Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Мы поэтому говорим, что коэффициент улучшения ДПФ увеличивается на 3 дБ при каждом удвоении И, Имейте ввиду, что в присутствии случайного шума удвоение размера ДПФ может увеличить отношение сигнал/шум меныпе, чем на 3 дБ, С другой стороны, мы можем получить улучшение немного больше, чем 3 дБ.
Это зависит от природы случайного шума. Если мы выполняем много ДПФ, мы можем получить средний коэффициент улучшения для разных отношений сигнал/шум на входе, как показано на рисунке 3.23 (а). Поскольку нас интересует наклон кривых на рисунке 3.23 (а), мы начертили их в логарифмическом масштабе для Ж на рисунке 3.23 (Ъ), прн этом кривые линии превратились в прямые. Глядя па графики рисунка 3.23 (Ъ), мы можем ясно видеть увеличение отношения сигнал/шум на 3 дБ при удвоении Х, если И превьппает 20 — 30, а сигнал не слигцком сильно спрятан в шуме.
Абсолютныеые значения, изображаемые графиками на рисунках 3.23 (а) и 3.23 (Ъ) не являются незыблемыми. Они были получены путем моделирования шума и тона, Глава 3. Диск етное п еоб азование Ф ье частота которого совпадала с центром бина. Если бы частота тона была расположена между центрами бинов, эти кривые опустились бы ниже, но их форма осталась бы такой же', т. е. (3-33) выполняется независимо от частоты тона. 3.12.2. Улучшение интегрирования при усреднении нескольких ДПФ Теоретически мы могли бы получать неограниченно большие коэффициенты улучшения, увеличивая размер ДП Ф. Проблема состоит в том, что количество операций умножения при выполнении БПФ растет пропорционально У~, и вычисление ДПФ длинных последовательностей становиться трудоемким. Поскольку операция сложения выполняется проще и быстрее, чем умножение, мы можем усреднять результаты нескольких ДПФ для повышения коэффициента улучшения и чувствительности при обнаружении сигналов.
Усреднение результатов ДПФ рассматривается в разделе 11.3. 3.13. ДПФ прямоугольных функций Мы завершаем эту главу, предлагая вашему вниманию математические детали двух важных аспектов ДПФ. В первую очередь мы получим выражения для ДПФ прямоугольной функции (прямоугольцого окна), а затем мы используем эти результаты для иллюстрации частотной характеристики ДПФ. Частотная характеристика ДПФ интересует нас потому, что она дает альтернативную точку зрения для понимания утечки, которая возникает при использовании ДПФ как инструмента анализа сигналов. Вычисление ДПФ прямоугольной функции является наиболее распространенной и важной операцией в области цифровой обработки сигналов.
Мы встречаемся с ним в теории дискретизации, теории окон, в обсуждении свертки, в спектральном анализе и в проектировании цифровых фильтров. Несмотря на такое широкое распространение ДПФ прямоугольных функций, литература, посвященная этому предмету, может оказаться слишком сложной для начинающих в области цифровой обработки сигналов по нескольким причинам. На первых порах стандартные математические обозначения воспринимаются трудно, а выкладки иногда подаются со слишком скудными пояснениями. Проблема для новичков усугубляется тем, что для ДПФ существуют разные выражения. В литературе мы можем найти все перечисленные ниже формы ДПФ прямоугольной функции: РЕТ„р„„,„„ц„„„„„= ~з1п(х)Уяп(х/ДГ)], или яп(х)/х, или яп(й(х/2)/яп(х/2) .
(3-34) В этом разделе мы покажем, как получены все формы в (3-34), увидим, как они связаны друг с другом и создадим таблицу, которая призвана сыграть роль ! Графики сместятся вниз, свидетельствуя о понижении отношения сигиалушум, потому что утечка приведет к повышению средней мощности шума, а гребешковые искажения понизят мощность бина. 3. 13. ДПФ п ямо гольных нкций 107 Розеттского камня и позволяет переходить от одной формы выражения для ДПФ к другой. Вдохните поглубже, и начнем с определения прямоугольной функции. 3.13.1. ДПФ обобщенной прямоугольной функции Обобщенную прямоугольную функцию х(п) можно определить как )з!отсчетов, среди которых имеется К отсчетов, равных единице, как показано на рисунке 3.24. Полная Ж-точечная последовательность х(п) и есть прямоугольная функция, которую мы хотим преобразовать.
Мы называем зту форму обобщенной формой прямоугольной функции, потому что пакет К единичных отсчетов начинается в произвольный момент времени — по. Вычислим ДПФ последовательности х(п), показанной на рисунке 3.24 и получим требуемый результат Х(т). Используя индекс т для нумерации отсчетов в частотной области, мы можем записать выражение для 1з!'-точечного ДПФ в виде )У~2 Х(т) = ~~ь'х(п)е — 12лпт/и (3-35) и- .(Х/2) з-1 Поскольку отсчеты х(п) отличны от нуля только в диапазоне — по < п < — п, + (К вЂ” 1), мы можем изменить пределы суммирования в (3-35) и выразить Х(т) как — и а(К-1) о Х(т) = ~~~„х(п)е Ч2лил'/)У, (3-36) и- — л о потому что только К отсчетов вносят вклад в значение Х(т). Этот последний шаг важен, т. к.
он позволяет нам избавиться от х(п) и сделать (3-36) более простым для последующих манипуляций. Чтобы немного облегчить восприятие последую!цих выражений, введем обозначение гу = 2пт/М. л(и) — — К— ! а ° па ° а ° ° а ° а ° а ° ° ° ° а- ° -а-Ь А Л и — а-а- ° -а-а-а- -а.а-а- ° ° о "= ио'(К!) Мг и = -и„ - Н)2 а1 Рис. 3.24.
