Короленкo П.В. Оптика когерентного излучения (1095919), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Необходимопотребовать, чтобы фаза вторичного источника отставала от фазы падающей волнына(из-за наличия в правой части (1.2.37) множителя -i).Поскольку в большинстве практических случаев выполняются соотношенияи, (1.2.38)можно построить выражение для величины r, ограничиваясь первыми двумя членамиее разложения в ряд Тейлора(1.2.39)Используя это выражение, получим следующее приближение для формулы ФренеляКирхгофа (1.2.34):. (1.2.40)Принято говорить о двух случаях применения интеграла (1.2.40): дифракции Френеля идифракции Фраунгофера.
Дифракция Френеля имеет место, когда поле рассчитываетсяна небольшом расстоянии от отверстия и член, появляющийся в показателестепени экспоненты, следует принимать во внимание. Дифракция же Фраунгоферанаблюдается вдали от отверстия, когда этот член пренебрежительно мал.Вторичные сферические волны, излучаемые каждой точкой в плоскости отверстия,являются в определенном смысле абстракцией и вводятся в приведенном выше подходек решению дифракционных задач, главным образом, для удобства описания.
Болеефизический подход развит в работах Зоммерфельда. Зоммерфельд рассматривалвысказанную еще в 1802 г. Томасом Юнгом идею, заключающуюся в следующем:наблюдаемое поле является суперпозицией падающей волны, прошедшей черезотверстие без искажения, и дифрагированной волны, источником которой служит крайотверстия. Однако на этом подходе мы подробно останавливаться не будем.1.2.3. Дифракция ФренеляАнализ дифракции Френеля в общем случае или применительно к прохождению светачерез сколь-нибудь сложные неоднородные структуры представляет собой непростуюзадачу. Поэтому мы ограничимся рассмотрением дифракции Френеля на квадратномотверстии со стороной l. Представим выражение (1.2.40) в виде произведения двухинтегралов, считая углы и пренебрежимо малыми:(1.2.41)гдеИнтегралы существенно упрощаются после замены переменныхи переходят в следующие интегралыгде пределы интегрирования определяются соотношениямиИнтегралы Ф(x') и Ф(y') можно выразить через табулированные функции, известныепод названием интегралов Френеля.
Последние определяются выражениями(1.2.43)Учитывая, что(1.2.44)можно записать(1.2.45)Наконец, подставляя (1.2.45) в (1.2.41), получаем распределение комплексного поля(1.2.46)и соответствующее распределение интенсивности(1.2.47)Для интерпретации этих выражений удобно воспользоваться графическимпостроением, которое называется спиралью Корню; спираль Корню (рис. 1.2.3)представляет собой совместный график зависимости C( ) и S ( ) от параметра .Заметим, чтовеличину C( )+iS( )можно считатькомплексным фазором,соединяющим началокоординат сточкой на спирали.Следовательно,величинапредставляет собойфазор, определяемый участком спирали между точками 1 и 2.
Используя подобныйграфический метод, можно вычислить значение выражений (1.2.46) и (1.2.47) в каждойточке дифракционной картины.1.2.4. Дифракция Фраунгофера. Элементы фурьеоптикиСкалярную теорию дифракции можно облечь в иную форму, если применитьдвумерный анализ Фурье. В дальнейшем мы воспользуемся тем, что при фурье-анализераспределения светового поля в любой плоскости пространственные составляющие егофурье-образа можно отождествить с плоскими волнами, идущими в разныхнаправлениях. Складывая амплитуды этих волн и учитывая их фазовые набеги, можновычислить амплитуду поля в любой интересующей нас точке пространства.
Разделфизической оптики, в котором для описания преобразований структуры светового поляиспользуется двумерный анализ Фурье, называется фурье-оптикой. Особенно удобноиспользовать аппарат фурье-оптики для характеристики дифракции Фраунгофера.Пусть в некоторой плоскости {x,y,0} задана комплексная амплитудасветовойволны, распространяющейся в положительном направлении оси z. Рассмотримтрансформацию поля волны при ее распространении.
Выясним сначала, какойфизический смысл имеет фурье-образ функции.В плоскости {x,y,0} двумерный фурье-образ функции имеет вид. (1.2.48)С помощью фурье-образафункцию можно представить в виде совокупностипростых экспоненциальных функций. (1.2.49)Из формулы (1.2.16) следует, что для комплексной амплитуды плоской волнысправедливо выражение, (1.2.50)где , , - направляющие косинусы нормали к фронту плоской волны,причем. Тем самым комплексную экспоненциальнуюфункцию, входящую в выражение (1.2.42), можно рассматривать какплоскую волну с направляющими косинусами(1.2.44)и комплексной амплитудой, равной, где,.
Таким образом,можно считать, что выражение (1.2.42) задает угловой спектр возмущениявплоскость, параллельную первоначальной, но смещенную от нее на расстояние z, ееугловые составляющие сохранят свои амплитуды. Все изменения сведутся лишь кизменению фаз угловых составляющих спектра, поскольку плоские волны,распространяясь под разными углами, проходят разные расстояния.
