Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Передаточная функция фильтра Чебышева Н(в) зависит от желаемой неравномерности в полосе пропускания и порядка фильтра гт'. Величина У опреде- ляется соотношением сзЬ -'-х"=-'- свЬ ("--9) (8,28) где А„и А, соответственно — неравномерность в полосе пропускания и затухание в полосе подавления в децибелах, ыз — граничная частота полосы подавления. где Сн(ьг'/и') — полипом Чебышева с равными колебаниями в полосе пропускания, Х вЂ” порядок полинома (также порядок фильтра), а е определяет неравномерность в полосе пропускания, которая в децибелах выражается так: $30 Глава 8.
Разработка фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) Полюса нормированного ФНЧ Чебышева лежат на эллипсе в з-плоскостн, а нх координаты определяются выраженнем (23) зь = вЬ(а) соа(13ь) + ияЬ(гх) в1п(13ь), (8.29) где 1 , )'1') (2Й + М вЂ” 1)к 8.9.1.3. Эллиптический фильтр Характеристика эллнптнческого фильтра нмеет равные колебания в полосе пропускання н подавления (см. рнс, 8.12, г).
Данный фильтр характеризуется следующнм квадратом амплитудно-импульсной характеристики: 1+ езО2 (, н) (8.30) ВЯ 2;,. Методология билинейного я-преобразования с использованием классических аналоговых фильтров Если ФНЧ-прототипа не существует, схема билинейного з-преобразовання реалнзуется следующим образом. 1. Деформировать граничные нлн критичные частоты цифрового фильтра, как опнсывалось выше. 2. На основе спецификации цифрового фильтра н классических характеристик фильтров найти подходящий аналоговый фильтр-прототип нижних частот. Данный этап включает нспользованне одного нз уравнений преобразования частоты (в зависимостн от типа цифрового фильтра — нижних частот, верхних частот, полосовой нлн где Сн(ы') — рациональная функция Чебышева.
В отличие от фильтров Баттерворта н Чебышева, простого выражения для полюсов зллнптнческого фильтра не существует, взамен этого есть процедуры вычисления положений полюсов (напрнмер, см. [2, 7, 14]). Нули эллиптического фильтра нижних частот полностью мнимые. Эллиптическая характеристика дает наиболее эффективные фильтры с точки зрения амплитудной характеристики. Она позволяет получать фильтры наименьшего порядка прн данном наборе спецификаций, н в первую очередь прн разработке БИХ-фнльтров следует попробовать именно эллиптическую характернстнку.
Исключение составляют те случаи, когда важна фазовая характеристика (тогда стоит использовать характеристику Баттерворта). Во многие книги по аналоговой разработке включены таблицы полнномнальных представлений Н(з) для фильтров Батгерворта, Чебышева н эллнптнческнх, где онн приводятся в нормированной форме, так что нх можно использовать в билинейном преобразовании. На практике, впрочем, для вычисления Н(г) по данной Н(з) обычно используются программные пакеты, что будет продемонстрировано ниже. Вуд Использование дпя разработки БИХ-фильтров билинейною з-преобразования...
вз1 режекторный) для определения спецификаций фильтра-прототипа нижних частот. На основе полученных данных определяется порядок фильтра-прототипа, а следовательно, его передаточная функция Н(з). 3. Денормировать передаточную функцию аналогового ФНЧ-прототипа Н(з), использовав преобразование частоты и масштабирование, и получить новую передаточную функцию Н'(з), как описывалось выше. 4. Применить билинейное з-преобразование и получить передаточную функцию искомого цифрового фильтра Н(г), заменив з в частотно-масштабированной передаточной функции Н'(з), как описывалось выше. Рассмотрим теперь основные концепции всех типов фильтров (нижиих частот, верхних частот, полосовых и режекторных).
8.9.2.1. Фильтр нижних частот: основные концепции Преобразование передаточной функции фильтра нижних частот в передаточную функцию фильтра нижних частот происходит по следующему закону: 3 а=в ! О/„ Если в этом выражении заменить з на и~ и записать частоты фильтра-прототипа как м", а частоты разрабатываемого фильтра нижних частот как щ„„(чтобы как-то их раз- личать), приведенное выше выражение переходит в такую форму: . ~'~зч М~ч ыз = з —, т.е. ь з = —. зг ыз (8.31) 8.9.2.2.
Фильтр верхних частот: основные концепции Используя преобразование "НЧ-фильтр в ВЧ-фильтр", з = ы'/з и обозначив через ы,„частоты денормнрованного фильтра верхних частот, а через м" — частоты ФНЧ- Уравнение (8. 31) определяет связь между частотами фильтра-прототипа и фильтра нижних частот, который требуется разработать. Зная критичные частоты денормированного фильтра нижних частот, можно использовать формулу (8.3 1) и найти критичные частоты фильтра-прототипа, а следовательно, определить его спецификации. Фильтр-прототип имеет три критичные частоты: О, граничная частота полосы пропускания; ь~з (это практически всегда 1); и граничная частота полосы подавления, м",. 1) если ыз„= О, аР = О (из уравнения (8.31)); 2) если мзз = м' (т.е. граничной частоте полосы пропускания), щз = м'„/ы„' = 1 = ыз; 3) если ы„„= з~'„зР = и',/ь~ = ь~,".
