авторы называют дискретно-временным преобразованием Фурье (ДВПФ), по мы не можем практически вычислить непрерывный спектр на компьютере. Поэтому ДВПФ определено только для бесконечно длинных последовательностей, а его частотная переменная непрерывна при бесконечно малом разрешении по частоте.
Но мы можем, однако, использовать ДПФ для вычисления аппроксимации непрерывного спектра последовательности х„(п). Результатом ДПФ, представленным точками на рисунке 3.41, является дискретизированная версия непрерывного спектра. Мы могли бы брать отсчеты непрерывного спектра более Точно так же, как мы вычислили пиковое значение ядра Дирихле в (3-44) с помощью правила Лопнтзля, мы можем показать, что пиковое значение Х,(т) вида (3-64) равно 3. 14. Частотный отклик ДПФ на комплексный входной сигнал 127 Эта кривая представляет непрерывное преоврааование ( вдпэ рактеристика и етг пан н н К ~ ~ 5 г 4 ~ ~+~ О к.5 " ьз кн к+т ьз К к+5 Рис.
3.41. Модуль реакции ДПФ на комплексную синусоиду, имеющую )с полных периодов на интервале в И отсчетов, вида х (и) = е . „/И !грп <тв дпф актеристика О ь5 ЫОД5 Рис. 3.42. Модуль И-точечного ДПФ комплексной синусоиды, имеющей )с+0.25 периодов на И отсчетах последовательности хс(п), демонстрирующий утечку спектра Аналогично тому, как для ДПФ прямоугольных функций мы построили несколько выражений, собранных в таблице 3.2, можно выразить амплитуду отсчетов ДПФ комплексной синусоиды разными способами и получить таблицу 3.3. Здесь вдумчивый читатель может заметить, что реакция ДПФ на комплексную синусоиду, имеющую кт периодов на интервале накопления, на рисунке 3.41 выглядит подозрительно похожей на реакцию ДПФ на прямоугольную функцию, все отсчеты которой равны единице, приведенную на рисунке 3.32 (с).
Причина, по которой формы этих двух кривых на рисунках так похожи, состоит в том, что эти кривые одинаковы. Если бы наша входная последовательность была комплексной синусоидой, имеющей т5 = 0 периодов, т. е. представляла бы собой последовательность одинаковых отсчетов, то отношение синусов в (3-64) было бы равно часто, т. е. получать более точную аппроксимацию, дополнив исходную последовательность х,(п) нулями и'вычисляя ДПФ большей длины.
Мы проделывали зто на рисунке 3.21. Рисунок 3.41 показывает, почему, когда частота входной последовательности точно совпадает с центром бина и = К выходные отсчеты ДПФ равны нулю для всех бинов за исключением бина т = 4. Если бы частота нашей входной последовательности была такой, что на том же интервале умещалось бы 15+0.2з периодов, ДПФ дискретизировало бы непрерывный спектр так, как показано на рисунке ЗА2, где все выходные отсчеты ДП Ф отличны от О. Это иллюстрация утечки спектра, описанной в разделе 3.8. Е Е Е 6 ~с з э Е Ф С,( 6 Е Е Ф 6 ~с Е Е ° а Д 6 Е ~с Е Е 0 Е ~с съ Ю й с (о о о (у 5 сд Ф 2 ы л Я Ф 5 5 с~ л о о л 5 о Я л д х О Ф с х о а д е 5 5 5 Ф И Ф (д с а о д е Ф ((1 а л ~~ Д 61 5 ФЛ 5 а а о д 1 !' ~; Е щ Ф) Я д М Е Я 'й о \5 д В (6 о о х ~,. Ф:,е Ф ', 51~~х ,'1 51с(а Д 1' Ф ~Р ~(р(ОФ (Д (6 а (™ ссв С О С~ 5 од СС С 5 5 ДИ о.
й о( в (д т х В(о а Ф ада х (- о О д О О О ддо '1са Ф а о а Бсто авх а с в ~ ~О с~ о О Д ОС 5 .(6.(5 О о с а до аод ИФО са О а о.о о х в 4 ~у о е с св а х х а 5 1- 5 О 5 (д о ~ а х о а О а д а И д с (5 в (6 с $Е ~со в Ф а ох д д а о вс д'5 5 а о о о О И ох 5 о 3й О с ~ О о а 5 5 а 5 )5 Ф о а О О 5 Ф с( с— с ф йо о х О еУ а (д О В 1 (д а 5 ~ О (д О а х с л а (в ло 5 Яу сс- О ОФ Б о < а а л е3 а ф 5 О 5 5 а Ф 1 (6 5 а 1- а О х о а (6 6 ав (6 О с (у(- ~са ИО с а о асд д 5 аоа ИДИ 55 с а Оод 1( 15 о с(' х а Д 5 1- 5 О 5 5 а. Ф 61 (д 5 а О х о а д а ~~ Свв 6( ~ 5 з дод с, 61 Ф а ад О ~ сов 61 5 о о х а ад 5 О Ох С авх Б 5 Л с оо о~" ~ О о а( 3.
