Короленкo П.В. Оптика когерентного излучения (1095919), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Прииспользовании приведенных в указанном разделе соотношений надо воспользоватьсятем, что с точки зрения воздействия на луч зеркало эквивалентно линзе с фокуснымрасстоянием f=R/2. Оценивая изменение координат луча путем последовательногоприменения матриц зеркала и свободного промежутка между зеркалами, можнопоказать, что поперечная координата hk луча при k-м отражении, начиная с k=0,определяется соотношением:(2.2.1)где h0 и  0 - поперечные линейная и угловая координаты луча при первом отражении,соs =g (0<g<1), где g - так называемый g-фактор резонатора, выражаемый через егодлину dи радиус кривизны зеркала R посредством соотношения. Неравенствоопределяет условие устойчивости симметричного резонатора.

Если оно нарушено, толуч после определенного числа отражений обязательно выйдет за границы апертурызеркал. Такие резонаторы называются неустойчивыми.В общем случае, когда  не кратно целому числу  , точки, в которых происходитотражение луча на зеркалах резонатора, не повторяются. Луч при этом, несмотря надискретный характер отражения, стремится полностью зачертить некоторую областьвнутри резонатора. Граница этой области является огибающей лучевого пакета(каустикой), т.е.

описывает форму лазерного пучка в геометрооптической трактовке.Приведенный лучевой анализ структуры поля в устойчивом симметричном резонатореможет быть распространен и на случай несимметричного резонатора с разнымирадиусами кривизны зеркал. Опуская получающиеся при этом соотношения, отметимлишь, что условие устойчивости резонатора с радиусами кривизны зеркал R1 и R2имеет вид:0<g1g2<1, (2.2.2)где g1=1-d/R1 и g2=1-d/R2 - g-факторы несимметричного резонатора.

Лучевые моделиописания внутрирезонаторных полей получили широкое распространение прежде всегов силу их простоты и наглядности. Однако не всегда при этом дается отчет в том, чтоуказанные модели не удовлетворяют условиям выполнимости геометрооптическогоприближения. Некорректность лучевых моделей особенно отчетливо проявляетсяприменительно к устойчивым резонаторам. В устойчивом резонаторе лазерный пучокформируется в прикаустической зоне и значительные изменения амплитуды поляпроисходят на масштабе, меньшем первой зоны Френеля. Отступление от классическойтрактовки геометрической оптики приводит к тому, что распространяющиеся врезонаторе лучи оказываются неперпендикулярными волновому фронту.

В этой связи вкогерентной оптике сложилось направление, рассматривающее внутрирезонаторныелучевые модели в виде неких модификаций геометрической оптики. Разработанная врамках данного направления теория [8,9] позволяет по определенным правиламвосстанавливать амплитудно-фазовый профиль пучка внутри резонатора на основеструктуры лучевых пакетов.2.2.2. Моды устойчивых резонаторов в приближении бесконечной апертурыВ волновой трактовке свойства устойчивых резонаторов во многих случаяхцелесообразно рассматривать в приближении бесконечной апертуры зеркал. Такоеприближение является оправданным, когда поле лазерного излучения концентрируетсявблизи оси резонатора и его величина у краев зеркал пренебрежимо мала.

Последнееобстоятельство освобождает от рассмотрения эффектов дифракции на внешнейапертуре зеркал и позволяет свести моды устойчивых резонаторов к изученным уже вразделе 2.1 модам свободного пространства. В этом разделе было показано, что эрмитогауссовые или лагерро-гауссовые моды свободного пространства имеют областьнаибольшего сужения (горловину) и расширяются от этой области в обоихнаправлениях. Типичный гауссов пучок показан на рис. 2.2.2,а.

Сплошные линиихарактеризуют ширину пучка, а пунктирные линии, перпендикулярные оси,показывают фазовые фронты в различных точках вдоль пучка. Такой же пучок можетсуществовать и внутри устойчивого резонатора, если зеркала поместить в тех местах,где радиусы кривизны фазового фронта пучка совпадают с радиусами кривизны(рис. 2.2.2, б).При каждом отражении от зеркал пучок будет переходить сам в себя, что и обеспечитформирование моды резонатора. Поскольку все принадлежащие к одному семействумоды Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса характеризуются одними и теми же значениямирадиуса кривизны волнового фронта, можно утверждать, что устойчивомусферическому резонатору можно поставить в соответствие целый набор собственныхмод ТЕМmn, различающихся поперечными индексами m и n.

Их структураопределяется выражениями (2.1.12, 2.1.13, 2.1.22, 2.1.26). Входящие в эти выраженияминимальный радиус гауссова пучкаи длина волны  могут быть найдены изусловия резонанса, обеспечивающего интерференцию на усиление лучей, отраженныхот зеркал резонатора. Условие резонанса будет выполняться, если фазовый сдвигвнутрирезонаторного пучка за двойной проход по резонатору будет равен целомучислу, умноженному на 2 . Тем самым, при резонансе должно выполняться равенство2      , (2.2.3)где   - сдвиг фазы при прохождении волны от одного зеркала к другому, N - целоечисло. На оси резонатора (r=0) согласно (2.1.23).

(2.2.4)Считается, что зеркала расположены на расстояниях d1 и d2 от области сужения пучкаи d=d1+ d2 (см. рис. 2.2.2,б). С учетом (2.2.4) условие резонанса (2.2.3) принимает вид. (2.2.5)Длина волны  в приведенных соотношениях является не длиной волны моды гауссовапучка, а длиной волны, которую имела бы соответствующая плоская волна, если бы онараспространялась в той же среде и с той же частотой, что и мода гауссова пучка.

