Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Получить Н Я, сгруппировав результаты п. 3 в члены второго порядка и, возможно, один член первого порядка. Если используется реальная частота дискретизации, Н(г) нужно затем умножить на Т. '.:,':~-$!6.3.",' Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики: замечания 1. Импульсная характеристика дискретного фильтра 13(пТ) идентична характеристике аналогового фильтра 13(т) в дискретные моменты времени 1 = пТ, и = 0,1,...; см., например, рис.
8.7. Именно по этой причине метод называется инварианпгным преобразованием импульсной харакгперисгпики. 812 Глава 8. Разработка фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) Врем», г (напр«рывнос) Время. я Т(лискрстым) О 2Т 4Т ЬТ ХТ (01 (2Т 6) рне. 8.7.
Сравнение импульсной характеристики а) аналогового фильтра Ь(Г) и б) эквивалентного пнфрового фильтра 6(пт). В методе инвариантного преобразования импульсной характеристики две характеристики идентичны в мо- менты взятия выборок 2. На частотную характеристику дискретного фильтра, построенного по схеме инвариантного преобразования импульсной характеристики, влияет частота дискретизации.
Чтобы частотная характеристика была ближе к характеристике эквивалентного аналогового фильтра, необходима достаточно большая частота дискретизации. 3. Как и для систем дискретизованных данных, спектр фильтра с инвариантным преобразованием импульсной характеристики, соответствуюший Н(г), аналогичен спектру исходного аналогового фильтра Н(л), но повторяется с периодом, равным частоте дискретизации, как показано на рис. 8.8, вызывая таким образом наложение спектров. В то же время, если характеристика исходного аналогового фильтра имеет достаточно резкие срезы, или если ширина полосы характеристики аналогового фильтра была ограничена перед применением метода инвариантного преобразования импульсной характеристики, наложение будет незначительным.
Этого же эффекта можно добиться, увеличив частоту дискретизации. Делаем вывод, что метод стоит использовать для фильтров нижних частот с очень резкимн срезами и незначительным наложением, поскольку прн таких условиях частота дискретизации разумно велика. Данный метод не подходит для фильтров верхних частот или режекторных фильтров, если дополнительно не используется фильтр зашиты от наложения спектров. 8.7. Расчет коэффициентов с помощью согласованного а-преобразования $13 )я(у)) Часаэта а) )н(у)) Частота в) Рис.
8.8. Спектр аналогового фильтра (панель а); спектр эквивалент- нога пифравога фильтра, полученнопг методом инвариантного преобразовании импульсная характеристики, на нагаром виден эффект наложение(панель б) ""8~7.. Р~ОЧЕт йОЭффИЦИйНтсОВ б- ПОгМО1Ц1,)О',ОО(Т)аС(~МННО~О -~с-П(уЕОбраэаааНИЯ.::.:,.";..'::::.".'-:-::::,:::::":.;.'-::::::. Л::::.":.";= 3,7Л;с Основные концепции и примеры разработки Согласованное г-преобразованне позволяет преобразовать аналоговый фильтр в зквивалентный цифровой.
В данном методе каждый полюс и нуль аналогового фильтра непосредственно переводятся с в-на д-плоскость (комплексную плоскость); (л — а) э (1 — г е' ), (8.12) Н(л) = (в — лг)(в — лг) ... (д — лм) (л — рг)(л — р ) " (и — р )' (8. 13) где гь и рь — нули и полюса Н(л) соответственно. где Т вЂ” период дискретизации. Преобразование (8.12) отображает полюс (или нуль), находящийся в точке и = е д-плоскости, в полюс (илн нуль) комплексной плоскости, находящийся в точке л = е'т. Для аналоговых фильтров высоких порядков передаточная функция имеет несколько полюсов и/или нулей, которые нужно отобразить с и- на д-плоскость. Для аналогового фильтра наивысшего порядка с различными полюсами и нулями передаточную функцию можно записать в следующем виде: В14 Глава а.
Разработка фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) Далее на каждый множитель действуем согласованным х-преобразованием: (в — ьь) — (1 — г е*ь ), (з — рь) — ~ (1 — г ем ). (а — зг)(з — гг) (в РгНв Рг) (8.14) Применяя к этой функции согласованное с-преобразование, получаем (з к )(в г ) 1 (е гт+ е*гт)к-г+ е1 гч.*г1тг-г (в р )(з 1г ) 1 (еют + енгт)з-1 + емггкг1тг-г ' (8.15) Если полюса и нули звена второго порядка формируют комплексно-сопряженные пары, тогда рг = р," и зг = з,' и правая часть уравнения (8.15) сводится к виду 1 — 2е*"' соа(/„„7)» ' + е"' г ' 1 — 2ер 'гсов(р, Т)г ~ + ек' ~г г (8.16) где г„и гг, р„, и р, — действительная н мнимая части зг и р, соответственно.
