Короленкo П.В. Оптика когерентного излучения (1095919), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Примеркаустики в однородной среде приведен на рис. 1.3.7,где лучи – нормали к волновому фронту, который несколько отличен от сферического.На каустике пересекаются бесконечно близкие лучи, поперечный размер лучевой трубкиуменьшается до нуля, и лучевые разложения (1.3.4) поэтому не могут быть использованы, так каквсе коэффициенты Аi на каустике обращаются в бесконечность.Каустика разделяет часть пространства, заполненную лучами, от каустической тени. Восвещенной части через каждую точку проходит два луча – один из них уже коснулся каустики,другой еще нет. При подходе к каустике со стороны освещенной стороны наблюдается ростамплитуды поля, локальный максимум; при переходе через каустику и удалении от нее в областьтени поле спадает.
В направлении нормали к каустике поле в освещенной части имеет, из-заинтерференции двух лучевых полей, характер стоячей волны. Вдоль каустики поле имеет характербегущей волны.Представление о структуре поля вблизи каустики можно получить, рассчитав распределениеинтенсивности в так называемом линейном слое. Пусть слева, со стороны пространстваn=1, падаетна плоскую границу раздела z=0 плоская волна (рис. 1.3.8). В области z>0 среда имеет линейноубывающую с ростом z диэлектрическую постоянную:(1.3.37)где - характеристика среды, та плоскость, на которой n=0.
Предположим сначала, что плоскаяволна падает перпендикулярно к линейному слою. Тогда волновое уравнение для амплитуды поля(1.3.38)после замены переменных(1.3.39)принимает вид(1.3.40)Решение уравнения (1.3.40) пропорционально функции Эйри v(t), которая определяетсяинтегралом(1.3.41)Искомое поле(1.3.42,a)причем коэффициент пропорциональности определяется из требования непрерывности поля и егопроизводной при t=t0, где t0– значение t (1.3.39) при z=0:(1.3.42,b)Предполагается, что амплитуда падающего поля равна единице.Вид функции Эйри приведен на рис. 1.3.9. Значение функции вблизи нуля порядкаединицы, v(0)=0.63, максимум несколько сдвинут в сторону освещенной области и достигаетсяпри t -1: v(–1.02)=0.95.Слева от точки z=z0 (т.е.
при t<0) эта функция при больших значениях аргумента (|t|>>1)описывает распределение поля, схожее со стоячей волной.Вблизи каустики и на каустике поле не может бытьописано с помощью геометрооптических лучей. Накаустике – потому, что сечение лучевой трубкиобращается в нуль, коэффициент расходимости (1.3.20)равен нулю, и все амплитудные коэффициенты влучевом разложении неограниченно растут. Вокрестности каустики лучевое разложение неприменимопотому, что лучи становятся неразличимыми, так какразность эйконалов двух пересекающихся лучей, один изкоторых коснулся каустики, а другой еще нет,меньше /2.Несмотря на то, что геометрооптические представления не применимы для прикаустическойобласти, к их достоинствам следует все же отнести возможность нахождения расположениякаустической области, а в некоторых случаях - и ее ширины.1.3.8. Элементы гамильтоновой оптикиКак уже указывалось, поведение лучей в световом потоке может быть определено путемиспользования вариационного принципа, предполагающего нахождение экстремалей функционала(1.3.14).
Решение вариационной задачи оказывается более легким, если перейти к новойпеременной интегрирования. Используем определение элемента длины(1.3.43)где(1.3.44)чтобы выразить (1.3.14) в виде(1.3.45)Здесь Р1 и Р2начальная и конечная точки луча.Функция L задается соотношением(1.3.46)Уравнение (1.3.45) имеет точно ту же форму, что и принцип наименьшего действия Гамильтона,достаточно подробно рассматриваемого в курсах теоретической механики. Единственное отличиепринципа Ферма от принципа Гамильтона заключается в том, что в принципе Ферма вместопеременной координаты t используется пространственная координата z. В классической механикефункция L называется лагранжианом.
Координата z обычно выбирается совпадающей спредпочтительным направлением оптической системы, известным как оптическая ось.Большинство оптических систем имеет ось симметрии, которая является также осью вращения.Решение задачи (1.3.45) хорошо известно в вариационном исчислении и нет необходимостиприводить его здесь. Оно дается уравнениями Эйлера для вариационной задачи(1.3.47)(1.3.48)Подстановка выражения (1.3.46) приводит к соотношениям(1.3.49)(1.3.50)Используя известную из классической механики связь между уравнениями Эйлера (1.3.47),(1.3.48) и уравнениями Гамильтона, а также соотношения (1.3.49), (1.3.50) можно формальноуравнениям лучей придать вид гамильтоновых уравнений:, (1.3.51), (1.3.52), (1.3.53)(1.3.54)Здесь x, y, z - cоответственно поперечные и продольная координаты точки на луче, а"импульсы" px и py задаются формулами(1.3.55)(1.3.56)Из последних соотношений видно, что в параксиальном приближении значения импульсовопределяют значения углов наклона лучей.
