Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Чтобы определить частотную характеристику отдельного бина, рассмотрим случай, когда на вход ДПФ подается действительная косинусоидальная последовательность х„(л), и будем фиксировать модуль единственного бина т = !(. Пусть частота входной косинусоидальной последовательности изменяется от частоты, при которой на интервале накопления укладывается Й<т периодов косинусоиды, до частоты, при которой на интервале накопления укладывается 4 >и периодов косинусоиды.
Если мы при этом измеряем значение бина т = тг, мы увидим, что его модуль должен изменяться в соответствии с непрерывным спектром входной косинусоиды, показанным на рисунке 3.45 серой линией. 2~! 4~ 6 Е Я Е Е 6 :с Е Е с я 0 ~с Е Д Е с а 6, Е ~с Е Е 6 Е ~с Е ° с Я Е Е а 'й с Е ~( И ~И 5 5 о '~ »5 'Ф со а 5 с со 1 »о 2 л а с а Ф д 5 л й с оо ~5 Ф Ф а а а о л х с а 55 ~- с о с ~- о о х а а х Ф 5 а с о, Ф 'С 5 о а о * С >5 5 д о о ас о ц') х О й о е С Ф с~ о а Я Ф Ф Д5 й 5 а л о а5 во Ф 2 5 5 а о а о с с Е О Ф а ~- о о йа а о с т ~ хо ;о.т »5 л 5 ао .с Ф 5 Ф 5 о' о '5 о Ф ( а о 1 еИ 5 О 5 Ф а х Ф а Д 5 а 5 „д р Ф в й 5 а о )5 до Ф ай а~ 4й )5 ь ~5 2 .с й с о Ф х Ф 5а й 5 О Ф ао а * о еЬ с й сс о с с 5 О х Ф ас а 5 Ф а й 5 а 5 5 5 5 д Ф о ~ д й ~И О 5 Х о х Ф 5 5 Б О.
Ф 5 $- 5 о »5 о о а х й »5 Ф с 2 ~ Ф й 5» й Ь Ф а й с" сс а с 5 5 о х 1 а о Ф а о а х о Ф ь 5 с й й Ф Л 5 й о а )5 5 » а д 5 Х о Ц~ л й о Ф х да С 5 а 5 5 5 а с Ф о д Ф 5 й О. 5 О 5 ~ о )5 о 5 а е о Э, Х 5 й Ьа~ Ф ао а 5 О а 1: ~5 с~ о й о 5 ал х О, дф ~ С 5) 55~, 5 д,'~ а Ф й у дй ~ 5И)', О 5 д, Хо' 132 ГлаваЗ.Диск егноеп еоб азованиеФ ье «+О.гв -ваге Рис. 3.44. Модуль )ч'-точечного ДПФ, демонстрирующий утечку спектра действитель- ной косинусоиды х,(л), которая на )ч' отсчетах имеет 1+0.25 периода На рисунке ЗА5 (а) показано значение бина т = )г, когда частота входного сигнала х„(п) равна к = т — 2.5 периодов на интервал накопления.
Повышая частоту х„(п) до )г = т — 1.5 периодов на интервал накопления, мы получаем значение бина т = )г, показанное на рисунке 3.45 (Ь). Продолжая повышать частоту х,(п), при 4 = т мы получаем значение бина т = )г, показанное на рисунке ЗА5 (с). Изменяя частоту входного сигнала, мы можем заметить, что модуль бина т = )г должен изменяться по тому же закону, что и непрерывный спектр косинусоидальной последовательности, показанной на рисунке ЗА5(о)) черной линией.
Это значит, что частотная характеристики отдельного бина при подаче на вход ДПФ действительной синусоиды описывается функцией з)пс, которая определяется выражениями (3-74) — (3-79). 3.17. Интерпретация ДПФ Теперь, когда мы кое-что узнали о ДПФ, самое время убедиться в том, что мы правильно понимаем, что в действительности представляет собой ДПФ, и постараться избежать обычных заблуждений относительно его поведения. В литературе по ЦОС мы найдем разделы, посвященные непрерывному преобразованию Фурье, рядам Фурье, дискретно-временному преобразованию Фурье, дискретному преобразованию Фурье и периодическим спектрам. Чтобы не запутаться во всех этих понятиях, требуется приложить определенные усилия, особенно когда вы читаете или слышите что-то вроде «ДПФ предполагает, что его входная последовательность периодична во времени».
