Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 20
Текст из файла (страница 20)
3 . 2 1 . Дискретизация в частотной области при вычислении ДПФ: (а) 1 6 входных отсчетов и И = 16„((з) 16 входных отсчетов, 16 добавленных нулей и И = 32; (с) 16 входных отсчетов, 48 добавленных нулей и И = 64; (с() 16 входных отсчетов, 112 добавленных нулей и И = 128 Г- (с) 0»азаиазн О 5 Ю Н20 2530 »» »» 'Л... ГлаваЗ.Диск етноеп еоб азованиеФ ье 3.11. Раз ешающая способностьДПФ 101 Значит ли это, что мы должны переопределять частотную ось ДПФ при использовании дополнения нулями? На самом деле, нет. Если мы дополняем нулями А ненулевых отсчетов и получаем всего Уотсчетов во временной области для У-точечного ДПФ, средние частоты бинов ДПФ дополненной последовательности связаны с исходной частотой дискретизации давно знакомым нам выражением (3-5), или Таким образом, в примере, иллюстрируемом рисунком 3.21 (а), мы используем (3-32), чтобы показать, что, хотя индекс бина ДПФ дополненной нулями последовательности, соответствующего максимуму главного лепестка, изменяется с ростом У, частота этого бина остается неизменной.
Следующая таблица показы-' вает, чтр при этом происходит: Частота максимума главного лепестка по отноше ию к г = )чз рисунка Максимум главного А = И = лепестка соответствует т = 16 16 31 /16 16 32 61 /32 = 31 /16 16 64 121 /64=31 /16 16 128 241 /128 = 31 /18 12 24 Выиграем ли мы что-нибудь, еще дополнив последовательность нулями и вычислив ДПФ еще большего размера? Выиграем, но мало, потому что 128-точечное ДПФ дискретизует непрерывный спектр достаточно подробно на рисунке 3.21 (д).
Брать отсчеты чаще с помощью ДПФ большего размера бесполезно, т. к. это не улучшит наше понимание частотной структуры спектра. Суть здесь в том, что добавление нулей к входной последовательности улучшает разрешение' по частоте, но существует практический предел того, что мы можем достичь с его помощью.
В нашем примере 128-точечное ДПФ выявляет подробную структуру спектра. Здесь мы столкнулись с законом убывающей отдачи. Выполнение 256- или 512-точечногоо ДПФ в нашем случае дало бы мало новой информации'. Для этой конкретной последовательности нет смысла существенно уменьшать интер- ! В отечественной литературе под разрешающей способностью по частоте понимают минимальную разность частот гармоник, при которой в спектре зти гармоники различаются как отдельные составляющие. В этом смысле разрешающая способность по частоте определяется только длительностью дискретизированной выборки сигнала.
Дополнение нулями позволяет лишь уменьшить интервал дискретизации по частоте и г подробнее рассмотреть спектр сигнала. — (прим. перев.) Обратите внимание нато, что размер ДПФ (Х) в наших примерах равен целой степени 2 (64, 128, 256, 512). Это объясняется тем, что для выполнения ДПФ мы на самом деле используем специальных алгоритм, известный как быстрое преобразование Фурье (БПФ).
Как мы увидим в главе 4, типовая реализация БПФ требует, чтобы убыло целой степенью двойки. 3.21 (а) 3.21 (Ы 3.21 (с) 3.21 (о) центральн я частота т-го бина = т~,/)т'. (3-32) 1Ог Глава 3. Диск етное и еоб азоаание Ф ье вал дискретизации непрерывного спектра по частоте. Конечно, и 128-точечное ДПФ в данном случае не является незыблемым пределом. В зависимости от количества отсчетов в некоторой произвольной входной последовательности и частоты дискретизации на практике могло бы потребоваться дополнение каким угодно количеством нулей для получения требуемого разрешения по частоте. Относительно дополнения нулями следует сделать два последних замечания.