Длинаволны гауссова пучка могла быть определена как расстояние вдоль оси,соответствующее фазовому сдвигу 2 . Ее величина, однако, не является постоянной изависит, хотя и незначительно, от положения вдоль оси моды Эрмито-Гаусса.Условие резонанса (2.2.5) можно выразить непосредственно через параметрырезонатора. Выразим сначала расстояния d1 и d2, радиусы пучков w1 и w2 на зеркалах1 и 2, минимальный радиус пучка w0 через радиусы кривизн зеркал R1 и R2 ирасстояние d между ними. Используя зависимость (2.1.13), можно записать, (2.2.6).

(2.2.7)Освобождаясь от величины w0 в этих уравнениях, получаем. (2.2.8)Присовокупив к (2.2.8) равенство, (2.2.9)можно определить неизвестные параметры d1 и d2, (2.2.10). (2.2.11)Подстановкой (2.2.10) и (2.2.11) в (2.2.6) или (2.2.7) находим последний неизвестныйпараметр - минимальный радиус пучка w0. (2.2.12)Используя выражения (2.2.10), (2.2.11) и (2.1.12), легко найти величину радиусовпучков на зеркалах резонатора, (2.2.13). (2.2.14)Вышеприведенные выражения позволяют условие резонанса (2.2.5) записать в форме,включающей в явном виде параметры резонатора. Воспользуемся известнойтригонометрической формулой, (2.2.15)где, (2.2.16).

(2.2.17)Путем алгебраических упрощений выражение (2.2.15) можно привести к виду. (2.2.18)С учетом (2.2.18) условие резонанса (2.2.5) примет вид. (2.2.19)Выражение (2.2.19) позволяет определить резонансную частоту (собственную частотурезонатора). (2.2.20)Заметим, что последнее выражение сочетается с условием устойчивости (2.2.1),поскольку член под знаком корня может быть только действительной величиной, амодуль корня должен быть меньше единицы.

Число N определяет число полуволн,укладывающихся вдоль оси резонатора. Поэтому число N часто называют порядкомпродольных мод резонатора или продольным индексом. Индексы же m и n называютиндексами резонаторных мод, поскольку они определяют число поперечных вариацийполя эрмито-гауссовых мод. Приm=n=0 имеет место чисто гауссова мода. Такимобразом, чтобы охарактеризовать пространственную структуру собственной модырезонатора помимо параметров d1, d2, w0, w1,2 нужно обязательно задать одинпродольный N и два поперечных индекса m и n.Если зафиксировать поперечные индексы m и n, то из (2.2.20) легко установить, чточастотный интервал между соседними "продольными модами (продольный индекскоторых отличается на единицу) равен с/2d.Если структуру поля в резонаторе описывать с помощью лагерро-гауссовых мод, то ихпараметры по-прежнему будут определяться выражениями (2.2.10) - (2.2.14).Резонансные же частоты будут определяться выражением.

(2.2.21)Для конфокального резонатора (d=R1=R2=b) параметры собственной моды принимаютзначения,,, (2.2.22)собственная же частота моды будет определяться выражением. (2.2.23)Параметр b называют конфокальным параметром. Самая важная особенностьконфокального резонатора состоит в том, что в нем достигается высокая степеньвырождения собственных мод: моды, имеющие различный набор индексов m, n,N могут иметь совпадающие частоты. Действительно, из (2.2.23) видно, что значениесобственной частоты резонатора  не изменится, если сумму поперечныхиндексов m+n увеличить на целое число 2К (К=1, 2, 3...), а индекс N уменьшить на К.Как следует из (2.2.23), минимальный частотный интервал между четными инечетными модами резонатора, сумма поперечных индексов которых m+n являетсясоответственно четной и нечетной, равен с/4d.2.2.3.

Согласование резонаторовУстановив зависимость между параметрами генерируемого в лазере светового пучка отпараметров лазерного резонатора, рассмотрим важную в практическом отношениизадачу согласования моды одного резонатора с модой другого посредством тонкойлинзы. Такая задача часто возникает, когда выходной лазерный пучок подается впассивный сферический резонатор, выполняющий роль интерферометра, или врегенеративный оптический квантовый усилитель (невозбужденный лазер). Если необеспечить согласование параметров лазерного пучка с параметрами собственной модывнешней системы, то возникает преобразование моды.Рассмотрим согласование резонаторов лазера и интерферометра, когда известныположения горловин их собственных мод и минимальные радиусы пучков (рис. 2.2.3 ).Предположим, что минимальный радиус пучка лазера равен w10, а расстояние от егогорловины до линзы есть z1.

Соответствующие величины для собственного пучкаинтерферометра пусть будут равны w20 и z2. В горловинах комплексные параметрыпучков будут чисто мнимые и равны,. (2.2.24)На основании уравнений (2.1.11) и (2.1.28) получаем следующее соотношение. (2.2.25)где f - фокусное расстояние линзы. Так как параметры пучка q1 и q2 являются чистомнимыми, уравнение (2.2.25) можно разделить на вещественную и мнимую части, (2.2.26). (2.2.27)Найдем теперь, например, величину z2 путем исключения z1.

Характеристики

Список файлов лекций