Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 93
Текст из файла (страница 93)
8.9, Использование для разработки БИХ-фильтров билинейною з-преобразования... 888 8.9.2.4. Режекторные фильтры: основные концепции Преобразование "фильтр нижних частот в режекторный фильтр" записывается следуюшнм образом: Игз з= зз .),„з Частота режекции ш„и частота фильтра-прототипа ыо связаны соотношением зИ мор 2 з' (""ор) + о~о т.е. р )4 мор ОР ыо — мор (8.34) Из соотношения (8.34) можно определить граничные частоты ФНЧ-прототипа по известным частотам нужного цифрового режекгорного фильтра.
Напомним, что режекторный фильтр имеет четыре граничные частоты — ш'„м'з (нижняя и верхняя граничные часп)ты полосы пропускания), м',н м', (нижняя и верхняя граничные частот полосы подавления) и центральную часппу мо (ьоз = м„',ь „'з): Таким образом, граничная частота полосы подавления ФНЧ-прототипа о~Р пйп(ь,РО),мои)), а его граничная частота полосы пропускания равна 1. Неравномерность в полосе пропускания и затухание в полосе подавления равны соответственно Ар и А,.
Отображение частот режекторного фильтра в частоты фильтра нижних частот показано на рис. 8.16. Видно, что верхние граничные частоты полосы подавления и полосы пропускания в режекторном фильтре отображаются в отрицательные частоты фильтра-прототипа, тогда как нижние граничные частоты отображаются в положительные частоты фильтра-прототипа.
Итак, сушественными критичными частотами фильтра нижних частот являются 0,1,о~Р(гдомо = пйп(мо( ),о)",~ ))). Из спецификации ФНЧ-прототипа можно, используя уравнения (825) и (8.28), опре- делить порядок М и передаточную функцию фильтра. Порядок режекгорного фильтра равен удвоенному порядку фильтра-прототипа, т.е 2)1). !) если ь„р = 2) если м„р оо 3) еслибы, 4) если о~„р —— 5) еслиь„р —— рн мо -м м„' м'з — м'„ р Р Р Р рр „р~,„р („иг) рр~аь . з) о о/ „,Р— „,Р1з)— оо' о ив о *з ыо, оР = -~-Ф~ = сс н' о "'о 636 Глава 8. Разработка фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) о мй мй егс мо Рис. ядб.
Саязь частот леиормирзяанного режекпгрнопг фильтра и фильтра нижних частот. используемого при разработке иза пргпотип 8.9.3., Примеры разработки фильтров нижних частот, верхних частот, полосовых и режекторных Пример 8.11 Фильлгр нижних частот. Требуется цифровой фильтр нижних частот, удовлетворя- ющий следующим спецификациям: полоса пропускания 0 — 500 Гц, полоса подавления 2-4 кГц, неравномерность в полосе пропускания 3 дБ, затухание в полосе подавления 20 дБ, частота дискретизации 8 кГц. Определите следующие величины: 1) граничные частоты полосы пропускания и полосы подавления для подходящего аналогового фильтра-прототипа нижних частот; 2) порядок )т' фильтра-прототипа; 3) коэффициенты, а следовательно, передаточную функцию фильтра дискретного времени, используя билинейное л-преобразование.
Считайте, что аналоговый фильтр имеет характеристику Батгерворта. Всь Использование для разработки БИХ-фильтров билинейною г-преобразования... 637 Решение 1. На основе спецификации находим деформированные частоты: /2я х 500 г ~,2 х 8000) щР = — ' = 1/0,198912 = 5, 0273.
! ы Следовательно, имеем такие деформированные граничные частоты полосы пропускання н полосы подавления ФНЧ-прототнпа: 0; 1; 5,0273. 2. Используем уравнение (8.25) н параметры, найденные в и. 1, чтобы определить порядок фильтра. Итак, 108.по 1 1028!го 1 99. 108ррю 1 10змо 1 0 9952623. 0 95 6 3 — 1,997697. 99 Для ФНЧ-прототнпа грьР'т ьгр = 1;ьг, =5,0273;18 ~ — 'р) = 218(5,0273) =1,40266 ЩР 1,997697 М > ' = 1,424. Пусть Ж = 2.
