Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Если мы в (3-47) подставим частоту т/з/Мвместо т/У, мы получим выражение для ДПФ симметричной прямоугольной функции при К < Х, в котором частоты выражены через частоту дискретизации/, в Гц. Это выражение имеет вид Х(тО = Гяп(лтК1,/Ж)/яп(лт/з/Ж)~ . (3-51) Для прямоугольной функции при К = Унормированная по амплитуде аппроксимация функции яп(х)/х в (3-50) может быть выражена через частоту дискретизацииуз в Гц как Х(т/;) = (яп(лт/;)/яп(лт1;) ) . (3-52) 3.
13.4.2 Частотная осы ДПФ в радианах в секунду Мы можем измерять частоту отсчетов спектра Х(т) в радианах/с, выразив частоту дискретизации во временной области в радианах/с как ш,=2лГк В этом случае каждому отсчету Х(т) соответствует круговая частота ш, /У = 2лт~', /Х радиан/с. ГГри этом разрешение по частоте составляет шз /У = 2л/з /Мрадиан/с, а период повторения ДПФ равен ш, = 2л~; радиан/с, как показано на рисунке 3.34 (Ь) в скобках. Поскольку ш, = 2л/„л/; = ш, /2. Если мы подставим в (3-51) ш, /2 вместо л/„мы получим выражение для ДПФ симметричной прямоугольной функции при К ( Х как функцию частоты дискретизации ш, в раднанах/с; Х(тш,) = яп(лтКшз /2М)/яп(лтш, /2)У) .
(3-53) Для прямоугольной функции при К = Мнормированная по амплитуде аппроксимация яп(х)/х в (3-50) может быть выражена как функция частоты дискретизации ш, в радиан/с как Х(лкв,) = 2яп(тш, /2)/тш, . (3-54) 3. 13.4.3 Частотная осв ДЛФ при использовании нормированной угловой переменной Многие авторы упрощают запись выражений, используя нормированную переменную для круговой частоты ш, = 2л/з. Под нормированием мы понимаем то, что частота дискретизации /, полагается равной 1, вследствие чего нормированная круговая частота ш, принимает значение 2л.
Следовательно, частотная ось Х(т) теперь размечена значениями нормированного угла ш, и каждому отсчету Х(т) соответствует угол тш/7у'радиан. При использовании этого соглашения разрешение по частоте равно ш/Ж радиан, а период повторения ДПФ составляет ш = 2л радиан, как показывает выражение в квадратных скобках на рисунке 3.34 (Ь). К сожалению, использование этих трех представлений частотной оси ДПФ иногда ставит новичков в тупик.
При изучении литературы читатель может переводить одно представление в другое с помощью рисунка 3.34 и таблицы 3.1. 3.13.5. Альтернативная форма ДПФ прямоугольной функции, состоящей из одних единиц. Использование нормированной формы частотной оси, показанной в последней строке таблицы 3.1, приводит к другой часто используемой форме ДПФ прямоугольной функции, все отсчеты которой равны 1, показанной на рисунке 3.31. Если мы примем дискретную переменную в частотной области в форме а) 2лт/1Х', то )гт = Же) /2.
Подставляя Же) /2 вместо лт в (3-48), мы получаем Выражение (3-55), соответствующее третьей форме выражения (3-34), иногда встречается в литературе и также имеет модуль, изображенный на рисунках 3.32 (Ъ) и 3.32 (с). Мы рассмотрели так.много разных форм ДПФ различных прямоугольных функций, что здесь уместно свести их все в одну общую таблицу 3.2. 3.13.6.
Обратное ДПФ обобщенной прямоугольной функции Теперь подумаем о вычислении обратного ДПФ прямоугольной функции в частотной области. Имея прямоугольную функцию Х(т), найдем соответствующую функцию во временной области х(п). Мы можем определить обобщенную форму прямоугольной функции в частотной области так, как мы зто делали на рисунке 3.24, получив результат, показанный на рисунке 3.35. К )в- 1 ° ° ~ ° ° ° ° ~ ° ° ° ~ ° Х(т) Л о к т т=-т, +(К-1) М2 т=-т„ - )У) 2+1 Рис. 3.35. Обобщенная прямоугольная функция в частотной области длительность в К отсчетов на интервале в )У отсчетов при К< И Обратное ДПФ прямоугольной функции Х(п)), показанной на рисунке 3.35 имеет вид №2 х(и) = (1/Л)) ~~~, Х(т) егвк 1 /и (3-56) т= — (Ку2) ь1 Те же алгебраические преобразования, которые мы использовали в (3-43), можно применить к (3-56), что приводит нас к х(п) = е зд2 кРУ кв — <к-1)/2) (1/Лг) )яп(2льК/)У)/яп(лп/й))) (3-57) Форма ядра Дирихле для прямоугольной функции, все отсчеты которой равны 1 (Тяп 4): Глава 3.
