Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Это следует из (3-45), не так ли? Частота первого нуля ядра обратно пропорциональна К, следовательно, по мере увеличения К мы сжимаем (Х(т) ! в направлении к т = О. В этом примере Лг = 64 и К = 31. Из (3-45) следует, что положительная частота первого нуля Х(т) равна 64/31, т. е. расположена немного правее отсчета с т=2 на рисунке 3.30 (Ь). Заметьте также, что пиковое значение )Х(т) ! = К = 31, как и должно быть согласно (3-44). 1 Конкретная картина распределения значений +л и — л на рисунке 3.29 (е) определяется программой, которую использовали для получения этого рисунка Другие программы могут показать другую картину, но пока ненулевые значения фазовых углов равны +л и — л, результат будет правильным. 114 Глава 3. иск егное и еоб азоаание Ф ье 1 т к(п) »»в»аюю ав О.о ~ 0 аюаюв ааааа» ° «аююп юн +(Н«ОН+(.> а ° ааа н»юю»а «нн» а»4~ -28 -г4 -го -16 -1г -8 4 о 4 8 12 16 га 24 28 зг и (а) 1г 10 8 6 (ь) 4 2 о :',1 ге»1(п') 11 » -20 -8 ° ° а -28 .24 -16 -П ".,' 1 О 4 05 04 о.з (О) а2 О1~ о Хаааа(пп) пава «»а» вава»н ав а анана ва а»«ю вюа» наю »»»а ван4« го пи -20 -и 42 -8 .4 о 4 8 1г и го 24 гз )Х(и)) ° «» 11 8 ° а 6 4 а а ю в ° аа ° -гзон -го -16 42 -8 -4 о 4 8 1г 16 го и гз (О) 4 т Хд(1«) 3 ю» »вью» аю вюв ю 1 ~ ~ ~ ( ~ 4 8, 12 16 20 24 28 О юю»а»8444344»юа»»8Н«54+»а а ава»а»Н8ЕН)» »8«448ЕН~Ю »»а++~~ -1 28 24 20 16 12 8 .4 0 ~ ~ )~ и -2 -3 -» ююа аа ° ю (е) Рис.
3.29. ДПФ прямоугольной функции, центр которой приходится на и = 0: (а) исходная последовательность х(п); (Ь) Х, )(т); (с) Х (т); (б) модуль Х(т); (е) фазовый угол Х(т) в радианах 1 ~ к(п) (е) 0.5 0 »а»ааааа» а ° а ю ааа а ааа ° вю»юаа ° ° вава»4И 3 ! $ 24 28 32 °аааа $1 3 $ $ -28 -24 -20 -16 -12 -8 -4 О 4 8 12 16 20 )Х(01)) 30 З1 25 (ь) 20 ° а 15 1О 5 °, » 0»»»а»»88»8«8«»аа 1» ютта»4»тат»..«ЕЧ»+»в~от'181" 885«8«8»8»ю»8»»4~ -25 -24 -20 -16 -12 -8 4 0 4 8 12 16 20 24 28 Рис.
3.30. ДПФ симметричной прямоугольной функции, содержащей 31 единичный отсчет: (а) исходная последовательность х(л); (Ь) модуль Х(гп) 3. 13. ПФ и мо льных нкций 3. 13.3. ДПФ прямоугольной функции, все отсчеты которой равны 1 Как и раньше, мы вычисляем ДПФ частного случая последовательности х(п), в результате чего приходим к еще одной упрощенной форме выражения (3-43). В литературе мы часто встречаем прямоугольную функцию, для которой К = Ж; т. е. Иотсчетов х(и) отличны от нуля, как показит на рисунке 3.31. В этом случае пакет из И единичных отсчетов начинается'при и - — и = — (И вЂ” 1)/2.
