Короленкo П.В. Оптика когерентного излучения (1095919), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Кроме того, q определяет кривизну волнового фронта,который вблизи оси является сферическим. Подставив выражение (2.1.4) в (2.1.3), получим. (2.1.5)Штрих означает производную по z. Уравнение (2.1.5) эквивалентно двум уравнениям, (2.1.6). (2.1.7)Интегрируя (2.1.6), получаем. (2.1.8)Это уравнение устанавливает весьма простое соотношение между параметром пучка в разныхсечениях, отстоящих друг от друга на расстоянии z.Когерентный световой пучок с гауссовым распределением поля имеет фундаментальное значениев теории волновых пучков. Этот пучок называют основной модой в отличие от других мод болеевысокого порядка, которые будут рассматриваться ниже.

Вследствие особой важности рассмотримсвойства гауссова пучка с длиной волны  более подробно. Для этого выразим комплексныйпараметр q через два действительных параметра пучка R и w. (2.1.9)Физический смысл этих параметров становится ясным при подстановке соотношения (2.1.9) в(2.1.4). Видно, что R есть радиус кривизны волнового фронта, а w характеризует изменениеполя Е в поперечной плоскости. Распределение поля в этой плоскости, как видно из рис. 2.1.1,подчиняется закону Гаусса и w равно расстоянию, на котором амплитуда поля убывает в е раз посравнению с полем на оси.Важно отметить, что гауссов характер распределение поля будет иметь в любой плоскости, будетменяться лишь ширина этого распределения.

Параметр w принято называть радиусом пучка, а 2w диаметром пучка. В некоторой плоскости, называемой горловиной пучка, гауссов пучокстягивается к минимальному диаметру 2w0. В этой плоскости, от которой целесообразноотсчитывать расстояние z, фазовый фронт является плоским и комплексный параметр пучкастановится чисто мнимым.

(2.1.10)На расстоянии z от горловины. (2.1.11)Из сопоставления соотношений (2.1.9) и (2.1.11) легко получить следующие важные впрактическом отношении выражения:, (2.1.12). (2.1.13)Изменение радиуса, задаваемое выражением (2.1.12), графически иллюстрируется рис. 2.1.2.Образующая пучка w(z) представляет собой гиперболу, асимптота которой наклонена к оси подуглом.

(2.1.14)Этот угол равен углу дифракции основной моды в дальней зоне.Для расчета комплексного фазового сдвига на расстоянии z от горловины пучка воспользуемсясоотношениями (2.1.7) и (2.1.11); в результате получим. (2.1.15)Интегрирование уравнения (2.1.15) дает. (2.1.16)Действительная часть Р представляет собой разность фаз Ф между гауссовым пучком и идеальнойплоской волной, а мнимая - амплитудный фактор, который характеризует уменьшениеинтенсивности на оси из-за расширения пучка. С учетом полученных соотношений выражение(2.1.1) принимает вид, (2.1.17)где. (2.1.18)Из формулы (2.1.18) видно, что Ф растет с увеличением z и уменьшением минимального радиусапучка. Максимальное значение Ф равно  /2.

Наличие в показателе экспоненты выражения(2.1.17) членаобусловлено отставанием по фазе световых колебаний на перифериигауссова пучка из-за кривизны волнового фронта.2.1.3. Моды высших порядковВ предыдущем параграфе рассматривалось лишь одно решение уравнения (2.1.3), а именногауссов пучок, являющийся основной модой свободного пространства. Существуют, однако, идругие решения уравнения (2.1.3), которым соответствуют пучки с сохраняющейся формойраспределения амплитуды поля по поперечному сечению - высшие моды свободногопространства.

Все решения (2.1.3) образуют полную ортогональную систему функций, поэтомулюбое произвольное распределение монохроматического поля может быть разложено по модамсвободного пространства.В прямоугольной системе координат x, y, z решение уравнения (2.1.3) может быть записано в виде, (2.1.19)где g - функция x и z, а h - функция y и z.

Для действительных g и h это решение описывает моды,поперечное распределение поля которых связано с радиусом гауссова пучка w(z). Подставляя(2.1.19) в (2.1.3), можно убедиться, что функция g и h удовлетворяют тому же самомудифференциальному уравнению, что и полиномы Эрмита Hn(t), (2.1.20)где n - целое число, адля функции g идля функции h. Таким образом, (2.1.21)где m, как и n - целое число.Физический смысл индексов m и n, называемых поперечными индексами моды, заключается втом, что они показывают, сколько раз поле меняет знак соответственно в направлении x и y.Важно отметить, что моды всех порядков характеризуются одним и тем же масштабнымпараметром w(z). Полиномы Эрмита низших порядков равныДля математического описания мод более высоких порядков можно использовать выражение(2.1.17), если в правую его часть вставить произведение.