Диск етное и еоб азоаание Ф ье Х(те),) = яп(ЛЬ /2)/яп(а)т /2) (3 55) 3. 13. ДПФ п ямо гольных нкцнй 121 для обратного ДПФ прямоугольной функции, показанной иа рисунке 3.35. Все, что мы говорили о (3-43), в равной степени применимо и к (3-57), за исключением масштабирующего множителя 1гУ и изменения знака показателя экспоненты. Воспользуемся уравнением (3-57), чтобы вычислить 64-точечиое обратное ДПФ прямоугольной функции, содержащей 64 отсчета, которая показана иа рисунке 3.36 (а). Обратное ДПФ последовательности, показанной иа рисунке 3.36 (а), дает иам последовательность х(п), действительная и мнимая части которой, х„о) (и) их, (и), показаны на рисунках 3.36 (Ь) и 3.36 (с) соответственно.
Положив в этом примере У = 64 и К = 1 1, мы получили возможность легко сравнить функции, полученные в результате обратного ДПФ и показанные иа рисунке 3.36, с функциями, полученными в результате прямого Д ПФ и показанными иа рисунке 3.26. Замечаете подобие действительных частей, Х„, ((и) и хгао)(л), иа рисунках 3.26 (Ъ) и 3.36 (Ъ)? Обратите также внимание иа противоположность знаков мнимых частей иа рисунках 3.26 (с) и 3.36 (с). 11 Х(м) »а аа» а»аа ол~ -28 -24 -20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 Ог (а) 0.2 г»»1 (гг) ,» озгг О.ГО оз г а ° ' 8 и .
а 8 » Ц 4»»»а»а»»»а»»44+)4» 4+4+44 165~~ .таагг84 г 6+ю- -20 -16 -12 а» -4 0 4»а 12 16 20 О (Ы 0.05 о -0 05 и, »о(п) о .оз 0 02 (с) » а, г,г »а » а, и »» » 8 20 ааа и ° а » ° "м а -го -24 а -М «а»4+4Ь) . о агг а аа а ° а ° а » а а аа »' а Рис. 3.36. ОбратноеДПФ обобщенной прямоугольной функции: (а) исходная функ- цияХ(т); (Ь) действительная частьх, )(п); (с) мнимая частьхкл (и) Модуль и аргумент х(п) показаны иа рисунках 3.37 (а) и 3.37 (Ъ).
Обратите внимание иа разность пиковых значений главных лепестков иа рисунках 3.27 (а) и 337 (а). Пиковое значение иа рисунке 337 (а) равно К/Х = 1 1гг64 или 0.172. Обратите также внимание иа то, что знаки фазовых углов иа рисунках 3.27 (Ъ) и 3.37 (Ь) противоположны. Графики иа рисунках 3.26, 3.27, 3.36 и 3.37 дают хороший пример фундаментальной дуальиости прямого и обратного ДПФ. сч )О )ГЪ С)Ъ 66 «О ОЪ Ю Рч Е з Е 'й Я Е с й ~с Е Е Е ~с Е з СЧ 3 СФ 1! Е Е Е с Е Е 6 Е Е 'й !1 ~с Е Е с 'й 0 Е ~с , 'Г Ф~: Е-'« ,' Ф; ~Ф -$ а/~ ~4 ..
Ъ«Д )) Е с )5 г . л х , в д Л ); «Ф е 2 ! ,'.66 О 5 Л, 5 О Б )В, ъд« к 5, ллх а Ъ« 5 О У о'~ ' с ) о щ л о а Д 6Ъ СЧ х о Б,, щ,)00 х с ) ',Ео Ц х 5 ъа Ф Ъ« 5 О. с 5 5 в )5 О л о л о )5 р Е Ф ао ( х Ф Б о о 5 Е о су х~ й х Ф Ф СЪ )5 о а о в о с Ъ«5 Ф Фс~ Ф о "а 5 5 во Ф о д .6 д с о о о о о лс о Ф с 5 е" С л чв Ф О. )5 о а сч о Ф о с ). ъ«5 .а Ф сС о о "а 5 Я~ 5 5 о СС д х л 5 с о о )- лс о Ф й х са с с х~ ъа с л чв Ф о 6) 0 -а «У с ъ«Е )5 Ф Ъ« о « х Л 5 о о ) ло о с йх ас С 5 еЫ с х с л Р х в в с о Ф Ф )5 о 066 х ав хО с Вод о Ф ал Ф хйй Бфх а ОУ 0 л 5 Д ОСС ~С 5 аа с Ф 5 5 5 л~ вв 5 о ~в д а х с о О 5 л СС о ~ ~ о с а о с Ф )5 У о в д в у а 5 Ф Ф Ф О л х хв о ъа с~ аъ 5 5 л в„, '05 о д о л Ф У о лв о а Ф а У ав с о Е х Ф с~ М $а ~ Фл 5 с с л л х Ф Ш) овв Ф Ф )5 Оо5 д 0.5 дох Фос В 6) 0 ~ 5 ал ъ: Ф а а У„о О „5 Х о ах 3 л о а$ 5 а 55 в а) д 3 Вх )5 Д 5 л Ф о а л Ъ« О о й ~с о х у У 5 О а л ~в аъ 5 Л а о" ав Ф о Ф 5 0 о м 6Ъ д У лй в Ф 'о о д Лс О.