Первое, выражения для модуля ДПФ (3-17) и (3-17') неприменимы в случае дополнения нулями. Если мы дополняем нулями А ненулевых отсчетов сииусоиды, частота которой с" падает с частотой бина, в результате чего получаем общее количество Хвходных отсчетов и выполняем Ж-точечное ДПФ, то для вычисления величины отсчетов ДПФ мы должны в (3-17) и (3-17') заменить Хна Х. И второе, если мы хотим выполнить дополнение нулями и взвешивание окном, мы не должны накладывать окно на всю последовательность, включая и добавленные нули. Окно должно накладываться только на исходные ненулевые отсчеты, иначе нулевые отсчеты приведут к тому, что часть окна будет фактически обнулена и искажена, что приведет к ошибочным результатам.
(В разделе 4.5 даются дополнительные практические указания по выполнению ДПФ с использованием алгоритма БПФ при анализе сигналов реального мира.) Чтобы немного отвлечься, сейчас подходящий момент для определения дискретно-временного преобразования Фурье (ДВПФ), которое читатель может встретить в литературе. ДВПФ представляет собой непрерывное преобразование Фурье дискретной А-точечной последовательности, и некоторые авторы используют ДВПФ для описания многих понятий цифровой обработки сигналов, о которых мы говорили в этой главе.
Мы не можем выполнить ДВ11Ф на компьютере, потому что оно обладает бесконечным разрешением по частоте, но мы можем аппроксимировать его с помощью У-точечного ДПФ Л-точечной последовательности при Х > А. Фактически речь идет о том, что мы делали на рисунке 3.21, когда дополняли нулями исходную последовательность из 16-отсчетов. (Когда Х = А, аппроксимация ДВПФ совпадает с ДПФ.) Чтобы увидеть связь между ДВПФ и Д ПФ, вспомним, что модуль ДВП Ф (т. е. модуль непрерывного преобразования Фурье) последовательности из 16 ненулевых отсчетов, показанной на рисунке 3.21 (а), представляет собой функцию вида з(п(х)/х, обозначенную серыми линиями на рисунке 3.21.
Наши ДПФ аппроксимируют (дискретизируют) эту функцию. При увеличении количества нулей, которыми дополняются исходные 16 ненулевых отсчетов, просто выполняется интерполяция дискретизированной посредством ДПФ версии ДВП Ф с уменьшаюшимся шагом дискретизации по частоте. Запомните, пожалуйста, что дополнение нулями не улучшает нашу способность различать два близко расположенных по частоте сигнала. (Например, главные лепестки спектров, изображенных на рисунке 3.21, не меняются по ширине, выраженной в Герцах, при увеличении количества добавляемых нулей.) Чтобы улучшить спектральное разрешение двух сигналов, необходимо анализировать больше ненулевых отсчетов. Правило, по которому мы должны жить, заключается в следующем; чтобы реализовать разрешающую способность по частоте на уровне Г„„Гц, мы должны накопить отсчеты сигнала на интервале времени 1/Е„, секунд. Применения дополнения нулями во временной области мы обсудим в разделе 13.15, дополнения нулями в частотной области в разделе 13.28 и вернемся к ДВПФ в разделе 3.! 7.
103 3.12. Коэ ициент л чшенияДПФ 3.12. Коэффициент улучшения ДПФ С ДПФ связаны два коэффициента улучшения. Те, кто использует ДПФ для обнаружения сигнала в шуме, часто говорят о коэффициенте улучшения ДПФ потому, что Д П Ф может выделить сигнал на фоне шума. Это возможно благодаря усилению сигнала, связанному с вычислением внутренней корреляции, которое имеет место при вычислении Ж-точечного ДПФ.
Кроме этого естественного улучшения отношения сигнал/шум можно получить дополнительное интегральное улучшение при усреднении результатов ДПФ. Рассмотрим сначала внутренний коэффициент улучшения. 3.12.1. Коэффициент улучшения отдельного ДПФ Понятие коэффициента улучшения ДПФ очевидно, если мы рассматриваем отдельный бин ДПФ как узкополосный фильтр. Поскольку частотная характеристика бина ДПФ имеет внд функции з1п(х)/х, значение этого бина определяется главным образом энергией сигнала, попадающей в его главный лепесток. Бин ДПФ можно рассматривать как полосовой фильтр, центр полосы пропускания которого находится на частоте т/, /У.