На практике аналоговые фильтрующие блоки второго порядка удобнее представить в знакомой форме рациональной дроби: (з — гг)(в — зг) Аю + Ага+ Агз (в — РгПв — Рг) Вс + Вгв+ Вгвг В такой форме полюса н нули Н(з) определяются следующими выражениями: г 2В 2В В (8.1 7, а) '!г — 2А ~ 2А А (8.17, б) На практике формулы (8.17, а) и (8.! 7, б) позволяют по данной передаточной функции аналогового фильтра сразу определить, где находятся полюса и нули (а следовательно, их действительную и мнимую части).
Определив действительную и мнимую части нуяей и полюсов Н(в), с помощью уравнения (8.15) илн (8.1б) можно вычислить передаточную функцию Н(г) эквивалентного дискретного фильтра. В БИХ-фильтрах высокого порядка основной составляющей является фильтруюший блок второго порядка. Следовательно, особый интерес представляет случай, когда в уравнении (8.13) М = М = 2. При этом аналоговая передаточная функция сводится к виду а.т. Расчет коэффициентов с помацью согласованного э-преобразования .Пргтййе)рги'~, Дана нормированная передаточная функция аналогового фильтра: Н(э) = 1 ээ + тг'2э+ 1 Получите передаточную функцию Н(э) эквивалентного цифрового фильтра„используя метод согласованного э-преобразования.
Частота среза по уровню 3 дБ равна 150 Гц, частота дискретизации — 1,28 кГц. Решение Частоту среза можно выразить как ы. = 2я х 150 = 942, 4778 рад/с. Передаточная функция денормированного аналогового фильтра получается заменой э на э/ьг;. Н'(а) = Н(э) ~ 2 с ээ+,гг2ь1 э + ~2 Полюса фильтра расположены в точках тйос ~ В данной задаче действительная и мнимая части полюсов равны р„= — — = -666,4324, р; = 'т' = 666,4324т.
тг'2 . Л .. 2 ' ' ' 2 Следовательно, р„Т = — О, 5206503, р, Т = О, 5206503, сов(рг Т) = О, 867496 и е "'т = О, 594134. В результате получаем такую передаточную функцию: 8,8876 х 10' 1 — 1,030818э-' + 0,594134э-э т/2ьг, 2 = — — (1 ~ т). т/2ь~, 2 м'-] 516 Глава З. Разработка Фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) 1.
2. 3. 4. В.У.З.' Метод согласованного я-преобразования: замечания 1. 2. 3. 4. 5. 8.7.2: Метод согпасованного я-преобразования: резюме Определить подходящую аналоговую передаточную функцию Н(з), удовлетворяю- щую спецификациям искомого цифрового фильтра. Найти положение полюсов и нулей Н(з). При этом может потребоваться фактори- зация аналоговой передаточной функции Н(з).
Отобразить полюса и нули с з- на з-плоскостгь используя формулу (8.12). Для блоков второго порядка можно использовать формулы (8.15) и (8.16). Объединить уравнения, записанные на з-плоскости, для получения передаточной функции Н(з), Метод согласованного з-преобразования требует знания положений полюсов и нулей аналогового фильтра. Для получения этой информации можно факторнзовать аналоговую передаточную функцию Н(з).
После этого применить преобразование относительно просто. Метод согласованного з-преобразования и метод инвариантного преобразования импульсной характеристики дают дискретные фильтры с идентичными знаменателями. Сравните, например, знаменатели согласованного з-преобразования (8.15) и результат преобразования по схеме инвариантного преобразования импульсной характеристики (8.10).
Зто также очевидно, если сравнить знаменатели передаточных функций, полученных в примерах 8.4 и 8.5. В цифровых фильтрах полезная полоса частот лежит в диапазоне от нуля до частоты Найквиста (половина частоты дискретизации), тогда как в аналоговых фильтрах фигурируют частоты в диапазоне от нуля до бесконечности. Следовательно, отображение, которое производит согласованное з-преобразование, сжимает бесконечную аналоговую' полосу частот в конечную. Зто приводит к искажению частотных характеристик эквивалентных цифровых фильтров по сравнению с аналоговыми фильтрами. Для фильтров, получающихся при использовании согласованного з-преобразования, характерно меньшее затухание по сравнению с аналоговыми фильтрами.
К данному вопросу мы еще вернемся в разделе 8.12, где будет показано, как можно использовать данную особенность. Если аналоговый фильтр имеет полюса на частотах, близких к частоте Найквиста, или нули на частотах, превышающих ее, частотная характеристика получающегося цифрового фильтра будет искажена в результате наложения (см.
далее). В таких случаях характеристика аналогового фильтра, которая приходится на диапазон за частотой Найквиста, существенна. Чтобы отобразить эту часть характеристики в желаемую полосу частот, используется процесс неявной дискретизации. Согласованное г-преобразование также не подходит для оцифровки фильтров с одними полюсами, поскольку они не имеют нулей за частотой Найквнста. Несколько улучшить ситуацию в этом случае можно, добавив нули в точке з = — 1 (т,е, на частоте Найквиста). 8.8. Расчет коэффициентов с помощью билинейною л-преобразовании 817 г-плоскость Г алоскосгь Рнс. 8.9. Июпомрапия отображения с а-плоскости на комплексную (с) плоскость с использованием билинейного =.преобразования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
