Короленкo П.В. Оптика когерентного излучения (1095919), страница 9
Текст из файла (страница 9)
2.1.6).Для каждого параксиального лучаотношение координаты y1 точки его пересечения с плоскостью П1к лучевому углу 1равно r1, т.е.. (2.1.31)Кривизну волнового фронта считают положительной, когда волна расходится. Приэтом для радиуса кривизны фронта принято использовать “приведенноезначение”, где n - показатель преломления среды,.Использование приведенных значений удобно тем, что при пересечении пучкомграницы раздела двух сред значение R не изменяется.Рассмотрим, как преобразуется радиус кривизны R при прохождении пучком некоторойоптической системы. Пусть входная плоскость этой системы совпадает сплоскостью П1; выходную же обозначим через П2. Параметры любого луча израссматриваемого лучевого пучка будут преобразовываться системой в соответствии ссоотношениями, (2.1.32).
(2.1.33)Параметры y2 и v2 соответствуют плоскости П2. Величины A, B, C, D характеризуютконкретную оптическую систему. Уравнения (2.1.32) и (2.1.33) можно записать вматричной форме, (2.1.34)где матрица ABCD является матрицей передачи луча. Разделим уравнение (2.1.32) науравнение (2.1.33). (2.1.35)Заменяя значения y/v на R, получаем следующее важное соотношение, связывающеезначения приведенного радиуса на выходе и входе системы. (2.1.36)Преобразование (2.1.36) называют правилом ABCD.
Поскольку преобразованиеоптическими элементами параметра гауссова пучка q аналогично преобразованиюрадиуса кривизны волнового фронта R, правилу ABCD можно придать вид. (2.1.37)Тем самым, зная матрицу передачи луча, можно в соответствии с (2.1.37) определитьтрансформацию гауссова пучка той или иной оптической системой. Так как матрицыпередачи луча рассчитаны в настоящее время для многих оптических систем,использование правила ABCD существенным образом упрощает описаниепроисхождения гауссовых пучков через различные среды и устройства. Матрицыпередачи светового луча для шести простейших оптических систем приведеныв табл.
2.1.1. Плоскости П1 и П2 помечены пунктиром. Матрица № 1 описываетпрохождение луча в свободном пространстве на расстоянии d, матрица № 2 прохождение луча через тонкую линзу с фокусным расстоянием f. Матрица № 3представляет собой комбинацию первых двух. Последовательное соединение двухсистем типа № 3 описывается матрицей № 4, которая получается простымперемножением матриц. Под номером 5 представлена матрица передачи луча длялинзоподобной квадратичной по показателю преломления n среды длиной d. Матрица№ 6 соответствует диэлектрику с показателем преломления n и длиной d.
Сравниваяматрицы № 1 и № 6, можно заметить, что оптически более плотная среда уменьшаетэффективную длину пути параксиальных лучей, хотя, как известно, оптическая длинапути увеличивается.Геометрооптические методы расчета характеристик эрмито-гауссовых или лагеррогауссовых пучков, распространяющихся в оптических системах, широко используютсяв современной оптике.
Обширная практика их применения, многократныесопоставления результатов расчетов с экспериментальными данными, не оставляютсомнений в их правильности и эффективности.Однако приведенное выше физическое обоснование указанных методов, апеллирующеек сходству изменений комплексного параметра гауссова пучка q и радиуса кривизныволнового фронта R, нельзя считать достаточно строгим. Более последовательное истрогое доказательство применимости геометрического подхода можно осуществить,используя формализм расчета полей от источников, расположенных в комплекснойплоскости. В рамках этой теории, с которой можно более подробно ознакомиться помонографии [5], гауссов пучок оказывается эквивалентным волне от точечногоисточника, расположенного в точке с координатами (0,0,-ib), где i - мнимаяединица, b= w02i .
"Сферический характер" такой волны делает более нагляднымсходство преобразования в отических системах сферических волн и гауссовых пучков.2.1.6. Расчет поля дифрагированной волны методом разложения помодам свободного пространстваСкалярная теория дифракции, рассмотренная в первой главе, дает универсальный подход расчетаполя дифракции волновых пучков на различного рода препятствиях. Однако составленные наоснове дифракционных интегралов программы машинного расчета поля дифракции для ближней идальней зон весьма сложны и имеют существенные отличия.Свойство ортогональности мод свободного пространства дает возможность использовать длярасчета поля дифракции иной подход, основанный на разложении поля пучка, претерпевающегодифракцию, по модам свободного пространства.