(Вы удивляетесь, почему это так, поскольку ничего не стоит вычислить ДПФ апериодической последовательности.) Такое замечание в лучшем случае сбивает с толку, т. е. ДПФ не требует подобных предположений. Далее я постараюсь изложить свое понимание природы периодичности последовательностей во времени и по частоте. Рассмотрим непрерывный сигнал бесконечной длительности, содержащий единственный импульс конечной длительности, показанный на рисунке 3.46 (а). Модуль непрерывного преобразования Фурье (НПФ) такого сигнала представляет собой непрерывную функцию частоты Хг(ге). Если этот импульс можно описать аналитически (математической формулой), то функцию Х1(ге) можно также найти аналитически, взяв интеграл Фурье. (Весьма вероятно, что вы делали это в 3.17. Инте п етация ПФ 133 качестве домашней или контрольной работы.) Непрерывная частота го измеряется в радианах в секунду.
Если мы возьмем НПФ бесконечного по длительности сигнала, представляющего собой периодическую последовательность импульсов, показанную на рисунке ЗА6 (Ь), мы получим линейчатый спектр, известный как ряд Фурье' Х~(го). Линии этого спектра имеют бесконечно малую ширину, а Хз(со) хорошо определен в промежутках между этими линиями, т. к. Хз(го) является непрерывной функцией частоты. (а) т-З т-1 ты т+З т-3 т-1 т+1 т+Э (с) т-З т-1 т+1 т+з т-3 т-1 т+1 анэ частота Х Рис. 3.46. Определение модуля т-го бина И-точечного ДПФ: (а) действительная последовательность х,(и) имеет й = и1-2 5 периодов на анализируемом интервале; (о) действительная последовательность х (и) на анализируемом интервале имеет )с = т-1.5 периодов; (с) действительная последовательность х (и) на анализируемом интервале имеет )с = ги периодов; (с)) частотная характеристика отдельного бина ДПФ ги = )с ! Точнее, спектр представляет собой коэффициенты ряда Фурье — (прим. перев.).
134 Глава 3. Диск егное и еоб азование Ф ье й ческий НПФ (а) Время Частота Непрерывный и периодический Линейчатый спектр — НП (Ь) Частота Время Апериодическая дискретная последовательность бесконечной длины ° ° ° ° ° ° ° ° х(п) Непрерывный и периодический ДВПФ— (с) еееееееее ° - — . — - - ее«вен аеВремя -е, 0 х,(п) (-г,) ДПФ Дискретный дискретный и периодический Обратное йь.
и периодический ° ° ° ° ° 'ек е'кеккек «В )(ПФ ' Х чп' х (и) Х,(пт) . 2 — НПФ-~ ° ° (б) ° ° к Время -/, О Г, Частота и, Частота (т,) Рис. 3.46. Сигналы и последовательности во временной области и модули их преобразований в частотной области (3-80) и-- Чтобы проиллюстрировать ДВПФ, предподожим, что у нас есть последовательность видах,(л) = (0.75)" при п ) О. Бе ДВПФ имеет вид м м Хо(пт) = „)' 0.75"е ) "=. „Я (0.75е х )" (3-81) и= — а Выражение (3-81) представляет собой геометрическую прогрессию (см.
приложение В) сумма которой равна Рисунок 3.46 (Ь) показывает пример непрерывной периодической функции, спектр которой содержит ряд дискретных компонентов. Вы можете считать ряд Фурье Х2(то) дискретизированной версией непрерывного спектра на рисунке 3.46 (а). Это соотношение между временным и частотным представлением сигнала х2(г) и Хз(от) показывает, что периодической функции в одной области соответствует дискретная по своей природе функция в другой области. Далее, рассмотрим бесконечную по длительности дискретную последовательность х(п), содержащую несколько ненулевых отсчетов, показанную на рисунке 3.46 (с).
Мы можем вычислить НПФ х(п), которое описывает спектр в виде непрерывной функции Хз(со). Этот непрерывный спектр называется дискретно-временным преобразованием Фурье (ДВПФ), которое определено как (см. стр. 48 в 16) ОО Х((о) = ) х(п)е ) ". 136 3.17.