Из (3-17) мы знаем, что максимально возможное значение отсчетов ДПФ возрастает при увеличении длины преобразования Ж. Кроме того, при увеличении Х главный лепесток бина становится уже. Таким образом, бин ДПФ можно рассматривать как полосовой фильтр, коэффициент передачи которого можно увеличить, а ширину полосы пропускания уменьшить, увеличивая значение )ч'. Уменьшение ширины полосы пропускания полезно при обнаружении энергии сигнала, потому что в дололнение к уменьшению энергии шума, попадающей в пределы его полосы пропускания, улучшается и разрешающая способность по частоте. Мы можем продемонстрировать это, рассмотрев ДПФ тона (синусоиды постоянной частоты), смешанного со случайным шумом. На рисунке 3.22 (а) в логарифмическом масштабе показаны первые 32 отсчета 64-точечного ДП Ф, при этом частота тона совпадает с центром бина т = 20.
Уровни мощности (квадрат модуля ДПФ) на рисунке 3.22 (а) нормированы так, что мощность наибольшего бина принята за 0 дБ. Поскольку мощность исходного тона меньше мощности шума, при й1 = 64 обнаружить его не так просто. (Шум во временной области, использованный для генерации сигнала, представленного на рисунке 3.22 (а), имеет нулевое среднее, т.
е, не содержит постоянной составляющей, или смещения уровня.) Если же мы увеличим количество отсчетов в четыре раза и размер ДПФ до Ю = 256, мы увидим, как мощность тона поднимается над уровнем шума на бине т = 80 на рисунке 3.22 (Ъ). Повышение размера ДПФ до )ч' = 1024 дает дополнительное улучшение, так что спектр тона еще больше поднимается над уровнем шума, как показано на рисунке 3.22 (с).
Чтобы численно оценить улучшение ДПФ, мы можем определить отношение сигнал/п1ум как отношение уровня мощности сигнала к уровню мощности шума в частотной области. (Конечно же, на практике нам хотелось бы, чтобы это отношение было как можно больше.) Есть ряд причин, по которым трудно предсказать, каким будет отношение сигнал/шум для любого конкретного ДПФ.
Это объясняется Глава 3. Диск етное преобразование Фурье 104 тем, что мы не можем точно предсказать энергию данных И отсчетов случайного шума. Кроме того, если частота сигнала не совпадает с центральной частотой бина, возникающая при этом утечка приводит к повышению уровня шума и снижает отношение сигнал/шум. В дополнение к этому, любое используемое окно оказывает влияние на уровень утечки и, следовательно, на отношение сигнал/ шум. Единственное, что мы можем сказать наверняка, это то, что отношение сигнал/шум растет с ростом М, потому что стандартное отклонение (СКЗ) шума для бина ДПФ пропорционально 3'Х, а величина бина, в котором находится сигнал, пропорциональна И. В более общем виде для действительного входного сигнала, если Х ) М; отношение сигнал/шум при И-точечном ДПФ ЯМКАМ возрастает по сравнению с отношением сигнал/шум Мсточечного ДПФ БМКМ' в соответствии с соотношением: 5ИК24 = Бти + 20)ов10('и/т) (3-33) -15 -20 -25 о 10 15 20 26 30 Номер бина ДПФ (Ы -15 -20 -26 -зо -35 о 40 60 60 р 100 120 оа Номер бина ДПФ го -10 (о) -го -ЗО О 0 100 200 300 400 500 Номер бина ДПФ Рис.
3.22. Улучшение отношения сигналаашум при одном ДПФ: (а) И=64; ((3) И=256; (с) И= 10к4 3. )2. Коэ ициент л чшенияДПФ 30 35 зо 25 (д) 20 1О о о оаа зоо 1оаа и 200 30 35 зо 25 (Ь) 20 15 10 о 1 1ООО 1аа 1О Рис. 3.23. Козффициент улучшения ДПФ в зависимости от размера ДПФ Идля разных значений отношения сигнал/шум на входе; (а) линейный масштаб по оси И; (Ъ) логарифмический масштаб по оси И Если мы повышаем размер ДПФ с И'до У = 2Х; согласно (3-33) отношение сигцал/шум возрастает на 3 дБ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