1,40266 3 Полюса фильтра-прототипа (нз уравнения (8.26)) расположены в точках (2+ 2 — 1)к1) .. ((2+ 2 — 1)я1 ъ~2 .Л в г- — сов Р 4 ~ ~ 4 ~ 2 2 ~ +гв(п ~ ~ = — — +г— г/2 тГ2 8,2= $ 2 2 Передаточная функция на 8-плоскости Н(в) записывается следующим образом: Н(в)— 1 1 (в — ар г)(в — ар 2) 82+ т/28+ 1 Частотно-масштабнрованная передаточная функция на в-плоскостн записывается так: 1 Н'(8) = Н(8) ~ + = 2 ( — "-, ) + ~/2 —;+1 /~2 Р 82 + ь/28~' + ьрг 8.9. Использование для разработки БИХ-фильтров билинейного в-преобразования... 939 Решение 1.
На основе спецификации находим деформированные частоты: /2л х 500 т ~,2 х 8000) ! о!в = — ~ = 1/О, 198912 = 5, 0273. Э ! Следовательно, имеем такие деформированные граничные частоты полосы пропускания и полосы подавления ФНЧ-прототипа: 0; 1; 5,0273. 2. Используем уравнение (8.25) и параметры, найденные в п. 1, чтобы определить порядок фильтра. Итак, 10л,/ю 1 = 10ю/ю 1 99.
10в,/гс 1 10з/го 1 0 9952623 18 = 1, 997697. 99 Ддя ФНЧ-прототипа /'ь!в"! и!в = 1; ь!," = 5, 0273; 18 ~ — ') = 2 18(5, 0273) = 1, 40266 р 1,997697 л/ > ' = 1,424. Пусть Н = 2. 1,40266 3. Полюса фильтра-прототипа (из уравнения (8.26)) расположены в точках (2+ 2 — 1)я~ ~(2+ 2 — 1)я1 т/2 ь/2 л 1 т/2, ~/2 з д 2 2 Передаточная функция иа в-плоскости Н(в) записывается следующим образом: Н(з)— 1 1 (з — з,, )(з — зиз) в'+ т/2в+ 1 вз+ Явь!' -ььр!з в Частотно-масштабированная следующим образом: Н'(в) = передаточная функция на в-плоскости записывается баб Глава 8.
Разработка фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) Примсняя билинейное з-преобразование, получаем такой результат: (м)' Н(~) = Н'(~) ~, .— (г-1) + /2ьу (л-1) + ьнг ( цг (з — 1)г + т/2ьг'(з — 1)(з + 1) + ьг'г(з + 1)г упрощаем, делим числитель и знаменатель на зг и получаем такую передаточную 1 функцию: 1 — 2л '+з ' Н(з) — х + г+,Г~ ь г + гь г ь Подставляя следующие значения параметров: 1 + Лс~„'+ ьг'~ = 3, 41421; ь~п — 1 = 0 1 — у'2ь~' + ьг„'~ = О, 585786; щ'г = 1 в приведенную выше формулу, получаем 0,029289(1 — 2з '+ з г) 1 + 0,17157з г Пример $.13' Полосовой фильтр.
Требуется цифровой полосовой фильтр с амплитудно-частотной характеристикой типа Батгерворга, удовлетворяющий следующим спецификщ,ням: нижняя граничная частота полосы пропускания 200 Гц, верхняя граничная частота полосы пропускания 300 Гц, нижняя граничная частота полосы подавления 50 Гц, верхняя граничная частота полосы подавления 450 Гц, неравномерность в полосе пропускания 3 дБ, затухание в полосе подавления 20 дБ, частота дискретизации 8 кГц. Определите следующие величины: 1) граничные частоты полосы пропускания и полосы подавления для подходящего аналогового фильтра-прототипа нижних частот; 2) порядок гУ фильтра-прототипа; 3) коэффициенты, а следовательно, передаточную функцию фильтра дискретного времени, используя билинейное з-преобразование.