Распределение поля в модахсвободного пространства будет определяться, таким образом, произведением функций Эрмита иГаусса(2.1.22)В частном случае m=0, n=0 мы имеем гауссов пучок - основную моду свободного пространства.Параметр R(z) в (2.1.22) для всех мод одинаков. Это означает, что кривизна волнового фронтаодинакова для всех мод и закон его изменения один и тот же. Однако фазовый сдвиг Ф зависит отпоперечного индекса. Можно найти, что.

(2.1.23)Из выражения (2.1.23) видно, что фазовая скорость с ростом индекса увеличивается.Если решать уравнение (2.1.3) в цилиндрической системе координат r,  , z, подобное решениезаписывается в виде. (2.1.24)После некоторых преобразований можно получить, (2.1.25)где- обобщенный полином Лагерра, а р и l - соответственно угловой и радиальный индексы,показывающие, сколько раз поле меняет знак в радиальном и азимутальном направлениях.Полиномы Лагерра низших порядков равны:В цилиндрической системе координат, тем самым, моды будут описываться лагерро - гауссовымифункциями.

(2.1.26)Как и для случая прямоугольных координат, параметры w и R одинаковы для всехцилиндрических волн, а разность фаз, как и ранее, зависит от индексов моды и определяетсяуравнением(2.1.27)Графические распределения амплитуды поля для некоторых низших мод приведены на рис.2.1.3. Для наглядности под каждым графиком приведена картина, наблюдаемая на экране припадении на него светового пучка, соответствующего определенной моде.Как эрмито-гауссовые, так и лагерро-гауссовые моды, реализуемые на практике, характеризуются,как правило, большим значением радиуса кривизны волнового фронта.

Поэтому их с хорошейстепенью приближения можно отнести к поперечным электромагнитным волновым пучкам видаТЕМ. С учетом поперечных индексов эти пучки часто обозначаются как пучки ТЕМmn илиТЕМpl.Следует, однако, помнить, что световые поля, записанные в виде (2.1.22) и (2.1.26), являются лишьприближенными решениями волнового уравнения.

Степень приближения ухудшается сувеличением чисел (m+n) или (2p+l) и решение перестает быть верным, если величина,содержащая в качестве сомножителя сумму m+n+1 (либо 2p+l+1) становится сравнимой созначением kz. Представление же произвольного поля в виде разложения по модам (2.1.22) и(2.1.26) является, следовательно, не строгим, а приближенным решением волнового уравнения.Если члены высокого порядка дают заметный вклад в разложение, то, чтобы ряд в целом былрешением волнового уравнения, необходимо вводить дополнительные коэффициенты к членамряда.2.1.4. Преобразование волновых пучков с помощью линзКак известно, линзы широко применяются либо для фокусировки лазерного пучка в пятнанебольших размеров, либо для соответствующего преобразования диаметра и кривизны волновогофронта пучка с целью ввода в данную оптическую систему. Идеальная линза или система линз неизменяет поперечного распределения поля моды свободного пространства.

Иначе говоря, входнаяосновная гауссова мода после прохождения линзовой системы сохраняется, а моды высшихпорядков преобразуются на выходе в моды тех же порядков. Однако при этом параметрымод R(z) и w(z) претерпят изменения. Рассмотрим соотношение между входными параметрами,обозначаемыми индексом 1, и соответствующим выходными параметрами с индексом 2.Идеальная тонкая линза с фокусным расстоянием f преобразует сферическую волну радиуса R1,слева от линзы в сферическую волну с радиусом R2 справа так, что. (2.1.28)Это преобразование поясняется рис.2.1.4.

Радиус кривизны считается положительным, когдаволновой фронт выпуклый, если смотреть из точки z  . Линзовая система преобразуетволновой фронт моды так же, как и сферическую волну. Если линза тонкая и диаметр пучка слеваи справа от нее одинаков, то соотношение между комплексными параметрами входного ивыходного пучка запишется по аналогии с (2.1.28) в виде, (2.1.29)где q1,2 измерены непосредственно у линзы.Если же q1 и q2 измерять на расстоянии d1 и d2 от линзы, как показано на рис. 2.1.5, тосоотношение между ними принимает вид(2.1.30)Эта формула получается непосредственно из выражений (2.1.8) и (2.1.9).Более сложные оптические системы, такие, как комбинация линз, газовые линзы или толстыелинзы, следует рассматривать какпоследовательность тонких линз,расположенных на различныхрасстояниях.

Для расчетапрохождения пучка лазера черезсложные системы, таким образом,достаточно последовательногоприложения к системесоотношений (2.1.28) и (2.1.29).2.1.5. Геометрооптическоеописание распространения ипреобразования волновыхпучковРешение многих важных впрактическом отношении задачсущественным образом упрощается,если воспользоваться связью,которая существует между оптикойгауссовых пучков и геометрическойоптикой. Сферическому волновомуфронту гауссова пучка в любомпоперечном сечении можнопоставить в соответствие пучоклучей, исходящих из одной и тойже точки О1 (рис.

Характеристики

Список файлов лекций