Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Частоту дискретизации считайте равной 256 Гц и используйте характеристику Баттерво рта. Рещение На данном примере иллюстрируется объединение согласно формуле (8.23) зтапов 4 н 5 процесса билинейного з-преобразования. 1. Критичные частоты цифрового фильтра: 2лг'г 2гг60 ьггТ = — = — = 2л х О, 2344, Р, 256 2я1з 2гг85 югТ = — = — = 2гг х 0,3320. г', 256 844 Глава 8. Разработка Фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров] 2.
Деформированные аналоговые частоты: ', = (6 ~ — ~ = 0,906347; ь)' = (8 ~ — ~ = 1,71580. 3. Далее нужно получить Н(з) с характеристикой Баттерворта, частотой среза по уровню 3 дБ 0„906347 и откликом 85 Гц, уменьшенным на 15 дБ. При затухании 15 дБ и неравномерности в полосе пропускания 3 дБ из уравнения (8.25) получаем У = 2, 68.
Поскольку У должно быть целым, выбираем А( = 3. Далее записываем нормированный фильтр третьего порядка: 1 1 1 Н(в)— (з+1Кз'+в+1) в+1з'+в+1 = Н,(в)Нг(в). lы,Т'( )'2л х 0,2344( с(8~ — '~ =с(8~ ' ) =1,103155. 2 / ~, 2 Выполняя преобразование в два зтапа (отдельно для каждого сомножителя Н(з)), находим Нг(з) = Нг(з) = $к(м~т)г)(( -)Н(*етй = 0,3012 1+2г '+в г 1 — 0,1307з '+0,3355з г' результат, которой мы уже получали ранее, правда, после значительных выкладок. Подобным образом вычисляем Н,(г): Н,(з) = 0,4754 1 — О, 0490з-' Далее функции Н,(з) и Нг(з) можно объединить и получить желаемую передаточную функцию Н(з)) Н г = Н, г Нг г = 0 1432 1 — 0,1801з ' + 0,3419з г — 0 0165в з ВАС.
РаСЧат,КОЭффИцйФНт136:БИХ'ф)ч)о)Ь~~Я~~ф~~~)И()))Ф „'., ф(( ОтОбражечиа'поп)осОа.,и'.(тупай:.:ф,':пдг)см((зс1и:;.',~~~~),;;- Д', ф ВЛО;1. Основные концепции Альтернативным, а возможно, даже более мощным и гибким методом расчета коэффициентов Н(з) конкретного БИХ-фильтра является отображение отдельных полюсов и нулей подходящего аналогового фильтра с з- на в-плоскость с последующим выводом козффициентов цифрового фильтра по нулям и полюсам на г-плоскости. Данный подход использован в нескольких коммерческих программах и удобен при разработке фильтров высокого порядка. Процедура вычисления коэффициентов БИХ-фильтра путем отображения полюсов и нулей с в-плоскости на г-плоскость описана ниже.
8.10.1.1. Этап 1 Как и ранее, разработчик начинает с нормированного аналогового фильтра нижних частот )т'-го порядка с характеристикой типа Баггерворта, Чебышева или эллиптической в зависимости от требований к разработке. Затем с помощью уравнения (8.26) для фильтра Баттерворта или уравнения (8.29) для фильтра Чебышева находятся полюса нормированного фильтра нижних частот. Для эллиптического фильтра каждый полюс комплексный и в общем случае имеет вид влл = ар,л+ т)ур,л.
(8.35) Для фильтров Батгерворта и Чебышева (тип 1) нули фильтра-прототипа находятся на бесконечности, а для эллиптического фильтра они полностью мнимые. Вообще, по- ложения нулей нормированного фильтра нижних частот определить легче, чем поло- жения полюсов. 8.10.1.2. Этап 2 Далее полюса и нули нормированного аналогового фильтра нижних частот преобразуются в полюса и нули фильтра нижних частот, верхних частот, полосового или режекторного фильтра, при этом используется подходящее преобразование из набора (8.21, а-г). Фильтры нижних н верхних частот Для цифрового фильтра нижних или верхних частот )у полюсов нормированного фильтра нижних частот преобразуются следующим образом: влл = вт,л/ь~р )с = 1,2,...,)У (8.36, а) (фильтр нижних частот в фильтр нижних частот), вл,л = мр/в~ в 1с = 1,2,...,ту (фильтр нижних частот в фильтр верхних частот), (8.36, 6) где ь' — желаемая граничная частота полосы пропускания, в~ „— полюса аналогового фильтра нижних частот, а вл л — полюса аналогового фильтра верхних частот.