Прямоугольная функция шириной К отсчетов на интервале в )ч отсчетов, где К<И Итак, теперь на сцену выходит алгебра. Опускаем множитель ) под знаком суммы и получаем — п л(К-1) о Х(д) =Х е-)чл = л- — и о Š— 1!)( — ло) + е — 1ч( — лоа1) ч- е — 1ч( поа2) + ... + е — )ч! !— лоз (К вЂ” 1)! = ! См. примечание и конце раздела 8.3 — (лрим ред перев.). 108 ГлаваЗ.Диск етноеп еоб азованиеФ ье = е 1У( ло) е — 109 + е-1Ч( — ло) е-119 + е Рт( ло) е 12Ч + ... + е зд( — ло) е — зд(К вЂ” 1) = дд(ло) [Е 10Ч+ Š— 11Ч + Š— 12Ч Ч- Ч Е вЂ” 14(К-1) ] (3-37) Ряд в квадратных скобках в (3-37) можно просуммировать, так что К-1 Х(д) = е1ч(ло)Х е зрч (3-38) Р=О Выражение (3-38), конечно же, выглядит ничуть не проще, чем (3-36), но на самом деле оно проще.
Выражение (3-38) есть не что иное, как сумма геометрической прогрессии и, согласно сказанному в приложении В, ее можно выразить в замкнутой форме вида К-1 ~~~, е урч = (1 — е — ьтк)/(1 — е-зч) (3-39) р-О Теперь мы можем упростить (3-39), что вполне уместно здесь. Если мы умножим и разделим числитель и знаменатель в правой части (3-39) на экспоненту, показатель степени которой разделен на два, мы разделим экспоненты на две части каждую и получим К-1 е урч = [е — 1дк/2(езчк/2 е — зчк/2)]/[е-зч/2(езч/2 е 1ч/2)] р=а = е зч(к-1Р2(озчкз2 — о-зчк22)/(озчl2 — о-зчз'2) (3-40) = е зч(к 1)/2[з1п(дК/2)]/[зт(д/2)] (3-41) Подставляя (3-41) вместо суммы в (3-38), получаем выражение для Х(д) Х(д) = езч(л ) е зч(к 1У2[з(п(дК/2)]/[з(п(д/2)] = = езч(ло(к-1)/2) [з)п(дК/2)],з[сйп(д/2)]. Возвращая переменной д значение 2згт/Л(, приходим к . (3-42) Х(в1) = ез(2лт/н)(ло(к — 1)М [з(п(2згзвК/2)]/[ззп(2згзв/2)], или Задержимся здесь на мгновение, чтобы вспомнить, куда мы движемся.
Мы стараемся придать выражению (3-40) пригодную для использования форму, потому что оно является частью выражения (3-38), которое мы используем для вычисления Х(т) в (3-36) в нашем неустанном поиске понятного выражения для ДПФ прямоугольной функции. Выражение (3-40) выглядит еще сложнее, чем (3-39), но мы можем упростить выражения в скобках. Согласно тождествам Эйлера яп(ф) = (езз — е зо)/21 (3-40) превращается в К вЂ” 1 ~ е зрд = е — зч(к- 1У2[2/з(п(дК/2)]/[2/з(п(д/2)] = Р=О 109 3.13. Д17Фп ямо гольных нкций Х(т) = е112ат/ьгйво(К 1)/2[ [з(п(лтК/]с~Я/[з(п(лт/КЯ (3-43) ядра Дирихле: Вот и готово. Формула (3-43) представляет собой общее выражение для ДПФ прямоугольной функции, показанной на рисунке 3.24.
Отсчеты Х(т) описываются комплексными выражениям, в которых отношение синусов дает амплитуду Х(т), а показатель степени экспоненты — фазовый угол Х(т)'. График множителя, содержащего отношение синусов в (3-43), представляет собой периодическую кривую на рисунке 3.25 (а), и, как и во всех представлениях М-точечного ДПФ, период Х(т) равен У. Эта кривая известна как ядро Дирихле (или совокупность наложенных функций ейпс) и подробно описана в литературе [10,13,14$ (Она названа в честь немецкого математика девятнадцатого века Петера Дирихле, который изучал сходимость тригонометрических рядов, используемых для представления произвольных функций.) Мы можем увеличить изображение этой кривой вблизи точки т = 0 и рассмотреть се более подробно на рисунке 3.25 (Ь).
Точки на этом рисунке напоминают нам, что ДПФ прямоугольной функции дает дискретные отсчеты, лежащие на кривой. Таким образом, когда мы выполняем ДП Ф, дискретный его результат является дискретизйрованной версией непрерывной кривой функции з(пс, показанной на рисунке 3.25 (а). Как мы покажем позже, в (3-43) нас в первую очередь интересует абсолютное значение, или модуль, ядра Дирихле. Этот модуль, ~Х(т) ~, показан на рисунке 3.25 (с). Мы впервые увидели график функции ейпс на рисунке 3.9 в разделе 3.8, где мы познакомились с утечкой ДПФ, и мы будем часто встречать эту кривую при изучении цифровой обработки сигналов. На данный момент нам известно всего несколько фактов, касающихся ядра Дирихле, которые необходимо помнить. Первое: ДПФ прямоугольной функции имеет главный лепесток, центр которого находится в точке ти = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