Мы получим выражение для ДПФ функции, показанной на рисунке 3.31, подставив К = Ии и, = (И вЂ” 1)/2 в (3-43), что дает Х(т) -еу(2лт/и)[Р~ 1)/2 Р4 1)/2) ° ° [зт(лтИ/И) /зт(лт/И) ')- = еl(2лт/И)(О) ° [яп(лт)/з)п(лт/И)[, нлн Форма ядра Дирихле для функции, все отсчеты которой равны 1 (Тнп 1): Х(т) = [з)п(лт)/з)п(лт/И)~ (3-48) К=И 1 аааааааккаааааааккааакаааакаааакх(и) и (И-1)/2 -и = -(И-1)/2 о Рис. 3.31. Прямоугольная функция, содержащая И единичных отсчетов 1 Кстати, название «Ядро Днрнхле типа 1» ддя (3-48) не является общепринятым. Мы использовали слова «тнпа 1» просто для того, чтобы отличать (3-48) от других математических выражений, с которыми мы вскоре встретимся. Формула (3-48) соответствует одной из форм выражения (3-34), которую мы упоминали в начале раздела 3.13'.
Рисунок 3.32 показывает смысл выражения (3-48). Модуль ДПФ последовательности х(и), состоящей из единичных отсчетов и показанной на рисунке 3.32 (а), показан на рисунках 3.32 (Ь) и 3.32 (с). Обратите внимание на то, что если бы переменная т была непрерывной, (3-48) описывало бы графики, нарисованные серыми линиями на рисунках 3.32 (Ь) и 3.32 (с). Если же т может принимать только целые значения, то (3-48) описывает точки на этих рисунках. Ядро Дирихле Х(т) на рисунке 3.32 (Ь) теперь имеет наименьшую возможную ширину. Первый ноль на положительной оси частот возникает на отсчете т = 64/64 = 1 на рисунке 3.32 (Ь), а пиковое значение )Х(т) ! = И= 64.
Когда все отсчеты х(и) равны 1, )Х(т))-О для всех значений т м О. Функция сйпс в (3-48) имеет важнейшее значение, как мы увидим в конце этой главы, она определяет общую частотную характеристику ДПФ при подаче на его вход синусоидальной последовательности, кроме того, она представляет собой АЧХ одного бина. ГлаваЗ.Диск егноеп еоб азованиеФ ье Форма ядр» Дирихле для функции, все отсчеты которой равны 1 (Тип 2): Х(т) = 8(п(лт)/(лт/Х) = 1т' яп(лт)/(лт)' (3-49) х(п) 1аааааааваюавваааааавввюювваваааааввввюаааюааюва вюаююююввю (а) 0.5 о -28 -24 -20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 (Х(м)( 50 4О (ь) зо 20 1О с';",л; 0 аюаюаааваюввваааааююввввюваавваавв1ююгввовввюааааюввв ввавваааааавввн1ю 1 -гв -24 -го -16 -12 -8 .4 о 4 8 12 16 го г4 гз то 6О 5О 40 () зо го 1О о в, 64 -5 -4 -з -2 -1 о 1 г з 4 5 Рис. 3.32.
Функция, все отсчеты которой равны 1; (а) прямоугольная функция с)т'= 64 единичными отсчетами; ((з) модуль ДПФ функции, состоящей только иэ единичных отсчетов; (с) укрупненный вид модуля ДПФ функции, состоящей только нз единичных отсчетов Форма (3-48) позволяет нам продвинуться на один шаг вперед и определить выражение для содержащей только единичные отсчеты ДПФ последовательности, которая наиболее часто встречается в литературе. Чтобы сделать это, нам необходимо использовать принцип аппроксимации, применяемый в тригонометрии, о котором, возможно, вы уже слышали раньше. Согласно этому принципу при малых а значение яп(а) примерно равно а, т.
е. яп(а) = а. Это соотношение приходит на помощь, котла мы рассматриваем круговой сектор радиуса 1, показанный на рисунке 3.33 (а). Этот сектор определяется длиной дуги а, измеренной в радианах, и ее хордой Ь. Если мы начертим внутри сектора прямоугольный треугольник, то мы можем сказать, что а = яп(а). При уменьшении а длинные стороны нашего треугольника становятся почти параллельными, длина хорды Ь приближается к длине дуги а, а длина отрезка а приближается к длине Ь. Итак, как показано на рисунке 3.33 (Ь), при малом а = Ь = а = яп(а). Мы используем приближенное равенство 5(п(а) = а, рассматривая знаменатель выражения (3-48). Когда значение лт/л(мало, яп(лт/)т) примерно равен гтт/йг. Следовательно, при больших Л(мы можем утверждать, что 3. 13.ДПФп ямо гольных нкций 117 (а) (Ь) Рис.