15. Реакция ДПФ на действительный косин соидальный сигнал 129 яп(л(0 — т)]/яп(л(0 — т)/Л1] = яп(лт)/] — яп(лтПЧ)] = = яп(лт)/]яп(лт/У)] ', 3.15. Реакция ДПФ на действительный косинусоидальный сигнал Теперь, когда мы знаем, как выглядит ДПФ комплексной синусондальной последовательности, легко определить ДПФ действительной косинусоидальной последовательности. Допустим, мы хотим получить ДПФ действительной дискретной косинусоиды, подобной показанной на рисунке ЗАО (а) и выражаемой в виде лг(п) = соз(2лпИ/М~, (3-71) где я — целое количество полных периодов, умещающихся в У отсчетах. Вспомнив тождество Эйлера соз((О) = (еФ+ е Ф)/2, мы можем представить требуемое ДПФ Х„(т) как Н-1 1Ч вЂ” 1 Х„(т) = ~ х (п)е 17лпт/и = )' соз(2лпИ/И~е 12лпт/11 = п=О п=О Н-1 — (е12лпп/У+ е — 12лпп/ю)/2, е — 12лпт/и = Н-1 й' — 1 = (1/2) )' е1плп(Ь-т)/Н+ (1/2) )' е Рлп(Ь+т)/lп1 (3-72) п=.О п.=О К счастью, мы только что закончили вывод замкнутой формулы для суммы вида (3-72), так что мы можем записать Х„(т) в замкнутом виде Х„(т) = е1]л(Ь ) — (Ь вЂ” и)/Н] ° ( 1/2) яп]л(й — т)] /з1п[л(й-т)/1л] + + Е1РлЯ- т) -лЯ+т)/Н) ° ° (1/2) яп(л(л+т)] /яп]л(й+т)/Л1] .
ДПФ действительной косииусоиды (3-73) Модули двух отношений синусов показаны в виде функций япс на рисунке 3.43. Здесь, как и раньше, ДПФ дает дискретизированную версию непрерывного спектра входной косинусоиды, и т. к. й = т, только один бин ДПФ отличен от нуля. Поскольку входная последовательность ДПФ действительна, Х„(т) содержит компоненты как на положительных, так и на отрицательных частотах. Первое слагаемое в (3-73) описывает часть спектра, соответствующую положительной частоте на рисунке ЗАЗ, а второе слагаемое описывает компоненты Х„(т), соответствующие отрицательным частотам. что идентично форме ядра Дирихле для последовательности, состоящей из одних единиц, в (3-48). Форма отклика ДПФ Х,(т) представляет собой функцию япс ядра Дирихле. 13О Глава 3.
иск етное и еоб аэование Ф ье Если изменить частоту анализируемого косинусоидального сигнала так, что она не будет соответствовать центру !1-го бина и станет соответствовать, например, я+0.25, то мы снова увидим утечку спектра, как показано на рисунке 3.44. (Мы использовали это представление о ДПФ действительной последовательности, чтобы показать утечку спектра, в разделе 3.8.) Приведенные в таблице 3.4 различные математические выражения для реакции ДПФ в области положительных частот на входную действительную косинусоидальную последовательность представляют собой просто выражения из таблицы 3.3 с дополнительным множителем 1/2. ,(лт)! дпе рактеристика И 2 И н г ) Эта кривак, включал ее часть , ! в области отрицательных частот, преаставпиет непрерывное преобравованиа атрьа от х[п! = сов(гкласк! ~-и а — 'и и ( -и и' ° и+В О Ь4„2 Н-г„, В Вь! ага+за+4 ! ' ! ! ' ! -Ь4 Ьза-2 „а -в+2„-4+4 Рис. 3.43.
Модуль (у-точечного ДПФ действительной косинусоидальной последовательности х (и) = соз(2гтлтс/й), й полных периодов которой укладываются на интервале в И отсчетов 3.16. Реакция отдельного бина ДПФ на действительный косинусоидальный сигнал Теперь, когда мы разобрались с реакцией Х-точечного ДПФ на действительную косинусоиду, мы завершаем эту главу, рассматривая реакцию отдельного бина ДПФ. Мы можем рассматривать отдельный бин ДП Ф как своего рода поло- совой фильтр и это полезное представление используется, например, для описания гребешковых потерь (раздел 3.10), при проектировании банков фильтров в частотной области, а также при реализации метода частотного мультиплексирования в телефонии, известного как трансмультиплексирование 115~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