Инте п етация ПФ Х„(4О) = 1/(1 — 0.75е хв) = еУ",'(ек'-0.75) . (3-82) Спектр Х,(в) непрерывен и периодичен с периодом 2я, его модуль показан на рисунке 3.47. Это пример дискретной функции времени, имеющей периодический спектр. Для особо любознательного читателя мы можем проверить периодичность ДВПФ, используя целое число Й в следующем выражении: Х(„+ 2пь) = ~~~ х(п)е-1(и ~2"л)л = ) ( ) -ллл -12плл = (3-83) л = — л~ = ~~)' х(п)е л =Х(щ) л — ю потому что е 12"ьл = 1 для целых значений й.
Хз(в) на рисунке 3.46 (с) также имеет период 2л, если представить его как функцию круговой частоты ил = 2тг/;, где частота/; представляет собой величину, обратную периоду отсчетов х(п). Непрерывная периодическая функция Хз(м) представляет собой то, что мы хотели бы иметь на практике, но мы не можем этого добиться.
Мы используем компьютеры, и как это ни грустно, не можем выполнять анализ непрерывных сигналов из-за дискретной природы самих компьютеров. Любые операции обработки данных выполняются над дискретными числами, хранящимися в памяти компьютера, и вследствие этого все сигналы во временной области и все частотные спектры представляют собой дискретные последовательности, полученные в результате дискретизации. Следовательно, НПФ и обратное НПФ последовательностей, с которыми мы работаем, будут периодическими.
= з, з )с 2 О -л О л 2л бл ю 4л Рис. 3.47. Модуль ДВПФ ~Х„(и) ~ Преобразования, показанные на рисунках ЗА6 (а) — (с) представляют собой результат математических выкладок на бумаге. В компьютере, использующем дискретные последовательности конечной длины, мы можем только аппроксимировать НПФ (ДВПФ) последовательности х(п) бесконечной длины, показанное на рисунке 3.46 (с). Эта аппроксимация называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ), и это единственный инструмент Фурье, который нам доступен. Вычисляя ДПФ последовательности хз(п), которая является конечной частью х(п), мы получаем дискретные периодические отсчеты Х~(т), показанные на рисунке 3.46 (д).
Обратите внимание на то, что Х~(т) есть дискретизированная 1ЗВ Глава 3. иск егноел еоб взование Ф ье версия непрерывного периодического спектра Хэ(а|). Однако спектр Хг(т) в точности равен НПФ периодической последовательности х~(п) на рисунке ЗАб (д). Так что, когда кто-нибудь говорит: «ДПФ предполагает, что входная последовательность периодична во времени», — он имеет ввиду, что ДПФ равно непрерывному преобразованию Фурье (которое называется ДВПФ) периодической дискретной последовательности. Итог всего сказанного заключается в следующем: если функция периодична, ее прямое/обратное ДВПФ будет дискретным; если функция дискретна, ее прямое/обратное ДВПФ будет периодическим.
Библиография 1. Вгасе|че11, К. «ТЬе РопНег Тгапз(огш», Ес(епсфс Атепсап, )ппе 1989. 2. Зсгпй, 1). А Сопсгхе НЫогу о/Майетаг(сз, Почег РцЫ!сас(опз 1пс., Хе|ч 'г'ог1с, 1967, р. 142 (неоднократно издавались русские переводы, например: Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики.
М. Наука, 1990, 256 с.). 3. %'11!саша, С. 5. Рея8пт8 И8(га1 Р1(гегх. Зессюп 8.6, Ргепсссе-На!1, Еп81е|чоод СИ(з, Хе|ч !егзеу, 1986, р. 122. 4. Ргеэз, ЪЪ'., ес а!. 7|/итепса! Кес(рез — Т7|е Агг о/5с(епгфс Сотриг(пй. СашЬПдйе Пшчегз(су Ргезз, 1989, р. 426. 5. ОесЫп11, Х. С., апд г'ачцх, П. «Зоше Хоче! ЪЪ'!вдовая апд а Соне|хе Тпсопа1 Сошраг!хоп о(ЪЪ|1пдо|ч Рапп11ез,» 1ЕЕЕ Тгапя оп Асоизс 5реес7|, апг75(япа! Ргос., Ъ'о!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
