Короленкo П.В. Оптика когерентного излучения (1095919), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

В методе деленияамплитуды исходный пучок делится на частично отражающих или частичнопропускающих оптических элементах. В методе деления волнового фронта пучок,проходя через отверстия, делится на несколько пучков.Согласно такой классификации интерферометр Юнга - это интерферометр с делениемфронта, интерферометр Майкельсона - интерферометр с делением амплитуды.Очевидно, интерферометр Майкельсона обладает большей светосилой, чем схемаЮнга.Проведение измерений пространственной и временной когерентности имеет большоезначение для постановки экспериментов в области когерентной оптики.

Как правило,такие измерения должны проводиться по отношению к любым источникам излучения,используемых в оптических исследованиях.1.2. Основные положения волновой оптики [1-6, 8-12]Волновой оптикой называют раздел физической оптики, изучающей явления, вкоторых проявляется волновая природа света. В этом разделе в кратком изложениисформулированы основные теоретические положения волновой оптики и приведенынаиболее важные соотношения и уравнения, положенные в основу всего дальнейшегорассмотрения.1.2.1. Волновое уравнениеПо своей физической природе световые волны являются волнами электромагнитными.Поэтому волновая оптика непосредственно основывается на уравнениях Максвелла.Уравнения Максвелла связывают вектор напряженности электрического поля E ивектор электрической индукции D с вектором напряженности магнитного поля H ивектором индукции B.

В отсутствие токов и свободных электрических зарядов ониимеют вид:, (1.2.1), (1.2.2), (1.2.3), (1.2.4), (1.2.5), (1.2.6)где и - соответственно электрическая и магнитная постоянные, и относительные соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.Подставим величину (1.2.6) в уравнение (1.2.2) и, предполагая, что величина независит от пространственных координат, возьмем ротор от левой и правой частей этогоуравнения. (1.2.7)Используя уравнения (1.2.1) и (1.2.5), а также принимая во внимание, что,, (1.2.8)можно переписать уравнение (1.2.7) в виде.

(1.2.9)Присутствующий в соотношениях (1.2.8), (1.2.9) операторявляется вектором скомпонентами. Если величина постоянна в пространстве,градиент обращается в нуль, и уравнение (1.2.9) принимает вид волнового уравнения. (1.2.10)Применяя операциюуравнение дляк обеим частям уравнения (1.2.1), можно получить аналогичное. (1.2.11)Из (1.2.11) следует, что каждая декартова компонента   (x,y,z,t)вектора или B удовлетворяют скалярному волновому уравнению, (1.2.12)где величина v имеет физический смысл скорости света в среде с параметрами  и .

(1.2.13)Частным решением уравнения (1.2.12) может служить плоская волна произвольнойформы, распространяющаяся в направлении n. Если в каждой точке пространствавеличинаменяется во времени по гармоническому закону, то плоская волна можетбыть описана выражением, (1.2.14)где  - циклическая частота, а- амплитуда.Вводя волновой векторможно придать вид, модуль которого равен k=2 / , выражению (1.2.14). (1.2.15)В расчетах удобно пользоваться комплексным представлением плоской гармоническойволны.

(1.2.16)В комплексной форме могут быть представлены также расходящиеся и сходящиесясферические волны, которые имеют соответственно вид, (1.2.17). (1.2.18)Поскольку нас интересует преимущественно монохроматическое излучение, то естьизлучение определенной частоты, мы будем в дальнейшем опускать экспоненциальныймножитель. (1.2.19)Если зависимость от времени представляется в форме (1.2.19), то дифференцированиепо времени заменяется умножением на -i и волновое уравнение (1.2.12) принимаетвид, (1.2.20)где под  следует понимать комплексную амплитуду волны.

Уравнение (1.2.20)называется приведенным волновым уравнением Гельмгольца. В нашем курсе этоуравнение играет фундаментальную роль. В последующих разделах нам придетсянеоднократно к нему обращаться в процессе анализа особенностей распространенияволновых пучков в различных средах и оптических системах.До сих пор обсуждение касалось волнового уравнения (1.2.12), полученного какчастный случай уравнения (1.2.9). Поскольку первое из них является существенноболее простым и удобным, возникает вопрос о возможности его применения также дляслучая неоднородных сред. Для ответа на этот вопрос следует определить, в какихслучаях можно пренебречь вторым членом в уравнении (1.2.9).

Доминирующимичленами в уравнении (1.2.9) являются первый член в левой части и член в правой части,порядок величин которых одинаковый. Возьмем отношение второго члена левой частиуравнения (1.2.9) к члену, стоящему в правой части. (1.2.21)Несложный анализ, выполненный в [8], показывает, что порядок R определяетсясоотношением, (1.2.22)где , - значения относительной диэлектрической проницаемости в двух близкихточках, разделенных расстоянием ,  - ее среднее значение.

Выбирая = ,получаем. (1.2.23)Для того чтобы пренебречь вторым членом в левой части уравнения (1.2.9),необходимо потребовать выполнения условия R<<1. Это означает, что относительноеизменение  на расстоянии длины волны должно быть много меньше 1. Длябольшинства неоднородных оптических сред такое условие хорошо выполняется, чтопозволяет ограничиваться решением уравнения (1.2.10) вместо (1.2.9). Только награнице раздела двух областей с различными диэлектрическими проницаемостями,например, на границе между стеклянными линзами и воздухом, величина R становитсябольшой. Однако даже в этих случаях следует решать уравнение (1.2.10) или (1.2.12),так как оно справедливо всюду, кроме границы раздела сред.

