Короленкo П.В. Оптика когерентного излучения (1095919), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Указанные ограничения сужают диапазон возможных приложенийскалярной теории. Например, она не может быть использована для расчетахарактеристик дифракционных решеток высокого разрешения.Применение скалярных методов для описания дифракции линейно поляризованнойволны приводит к еще одному серьезному противоречию. оно состоит в том, чтоскалярные методы приводят к выводу о наличии продольных компонент поля заэкраном (рис. 1.2.4.). Тем самым существует необходимость построения теориидифракции на основе болеепоследовательного векторного подхода.Формальное обобщение метода Кирхгофа на случайвекторных полей можно осуществить, записав длякаждого компонента вектора интеграл Кирхгофа(1.2.25), а затем, сложив их векторно.

В результатеэтой процедуры получается следующее выражениедля :(1.2.66)Учитывая, чтои, путем математических преобразований, получаем(1.2.67)где  - магнитная проницаемость среды.Аналогичное выражение можно получить и для вектора.Определяемый формулой (1.2.67) вектор не будет удовлетворять уравнениямМаксвелла. Причина состоит в том, что тангенциальные компонентывекторов и терпят разрыв при переходе через границу контура отверстия.

Для того,чтобы удовлетворить условиям непрерывности, необходимо ввести некотороераспределение зарядов и токов на контуре отверстия в экране.Электродинамический анализ показывает, что самосогласованное поледифрагированной волны с учетом дополнительных источников поля, обусловленныхуказанными зарядами, получается добавлением к поверхностному интегралу (1.2.67)интеграла по контуру отверстия(1.2.68)где  - единичный вектор, касательный к элементу контура отверстия dl. Обход контурадиафрагмы осуществляется против часовой стрелки, если смотреть из точки, в которойопределяется поле.

С увеличением расстояния от точки наблюдения до отверстия вкладинтеграла по контуру в величину поля снижается и на расстояниях многих длин волним вообще можно пренебречь.1.3. Методы геометрической оптики [1,9,10,13,14]Возможны две точки зрения на место геометрической оптики в системе современных оптическихпредставлений. Согласно первой из них геометрическая оптика рассматривается каксамостоятельный раздел оптики, основанный на определенной системе постулатов. К наиболееважным из них относятся законы прямолинейного распространения света, законы его отражения ипреломления.

В такой постановке геометрическая оптика является основой вычислительнойоптики [11], на базе которой осуществляются расчеты разнообразных оптических элементов исистем. Согласно второй точки зрения основные выражения и соотношения аппаратагеометрической оптики являются по своей сути приближенными решениями волновых уравнений,во многих случаях облегчающих их анализ. Исходя из целевой установки данной книги мы будемпридерживаться второй точки зрения. При этом сосредоточимся на вопросах распространениясвета в неоднородной среде, показатель преломления которой плавно меняется в пространстве.Световое поле представляется в форме локально плоской волны. В приближении геометрическойоптики амплитуда этой волны не зависит от частоты, а частота, которая считается большойвеличиной, входит только в фазовый множитель.1.3.1.

Геометрооптическое приближениеВ однородной (n=const) среде простейшее решение волнового уравнения - плоская волна(1.3.1)Фаза ее постоянна на плоскостях z=cоnst, т.е. фазовые фронты плоские. Нормали к фронтампараллельны.Пусть показатель преломления среды есть функция координатn=n(r),тогда амплитуда А становится функцией координат, а волновые фронты перестают бытьплоскими. Нормали к ним не параллельны, но близки к параллельным. Будем считать, что всехарактерные масштабы изменения и амплитуды поля, и показателя преломления среды велики посравнению с длиной волны  ( =2 /k).

Если l - наименьший из этих масштабов, топредполагается, что выполнено неравенство(1.3.2)Это неравенство - не самое сильное условие применимости лучевой или геометрической оптики,законы которой мы ниже сформулируем. Представим поле световой волны в неоднородной средев виде почти плоской волны(1.3.3)Здесь А(k,r) - амплитуда волны; kS(r) - фаза; величина S(r) называется эйконалом. Термин "почтиплоская волна" оправдан тем, что в области порядка 2 /kn поле имеет вид.(1.3.1).Амплитуду А и эйконал S будем искать из требования, чтобы решение, записанное в форме (1.3.3),удовлетворяло волновому уравнению, и при этом используем условие, что kвелико. Это можносделать несколькими способами.