о Ф лв о а Ф У ав с о е д Ф с~в о Фас Фвд с 5 2х~ Ф в да О ВФ са 'а з 005 д ах ход Фв о ФФ О" 5 ай~. 5, Ф ~Фа У М ао о ОЛ5 х о а« ( 1 «ч з з з ~с о д л Ф в л О. 0 )5 О О Ф ах о р о л д л Ф Ф ъ« Фа у о О 5— ча ) О х Ф~; Ф л О 5", 6' х '" ', ХО 5~' д 5 „а а~' лиц' о о! '5 х а, о с а оф з~ Лв 0)' Оол~) С ~ 5„ е Ф~ слв с~а) с~) 3.
13. ДПФ и яме гольных нкций 123 02 й(0)) ° «„оотг « О 15 0.1 0 05 « «« «« ° * « „„«« е «« «« « е )"': .гв -24 -го 15 -12 -в ч о 4 в а гв го г4 гв .««10) о " ««, в~ и Рис. 3.37. Обратное ДПФ обобщенной прямоугольной функции: (а) модуль |х(л) ); (Ь) фаза х(п) в радианах 3.13.7. Обратное ДПФ симметричной прямоугольной функции Ь(п) еу(2ае/н)((к 1)72 (к 872) ( 1/Ы) [в(п(ппК/~)/в(п(лп/))1 = е1(2 е~н)(е) ° (1/М) ° [яп(ппК/Х)/яп(лп/Л1)~ . (3 58) и 1 а ° ° а ° ° а ° а аа е ° И(гл) е- ° - ° -а-а- ° -а-а- ° -е-ВаА т т = <к-1У2 Н12 а ° а ° ° ° ° а ° Ь а О - Н/2 4 1 « -,„« -(к-1 Уг Рис. 3.38. Прямоугольная функция в частотной области шириной Котсчетов, определенная на (ч' отсчетах Обратное ДП Ф обобщенной прямоугольной функции, приведенной на рисунке 3.36, не часто встречается в цифровой обработке сигналов.
Но при обсуждении вопросов, связанных с цифровыми фильтрами, мы будем иметь дело с обратным ДПФ симметричных прямоугольных функций. С обратным ДПФ такой функции мы сталкиваемся при изучении проектирования цифровых КИХ-фильтров нижних частот методом окон. Расчет фильтра этим методом начинается с определения симметричной функции Н(т) в частотной области, такой же, как на рисунке 3.38. Затем для вычисления коэффициентов КИХ ФНЧ вычисляется обратное ДПФ этой последовательности. (Коэффициенты КИХ-фильтра во временной области обычно обозначаются как Ь(п) вместо х(п), так что в оставшейся части книги, посвященной обратному ДПФ, мы будем использовать обозначение Ь(п).) В случае функции Н(т) в частотной области, имеющей вид, приведенный на рисунке 3.38, пакет из К отсчетов, равных единице, начинается при т = — т, = — (К-1)/2.
Подставляя (К вЂ” 1)/2 вместо т, в (3-57) получаем 1т Н(и) ваввваааав ° оь~ 0 ° в вв ° абвввв вва вава +5444Ч4+Ы+ввввввва ввааавваа в аба аа(М -28 -24 -20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 20 24 28 32и (8) 02 О 1(и) ввв 0.172 в а 0.15 0.1 0.05 О -0.05а 04 О, (и) 03 (с) 0 2 01 0 а авва в в ° вваввввв аваававабва ввавв аввввабаавваававвавв в4а- 28' 24' 20' 16 12' 8 4' 0 4 8 12 16 20 24 28 и (11(и)( 0.172 0.1 О. (д) 0 0 в ° ввв вв в ав 28 .24 .20 .16 .12 .8 .4 0 4 8 12 16 20 24 28 и о 4+6 в вввавв а «ва ° а Оввва444)44ввв '44+444 ' в ° ° вба48(444В аава44-)444в8вава 4444 ав ввв ° ааааа -а .4 А Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