Сам же гамильтониан выражается через импульсы спомощью соотношения(1.3.57)Представление геометрической оптики в гамильтоновой форме не просто расширяет ее аппарат,Такое представление позволяет перенести на многие геометрооптические задачи элементыанализа, применяемого к поведению динамических систем. В частности, как мы увидим вследующей главе, динамическая теория перехода детерминированных систем к хаосу позволяетвскрыть один весьма необычный механизм стохастизации излучения в регулярно- неоднородныхсредах.ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 11. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - М.: Наука, 1970, 856 с.2. Зоммерфельд А.
Оптика. - ИЛ, 1953, 487 с.3. Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику. - М.: Мир, 1970, 364 с.4. Королев Ф.А. Теоретическая оптика. - М.: Высшая школа, 1968, 556 с.5. Матвеев А.И. Оптика. - М.: Высшая школа, 1986, 352 с.6. Калитеевский Н.Л., Волновая оптика. - М.: Высшая школа, 1978, 384 с.7. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическуюрадиофизику и оптику. М.: Наука, 1981, 640 c.8. Маркузе Д.
Оптические волноводы. - М.: Мир, 1974, 576 с.9. Солимено С., Крозиньяни Б., Ди Порто П. Дифракция и волноводноераспространение излучения. - М.: Мир, 1989, 664 с.10. Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракции. - М.: Наука, 1982,272 с.11. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн - М.: Наука, 1990,432 с.12. Семенов А.А. Теория электромагнитных волн. - М.: Изд-во МГУ, 1968, 316 с.13. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И.
Геометрическая оптика неоднородных сред. - М.:Наука, 1980, 304 с.14. Руситинов М.М., Грамматин А.П., Иванов П.Д. и др. Вычислительная оптика.Справочник. - Ленинград: Машиностроение, 1984, 424 с.ГЛАВА 2. ФОРМИРОВАНИЕ И РАСПРОСТРАНЕНИЕВОЛНОВЫХ ПУЧКОВВ настоящее время наиболее распространенным источником когерентного излучения являетсялазер. Как правило, лазер генерирует излучение в виде слабо расходящегося волнового пучка,размеры которого в поперечной плоскости велики по сравнению с длиной волны. Настоящая главапосвящена анализу процессов формирования и распространения узконаправленных пучковлазерного излучения. Центральным понятием излагаемой теории является понятие моды - такоговолнового пучка, который сохраняет в процессе распространения форму распределенияамплитуды и фазы световых колебаний в поперечном сечении.2.1 Моды свободного пространства [1-5]2.1.1 Параболическое приближениеВолновой лазерный пучок в силу своей высокой направленности имеет много общего с плоскойволной.
Отличие же его от плоской волны состоит в том, что распределение интенсивности в немнеоднородно (мощность пучка, в основном, сконцентрирована вблизи оси), а фазовый фронтнесколько отличается от плоского. Поэтому решение приведенного волнового уравнения,описывающее распространение такого пучка, будем искать в виде, (2.1.1)где u(x,y,z) - медленно меняющаяся комплексная функция, которая и определяет свойствалазерного пучка, отличающие его от плоской волны.
Быстрые осцилляции по z обусловленыприсутствием в (2.1.1) экспоненциального множителя. Применяя оператор к функции , имеем. (2.1.2)Если в выражении (2.1.2) пренебречь второй производной u по z по сравнению c первой, то наосновании (1.2.20) получим уравнение. (2.1.3)Полученное уравнение относится к уравнениям параболического типа, а само приближение, врамках которого оно было получено, называется параболическим приближением.
Нетруднопоказать, что уравнению (2.1.3) будет удовлетворять так называемый гауссов пучок, амплитудакоторого меняется по поперечной координате по гауссовому закону.2.1.2 Свойства основной модыДля гауссова пучка можно записать выражение, (2.1.4)где. Параметр Р - комплексный фазовый сдвиг при распространении света вдольоси z, а q - комплексный параметр пучка, определяющий гауссово распределение поля покоординате r, где r - расстояние от оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