Итак, критичньзми частотами для фильтра-прототипа являются О, 1, м',/м'. Связь частот денормированного фильтра нижних частот и фильтра-прототипа показана на рис. 8.13. 532 Глава 8. Разработка фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) 1 Ю и', гд' Ркс. 8.13.
Связь мсжпу частотами пскормврованного ЕзНЧ к ФНЧ-проготкпа прототипа (как и выше), получим следующую связь меясау частотами ФНЧ-прототипа и нужного фильтра верхних частот: г ы ,р 1 звч (8.32) Используя формулу (8 32), критичные частоты ФНЧ-прототипа можно выразить через частоты искомого фильтра верхних частот: 1) если оз,ч = О, ыР = сс (используем формулу (8.32)); 2) если ы,„= ьз„' (т.е. граничной частоте полосы пропускания), ы" = 1.
3) если ш„, = ьз,', ыв = --~; 4) если ывч = — пз,', ы' = 1; 5) если ы,„= — ьз' ьзр — я Следовательно, при разработке фильтра верхних частот тремя критичными частотами ФНЧ-прототипа являются О, 1 и мз„'/ьг',. Критичные частоты ФНЧ-прототипа и их связь с частотами денормированного фильтра верхних частот изображены на рис. 8.14. Отметим, что преобразование "НЧ-фильтр в ВЧ-фильтр" переводит частоты фильтра верхних частот: О отображается в бесконечность,ыр — в единицу, а бесконечность — в нуль. 8.9.2.3. Полосовые фильтры: основные концепции Преобразование "фильтр нижних частот в полосовой фильтр" записывается следующим образом: ЗЗ+ 12 о И' з Рнс.
ацп. Связь часты дсиормированното ФВЧ и ФНЧ-прототипа Согласно этому правилу частоты полосового фильтра шпп и частоты ФНЧ-прототипа пзр связаны следующим соотношением: р (газ ) +пзо гш гИ' Шпп т.е. 2 2 р озпп шо 1'1 шпп (8.33) Полосовой фильтр имеет четыре критичные, или граничные, частоты и центральную частоту: ит'„ш'2 = верхняя и нижняя граничные частоты полосы пропускания пт,'„пт,г = верхняя и нижняя граничные частоты полосы поглощения ото — — центральная частота (ото = пз'тот„'2) Используя соотношение (8.33), граничные частоты ФНЧ-прототипа можно выразить через граничные частоты полосового фильтра: с р сг а 1) если пз„„= ьз„, шр = пз,рт = -ф-т-а', зр рг 1'"рг-'"аздмрг „г „г 4) если пт„„= пз',2, ШР = Пзрпг = -Щ /г-мг 5) если отав пп шо, изр = -л-.-,а; б) отп = пцп(пт',Р„пз',Рг).
8.9. Использование для разработки БИХ-фильтров билинейною г-преобразования... 633 $34 Глава б. Разработка фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фипьтроа) -! о рис. ВЛК Отобрекеиие ФНЧ-лротатила а иолосоаой фильтр Следовательно, важными критичными частотами ФНЧ-прототипа являются О,1, и(.."„),'л О. Отображение частот полосового фильтра в частоты ФНЧ-прототипа изображено на рис. 8.15. Отметим, что центральная частота полосового фильтра отображается в нулевую частоту фильтра-прототипа, а верхние граничные частоты полосы пропускания и полосы подавления ш' и от'„соответственно переводятся в положительные граничные частоты полосы пропускания и полосы подавления фильтра-прототипа.
С другой стороны, нижние граничные частоты полосы пропускания и полосы подавления от'т и м'„соответственно переводятся в отрицательные граничные частоты полосы пропускания и полосы подавления фильтра-прототипа. На практике используется граничная частота полосы подавления фильтра-прототипа, равная меньшей из двух частот полосы подавления от,"з и от,"„как отмечалось выше. Неравномерности в полосе пропускания и затухании и полосе подавления ФНЧ-прототипа равны соответствующим величинам цифрового полосового фильтра.
По спецификациям ФНЧ-прототипа можно определить порядок )т' передаточной функции фильтра, используя, например, уравнение (8.25) или (8.28). Порядок полосового фильтра равен удвоенному порядку ФНЧ-прототипа, т.е. 2)т'. Полюса фильтра- прототипа определяются из уравнений (8.26) и (8.29). Для фильтров Баттерворта и Чебышева (тип 1) нули ФНЧ-прототипа расположены на бесконечности, а для эллиптического фильтра они полностью мнимые. Зная положения полюсов и нулей (или имея стандартные таблицы для классических фильтров), можно вычислить передаточную функцию фильтра-прототипа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