Оно во многих случаях оказывается болеепростым и позволяет на основе одного алгоритма рассчитывать поля в ближней и дальней зонахдифракции. Этот метод особенно эффективен в случае слабого дифрагирования лазерных пучков.Плавный профиль изменения амплитуды лазерного пучка в плоскости апертурного разложенияпозволяет исключить в разложении моды со слишком высокими индексами, что сокращает времярасчета и повышает его точность.Пусть лазерная волна падает на отверстие произвольной формы в непрозрачном экране. Будемсчитать, что поперечное распределение амплитуды поля пучка в полярных координатахопределяется функцией u(r, ). Представим поле дифрагировавшей волны в виде суперпозициилагерро-гауссовых ТЕМpl-мод свободного пространства (p,l - радиальный и угловой индексысоответственно), поперечное распределение поля которых характеризуется нормированнымиортогональными функциями pl.
Тогда амплитуду светового поля uD(r, ,z) на расстянии z ототверстия можно представить в виде ряда(2.1.38)ось z совпадает с направлением распространения TEMpl-волн (в плоскости отверстия z=0).Коэффициенты разложения можно найти из соотношения(2.1.39)где интегрирование ведется по площади отверстия S. Минимальный радиус пучка мод TEMpl впрактических расчетах выбирается из соображений быстрой сходимости ряда (2.1.38).
Такимобразом, алгоритм расчета поля дифракции как в ближней, так и в дальней зонах сводится к двумоперациям: нахождению коэффициентов разложения и суммированию амплитуд TEMpl-волн вплоскости наблюдения.Рассмотрим частный случай нормального падения основной волны лазера ТЕМ00 на на круглуюцентрированную диафрагму радиуса r0. Световое поле на отверстии описываетс функцией(2.1.40)где - радиус пучка в плоскости отверстия. В силу аксиальной симметрии задачи отличными отнуля будут только те коэффициенты разложения Cp0=Cp, азимутальный индекс которых равеннулю. Переходя к безразмерным параметрамии используя выражения для pl,поперечное распределение интенсивности волны на расстоянии z от диафрагмы можнопредставить в виде (радиус пучка в плоскости диафрагмы считается минимальным, = 0)(2.1.41)гдеДля улучшения сходимости ряда (2.1.41) целесообразно проводить разложение по модам TEMp0 сминимальным радиусом пучка, равнымпараметр ограничения пучка., если <1, и=w0, если,где-Расчеты по формуле (2.1.41)показывают, что приемлемую точность в расчетах можно достичь, непривлекая в разложении моды с индексами p и l,значения которых превышают 10.2.2.
Моды оптических резонаторов [1-4, 6-10]В лазерных устройствах широко используются оптические резонаторы, состоящиечаще всего из двух плоскопараллельных или сферических зеркал. Оптическиерезонаторы обеспечивают необходимую для лазерной генерации положительнуюобратную связь и позволяют повысить плотность мощности светового поля до уровня,при котором происходит эффективный съем энергии с активной лазерной среды.Геометрия резонатора во многом определяет структуру лазерных пучков. В данномпараграфе будут рассмотрены пространственные спектральные характеристикисобственных типов колебаний (мод) оптических резонаторов, наиболее частоиспользуемых в лазерной технике.2.2.1.
Геометрооптическое описание внутрирезонаторных полейКак известно, традиционная схема лазера включает в себя двухзеркальный резонатор ирасполагающуюся в его внутренней полости активную среду. Рассмотримсимметричный лазерный резонатор со сферическими зеркалами (рис. 2.2.1). Луч,идущий вблизи оси резонатора, усиливается в активной среде и испытываетпериодические отражения от зеркал. При каждом отражении луч частично проходитчерез зеркало и покидает резонатор. Отраженный луч усиливается и при следующемотражении снова частично выходит из резонатора и так далее. Таким образом, пучоксвета, выходящий из лазерного резонатора, можно представить в виде совокупностилучей (лучевого пакета), являющихся продолжениями первоначального луча послекаждого его отражения от зеркал. Траекторию меридионального луча несложноопределить, используя матричный метод, описанный в разделе 2.1.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