8.9. Использование для разработки БИХ-фильтров билинейною г-преобразования... 641 Решение Деформированные критичные частоты полосового фильтра равны шо = 1 Иг =' 0 6498 м', = 0,7265, ьг'г = 1,37638, ьг'„= 0,1584, ьг', = 6,3138.
Следовательно, граничные частоты фильтра-прототипа равны (используются соотношения, приведенные выше) м" = 1; ьг" ,= 9, 4721. р Итак, требуется НЧ-фильтр-прототип с ыг = 1; ю," = 9, 4721; А„= 3 дБ; А, = 20 дБ. Из уравнения (8.25) находим порядок фильтра-прототипа: 10л,,цо 1 10гоцо 1 99. 10н,Гго 1 10зГго 1 0 9952623 99 шк 18 ( ~ = 1,9976976; — '„= 9,4721; 218(9,4721) = 1,95289 г,0,9952623 шк 1,9976976 1,95289 Величина Н должна быть целой, поэтому для простоты используем значение М = 1.
Передаточная функция на з-плоскости ФНЧ первого порядка записывается как 1 Н(з) = —. а+1 Используя преобразование "фильтр нижних частот в полосовой фильтр" из таблицы, получаем Н(з) =Н(з) ~ и г И'з г+ Иг +„,г Результат применения билинейного г-преобразования таков: ПодставлЯЯ значениЯ мог и Иг, окончательно полУчаем 0,2452(1 — з г) Н(г) = 1 + 0,5095з-г Я42 Глава б. Разработка фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) Цвиккау ЗЛ4' Загразюдающий физьтр.
Требуется цифровой режекторный БИХ-фильтр с амплитудно- частотной характеристикой типа Батгерворта, удовлепюряющий следующим специфи- кациям: нижняя полоса пропускания 0-50 Гц, верхняя полоса пропускания 450-500 Гц, полоса подавления 200-300 Гц, неравномерность в полосе пропускания 3 дБ, затухание в полосе подавления 20 дБ, частота дискретизации 8 кГц. Определите следующие величины: 1) граничные частоты полосы пропускания и полосы подавления для подходящего аналогового фильтра-прототипа нижних частот; 2) порядок Ж фильтра-прототипа; 3) иззффициенты, а следовательно, передаточную функцию фильтра дискретного времени, используя билинейное з-преобразование. Решение Деформированные критичные частоты режекторного фильтра равны ыс = 1, И' = 6, 1554, ь~„', = 0,1584, ь~,' = 6,3138, Следовательно, граничные частоты фильтра-прототипа равны (используются соотно- шения, приведенные выше) ы" = 1; ы" = 9,4721.
Итак, требуется НЧ-фильтр-прототип с ы" = 1; ы," = 9, 4721; Ар — — 3 дБ; А, = 20 дБ. Из уравнения (8.25) находим порядок фильтра-прототипа: 10к,!1о 1 10за!1о 1 99. 10Я„(тс 1 10зГгс 1 0 9952623 99 ОРд 18( ) =1,9976976; — ' = 9,4721; 218(9,4721) =1,95289 ьк 1,9976976 1,95289 Величина )т' должна быть целой, и для простоты используем значение )т' = 1.
Переда- точная функция на з-плоскости ФНЧ первого порядка записывается как Н(з) = —. 1 3+ 1 8.9. Использование для разработки БИХ-фильтров билинейною з-преобразования... 643 Используя преобразование "фильтр нижних частот в режекторный фильтр" из таблицы, получаем Н'(з) = Н(з) э=-~г з ( и" ) +1 2+ 3 о в+ Иг +„,з' Результат применения билинейного з-преобразования таков: Подставляя значения юз и Иг, окончательно получаем 0 245211+ з-г) 1 — 0,5095з з Прив1ер 8.15 Получите передаточную функцию цифрового фильтра нижних частот, который удовлетворяет следующим спецификациям: полоса пропускания 0 — 60 Гц, полоса подавления >85 Гц, затухание в полосе подавления >15 дБ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