333. Соотношение угла а, длины отрезка а = езп(а) и хорды Ь; (а) при большом угле а; (Ь) при малом угле а Было показано, что если в (3-48) %превышает, скажем, 10, (3-49) достаточно точно описывает значения отсчетов ДПФ'. (3-49) часто нормализуют, разделив на Ж, так что мы можем'выразить нормализованное ДПФ прямоугольной функции, содержащей только единичные отсчеты, в виде Форма ядра Дирнхле для функЦии, все отсчеты которой равны 1 (Тнп 3): (3-50) Х(т) = з(п(лт)/лт Соотношение (3-50), принимая вторую форму (3-34), которая часто встречается в литературе, также дает модуль ДПФ, показанный на рисунках 3.32 (Ь) и (с).
3.13.4. Частотная и временная оси, связанные с прямоугольными функциями 1 Мы можем принять этот результат со спокойной душой, потому что, если положить К=И, мы увидим, что пиковое значение Х(т) в (3-49) при т = О получается равным Ю что,согласуется с выражением (3-44). Определим физические размерности, связанные со значениями индексов и и и.
До сих пор в наших рассуждениях индекс и был просто целым числом, позволяющим нам различать отдельные отсчеты последовательности х(п). Если индекс и представляет моменты времени, мы можем задать интервал времени, разделяющий соседние отсчеты х(п), чтобы определить масштаб оси времени для х(п) и масштаб частотной оси для Х(т). Рассмотрим прямоугольную функцию во временной области, показанную на рисунке 3.34 (а).
Эта функция содержит Мотсчетов, полученных с интервалом Г, секунд, при этом полный интервал накопления составляет №, секунд. Отсчет х(п) для некоторого значения п берется в момент времени пг, секунд. Например, значение отсчета с индексом п = 9, х(9) = О, появляется в момент времени 91, секунд. 113 Глава 3. Диск етное и еоб азование Ф ье к(9) еремя = 91 секунд е (а) к ° и и к к-к-к-к- ° - Ф- 9 секунд к к \ Значение Х(т) / к+++ич-и+к.еч-ч ° 'к+яка — — -ю (Ь) ° и., и 1 т къ о и, ф к (2к(е = мк радиан(с) 11 5 [и = 2к радиан) и 12 1 )и Гц (мк )И) (и 1М 2 Гц ( е "Гк) [к) -1к)2 Гц ( .И(2=- 1) [- и) т= 7 частота = 71 1И Гц (частота = Угок )и радиан(с) [нормироеанный угол = Уе )и радиан) Рис.
3.34. Размерности временной и частотной осей ДПФ: (а) временная ось использует индекс времени и; ([)) различные представления частотной осн ДПФ Частотная ось Х(т) может быть представлена несколькими разными способами. Три популярных способа маркировки частотной Оси ДПФ показаны на рисунке 3.34 ((у) и перечислены в таблице 3. Е Рассмотрим каждое представление в отдельности. Таблица 3.1.
Характеристики различных представлений частотной оси ДПФ Диапазон изменения Период повторения Х(гп) частоты Гл1 /И ОТ -19/2 ДО 1,/г 19/И Частота в Гц т, гл1, аг /Иили 2л1 /И Частота в радианах Глаг /Инлн 2лап1 /И гл/и 2лт/И Нормированный угол в радианах от -л до л 3. 13.4. 1. Частотная ось ДПФ а Герцах (Гц) Если мы хотим связать Х(т) с периодом дискретизации по времени Г„или с частотой/; = 1/Г„то частота будет принимать значения т/№, = т/', /И.
Таким — И(к 1, ~ с Лс) ...и, °,, Представление Частотная Разрешающая частотной оси переменная способность ДПФ Х(гп) от-~ /2до та/2 нли От -л1 ДОЛГ 119 3.13, ПФ п ямо гольных нкций образом, каждый отсчет Х(т) соответствует частоте т~; /Х Гц. В этом случае разрешение по частоте составляет/, /Ж. Период повторения ДПФ равен/,. Гц, как показано на рисунке 3.34 (Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