Иная ситуациябудет иметь место, если на пути распространения волны будут находиться какие-либопрепятствия.Предположим, что на пути распространения волны с угловымспектромнаходится экран с амплитудным коэффициентомпропускания t(x,y). В плоскости непосредственно за экраном распределение поляможно записать в виде, (1.2.45)где- поле падающей волны. По теореме свертки - важнейшей теореме анализаФурье, - для углового спектра пропущенной экраном волнывыражениебудет справедливо, (1.2.46)где Т - фурье-образ функции t(x,y).Если на экран перпендикулярно падает плоская волна единичной амплитуды, то ееугловой спектр будет определяться -функцией.
(1.2.47)В этом случае (1.2.46) упрощается. (1.2.48)Таким образом, для рассмотренного частного случая угловой спектр дифрагированнойволны представляет собой фурье-образ функции пропускания t(x,y). Как правило,помещение на пути распространения волны какой-либо ограничивающей апертурыприводит к существенному уширению углового спектра, причем это уширение тембольше, чем меньше размер апертуры.Применим теперь анализ Фурье для описания дифракции Фраунгофера на отверстии.Разложим квадратичные члены в экспоненте, стоящей под интегралом в выражении(1.2.40), ограничиваясь случаем, когда:, (1.2.49).Учтем также, что при дифракции Фраунгофера. (1.2.50)Тогда можно считать, что квадратичная фазоваяфункцияс координатамиприблизительно равна единице по всему отверстию, и в точкеполе равно.(1.2.51)Поскольку последний интеграл представляет собой фактически фурье-образфункцииобраз какс пространственными частотами, то обозначая фурье-, имеем.
(1.2.52)Отсюда видно, что расчет распределения поля дифрагированной волны фактическисводится к нахождению фурье-образа поля сразу за экраном. Если экран освещаетсяплоской когерентной волной с единичной амплитудой, то. Нижеприводятся фурье-образы функций пропускания для наиболее важных в практическомотношении случаев.1. Прямоугольное отверстие, (1.2.53)- размеры отверстий соответственно в направлении х и у,, (1.2.54)где.2. Круглое отверстие, (1.2.55)D -диаметр отверстия,, (1.2.56)где- функция Бесселя первого порядка.3.
Синусоидальная амплитудная решетка; (1.2.57)L - размер квадратной решетки,минимальным пропусканием.- ее частота, m - разность между максимальным и. (1.2.58)4. Дифракционная решетка - непрозрачный экран размером L, имеющий N щелейшириной а (щели располагаются строго периодически в направлении у, нарасстоянии b одна за другой, так что период решетки составляет d=a+b). (1.2.59)5. "Мягкая" диафрагма с гауссовым профилем пропускания, (1.2.60). (1.2.61)На последнем примере следует остановиться особо.
Из формул (1.2.60) и (1.2.61)следует, что, если световая волна имеет в поперечном сечении гауссово распределениеамплитуды (такую волну можно получить, например, пропуская плоскую однороднуюволну через диафрагму с профилем (1.2.60), то ее фурье-образ также будетхарактеризоваться функцией Гаусса. Благодаря этому обстоятельству, "гауссовый"световой пучок, распространяясь в свободном пространстве, будет сохранятьнеизменной форму распределения амплитуды поля.
Более подробно свойства гауссовапучка будут рассмотрены в следующей главе.1.2.5. Принцип Бабине. Эффект ТалботаРассмотрим в силу практической значимости более подробно два случая дифракции наплоских экранах. Пусть задан некоторый экран. Заменой отверстий на непроницаемыеучастки и наоборот можно получить так называемый дополнительный экран. Если 1и 2 - дифрагированные поля на этих двух экранах, то имеет место следующеесоотношение (принцип Бабине)(1.2.62)где- поле в отсутствие экрана.
Соотношение (1.2.62) непосредственно следует из(1.2.40), если интегрирование в этом соотношении выполнить по всей плоскости.Остается лишь предположить, что поляина отверстиях первого и второгоэкрана совпадают с полем, которое имеет место в отсутствие экрана. Вообщеговоря, принцип Бабине выполняется лишь приближенно, так какинеравны, но нарушение (1.2.62) существенно лишь вблизи границ диафрагм.Второй случай относится к дифракционным полям, имеющим вид периодическихфункций. Он имеет интересные приложения для теории решеток и теории модульныхлазерных систем.Пусть цилиндрическое поле, фаза которого не зависит от координаты y, вплоскости z=0 записывается в виде(1.2.63)где- периодическая функция координаты x, содержащая столькогармоник N, что.
Тогда для ближней зоны дифракции можно использоватьдифракционную формулу Френеля (1.2.40), и мы имеем(1.2.64)Следует заметить, что в частном случаесоотношение(q=1, 2, ...) имеет место, так что(1.2.65)Отсюда следует, что во всех плоскостях zq распределение интенсивности поляодинаково. Это свойство называют эффектом Талбота, или эффектомсамовоспроизведения. Оно было впервые замечено Талботом в 1836 г. и имеет весьмаважные применения в фурье-спектроскопии, интерферометрии и оптике лазеров.1.2.6. О возможности обобщения метода Кирхгофа наслучай векторных полейМатематическая не строгость теории дифракции приводит к тому, что она не можетбыть использована для расчета характеристик поля в непосредственной близости ототверстий в непрозрачных экранах. Кроме того, приемлемая точность расчетов можетбыть обеспечена лишь в тех случаях, когда размеры отверстий немного превосходятдлину волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