На практике обычнорешают волновое уравнение в различных однородных областях и сшивают эти решенияпосредством граничных условий.1.2.2. Теория дифракции по КирхгофуВ основе волновых представлений о распространении когерентого излучения лежиттеория дифракции. Под дифракцией света обычно понимают отклонения от простыхзаконов распространения света, описываемых геометрической оптикой. Дифракциюможно наблюдать, когда на пути распространения света находятся непрозрачныепрепятствия или когда свет проходит через отверстия в экранах.

С дифракциейнепосредственно связан физический механизм, обуславливающий перераспределениеинтенсивности в поперечном сечении пространственно-неоднородных лазерных пучковпри их распространении в свободном пространстве. В большинстве случаев приописании дифракции можно не учитывать поляризации световой волны. Поэтому воснову теории дифракции мы положим скалярное уравнение Гельмгольца (1.2.20).Пусть в пространстве распространяется монохроматическая волна, (1.2.24)амплитуда которой  (x,y,z) удовлетворяет уравнению Гельмгольца (1.2.20). Окружимточку наблюдения Р произвольной поверхностью S (рис.

1.2.1.).Определим возмущение в точке Р в зависимости от возмущения на границевыделенной области. Воспользуемся для этого известной теоремой Грина, (1.2.25)где  - некоторая вспомогательная величина,которая также как и  имеет непрерывныечастные производные первого и второгопорядков внутри объема V, ограниченногоповерхностью S, и на самой поверхности S.Потребуем также, чтобыфункция удовлетворяла уравнению (1.2.20).Операцияв формуле (1.2.25) означаетдифференцирование по внутреннейнормали к поверхности S.

В качествевспомогательной функции  рассмотримфункцию, где r - расстояниемежду произвольной точкой объема V и точкой Р (радиус-вектор r будем считатьнаправленным от точки Р, как от начала координат). Функция представляет собойфункцию изменения амплитуды поля точечного источника (т.е. так называемуюфункцию Грина свободного пространства). Для того чтобы эта функция удовлетворялаусловиям теоремы Грина, нужно исключить из области V точку Р, гдефункция  обращается в бесконечность. С этой целью окружим точку Р сферойбесконечно малого радиуса R и исключим ее из области V.

Тогда формула (1.2.25)примет вид. (1.2.26)Здесь означает объем V без объема сферы, - площадь сферы. Посколькуфункции  и  удовлетворяют уравнению Гельмгольца, то объемный интеграл ввыражении (1.2.26) равен нулю. Тогда из (1.2.26) следует, что. (1.2.27)При выводе соотношения (1.2.27) мы перешли от интегрирования по поверхности кинтегрированию по телесному углу  . Таким образом, возмущение в точке Р будетравно. (1.2.28)Выражение (1.2.28) известно как дифракционный интеграл Кирхгофа-Гюйгенса.Дифракционный интеграл (1.2.28) широко используется при решении многихдифракционных задач. Следует, однако, иметь в виду, что возможны и другиематематические подходы к анализу дифракции. Они, прежде всего, связаны с выборомдругой вспомогательной функции  .

В частности, функция  может быть выбрана так,чтобы она обращалась в ноль на поверхности S. Такой подход в какой-то степениупрощает задачу, так как в выражении (1.2.28) обращается в ноль член,содержащий. Однако цена этого упрощения состоит в усложнении функции  .Для большинства оптических задач выполняется условие, (1.2.29)тогда, пренебрегая производной отпо сравнению с производной отформулу (1.2.28) можно записать в виде,. (1.2.30)Рассмотрим классическую для теории дифракции задачу о прохождении плоской волнычерез отверстие площадью А в бесконечном непрозрачном экране (рис.

1.2.2). Будемсчитать, что поверхность, по которой происходит интегрирование, включает экран ибесконечнуюполусферу радиуса , ограничивающуюпространство справа от экрана. Обозначимкоординаты точки Р как , , , угол наклонаволнового вектора k плоской волны и оси z через  , аугол, задающий направление на точку Р, через  .Из рис. 1.2.2 следует, что, (1.2.31)поэтому(1.2.32)и(1.2.33)С помощью формул (1.2.32) и (1.2.33) интеграл (1.2.30) можно переписать в виде(1.2.34)В таком виде этот интеграл известен как формула (интеграл) Френеля-Кирхгофа.

Ввыражении (1.2.34) мы ограничились интегрированием лишь по площади отверстия,считая, что интеграл по бесконечной полусфере обращается в ноль. Последнееутверждение выглядит вполне обоснованным, если предположить, что падающая волнапредставляет собой очень длинный, но все же конченый цуг волн. Конечный же цугволн не может достичь бесконечной полусферы за конечное время, тем самым интегралпо поверхности этой полусферы равен нулю.Более точный математический анализ показывает, что интеграл по бесконечнойполусфере стремится к нулю, если выполняется так называемое условие Зоммерфельда,согласно которомуГораздо боле уязвимым предположением является использованное при полученииформулы (1.2.34) второе предположение о равенстве нулю функции  и еепроизводнойна непрозрачном экране. Дело в том, что равенство нулю решенияволнового уравнения и его производной на любом конечном интервале приводит кобращению его в ноль во всем объеме.

Однако, несмотря на явный математическийизъян, формула (1.2.34) приводит к результатам, хорошо согласующимся с даннымиэкспериментов.Во многих практических случаях, когда отверстие в экране мало иточка Р располагается вблизи оси, можно считать, что(1.2.35)Одновременно, если экран освещается волной, падающей на него перпендикулярно,можно положить, что. (1.2.36)Тогда формула (1.2.34) преобразуется в выражение, (1.2.37)которое является математическим обобщением принципа Гюйгенса-Френеля. Из неговидно, что недостаточно просто предполагать, как это делал в свое время Гюйгенс, чтопадающая волна выполняет роль источника сферических волн с амплитудами,пропорциональными амплитуде падающей волны в каждой точке.

Характеристики

Список файлов лекций