Простейший из них состоит в том, чтобы искать А в виделучевого разложения по обратным степеням k:(1.3.4).Фактически это разложение проводится по возрастающим степеням безразмерного малогопараметра  (1.3.2).Подставляя (1.3.3), (1.3.4) в волновое уравнение(1.3.5)и приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях k, получим в нулевом приближенииуравнение эйконала(1.3.6)а в следующих приближениях- систему рекуррентных уравнений для амплитуд(1.3.7)(1.3.8)которые называются уравнениями переноса.Приближение, при котором в (1.3.4) сохраняется только нулевой член, называетсягеометрооптческим приближением.

Поля в этом приближении, т.е. поля геометрической оптики(1.3.9)содержат частоту только множителем в фазе. В отличие от (1.3.3), в (1.3.9) А0 уже не есть функциячастоты.1.3.2. Лучи и фронтыРешение задачи по определению поля в неоднородной среде следует начинать с нахожденияэйконала S. Зная эту функцию, можно построить волновые фронты: они задаютсяуравнением S=const, а затем и лучи - линии, перпендикулярные волновому фронту.Следует заметить, что вообще эйконал в большей степени определяет световое поле, чемамплитуда А0 (r).

Это объясняется тем, что перед S(k,r) стоит большой множитель k. Поэтому всеизменения u при малом изменении координат определяются главным образом изменением S, ане А0.Уравнение (1.3.6) решается в наиболее общем виде с помощью метода характеристик. Этот методсводит уравнение в частных производных к системе обыкновенных дифференциальныхуравнений. Обозначимвведем параметр  вдоль направления p, связанный с длинойдуги  на луче условием d =d /n.

Вектор r определяет точку на луче, а вектор dr/d касательный лучу. Уравнение (1.3.6) выглядит в новых обозначениях как |p|=n. Можно показать,что оно эквивалентно следующей системе уравнений:(1.3.10)(1.3.11)Уравнения (1.3.10) определяют геометрию лучей(1.3.12)т.е. координаты r и направления p луча в точке с параметром  (этот параметр пропорционаленвремени прохождения волны вдоль луча). Очевидно, что касательный к лучу вектор (1.3.10,а)параллелен  S, т.е. перпендикулярен к волновой поверхности.

Таким образом, луч есть нормаль кповерхности равной фазы.Вектор p, определяющий направление луча, изменяется вдоль луча, согласно (1.3.11,б) внаправлении градиента показателя преломления. Иными словами, преломление или рефракциякриволинейного луча в неоднородной среде происходит в область возрастания n.В частном случае однородной среды, так что p=const, и лучи являются прямыми линиями.Для эйконала из (1.3.11) получаем(1.3.13)Здесь- значение эйконала при; интегрирование ведется вдоль геометрооптическоголуча.

Заметим, что в геометрической оптике физическое значение имеет лишь разностьэйконалов, а не величина S.Для однородной средыВыбрав направление оси z вдоль луча, умножив затем эйконал - его часто называют "оптическийпуть" - на частоту k, получим привычное выражение для фазы плоской волныkn(z-z0), так как,очевидно, в данном случае n =z.Для построения лучей и фронтов удобно пользоватьсясистемой лучевых координат (рис. 1.3.1).Такими координатами являются две координаты  ,  наповерхности любого, принятого за начальный, волновогофронта, характеризующие данный луч ипостоянные вдоль луча, и длина дуги  , отсчитываемаявдоль луча, либо вместо  - введенный вышепараметр  (время).1.3.3. Принцип ФермаИз уравнения эйконала вытекает важное физическое положение, известное, как принцип Ферма,согласно которому оптический луч всегда выбирает траекторию с минимальной длинойоптического пути.

Только в очень редких случаях условие минимума заменяется условиеммаксимума. Таким образом, лучевые траектории являются экстремалями функционала Ферма(1.3.14)Принцип Ферма определяет лучевую структуру поля не только в плавно неоднородной среде. Луч,соединяющий две точки r0 и r1, выделяется из всех кривых, проходящих через эти точки, тем, чтоэйконал(1.3.13) экстремален. Из принципа экстремальности может быть выведензакон зеркального отражения(1.3.15)и закон преломления(1.3.16)на резкой границе между двумя плавно-неоднородными средами.Здесь n1 - показатель преломления среды, из которой на границу падает луч. Он преобразуется вдва луча - преломленный и отраженный в среду n2.

Характеристики

Список файлов лекций