Сходство уравнений (8.36, а и 6) очевидно, и оно объясняется дуальностью характеристик фильтров верхних частот и нижних частот. При )т' четном будет 1)т/2 пар комплексных полюсов. При нечетном ттт будет ()лт — 1)/2 пар комплексных полюсов и один действительный полюс. Для классических фильтров (Баттерворта, Чебышева и эллиптического) преобразования (8.36, а и 6) переводят нули ФНЧ-прототипа на мнимую ось в-плоскости. В фильтрах Баттерворта и Чебышева нули фильтра-прототипа расположены на бесконечности. 8.10. Расчет коэффициентов БИХ-фильтра путем отображения полюсов и нулей з-ллоскости баб 546 Глава 8.
Разработка фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) В любом случае преобразование переводит нули с бесконечности на бесконечность (для фильтров нижних частот) или с бесконечности в начало координат (для фильтров верхних частот), как показано на рис. 8.17, а(й) и 8.17, б(й). Паласовые и режекторные фильтры При разработке полосовых цифровых фильтров полюса аналогового полосового фильтра получаются из полюсов нормированного фильтра-прототипа нижних частот: зкь + "'а г г зйь = И'зкь (8.37) где зг ь — полюса аналогового фильтра-прототипа нижних частот, зь ь — пары полюсов промежуточного аналогового полосового фильтра, И' = ьг', — аг', — ширина полосы про- пускания фильтра, а ага = ызыг определяет центральную частоту полосы пропускания. Из уравнения (8.37) получаем следующее квадратное уравнение на зь,ь.' зь ь — Игзььькь + ьга = О.
г г (8.38) Решая его относительно за ы вычисляем следующее выражение для полюсов аналого- вого полосового фильтра: зьь = — аьь ~ з~кь — — „ (8.39) Из формулы (8.39) видно, что каждый полюс аналогового фильтра нижних частот дает пару полюсов аналогового полосового фильтра, что объясняется наличием члена з' в формуле преобразования. Вообще, полюс аналогового фильтра нижних частот згь комплексный, так что в результате действий с этой величиной также получится комплексное значение. Вычислять корень квадратный из комплексного числа следует аккуратно, если, конечно, нужно получить точное решение (см. приложение 8В).
Для режекторных цифровых фильтров можно использовать следующее преобразование: Игз, ь зкь = з,ь+"'а г 2' (8.4О) в[ь (8.41) Не должно удивлять, что уравнение (8.41) по форме схоже с уравнением (8.39), исклю- чая инверсию полюсов фильтра нижних частот вследствие дуальности полосового и режекторного фильтров. где з1 ь — полюса аналогового прототипа, зсь — полюса промежуточного аналогового режекторного фильтра, И' — ширина полосы подавления, а агат — центральная частота полосы подавления. Из уравнения (8.40) получаем следующее выражение для полюсов аналогового режекторного фильтра через полюса фильтра-прототипа.
8ИО. Расчет коэффициентов БИХ-фильтра путем отображении полюсов и нулей а-плоскости 847 а-плоскость (аналоговый фильтр) Г-плоскость (нифрсаай фильтр) г-плоскость (фильтр-прототип н и лип к часты) (и) бй) а) О) (и) б) б) (ш) (на ()О б) в) т I (ш) (О ОО г) Рис. 8.17.
Отображение нулей фильтра-прототипа нижних частот второго порядка в нули а) фильтра нижних частот; б) фильтра верхних частот,' в) полосового фильтра; г) рсжекгорного фильтра 54В Глава В. Разработка фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) Как и в ситуации с фильтрами нижних и верхних частот, преобразования (8.39) и (8.41) переводят нули на мнимую ось.
Для фильтров Баттерворта и Чебышева преобразование "фильтр нижних частот в полосовой фильтр" отображает Л нулей ФНЧ- прототипа с бесконечности на бесконечность и в начало координат в-плоскости (см. рис. 8.17, в). С другой стороны, преобразование "фильтр нижних частот в режекторный фильтр" переводит )т' нулей фильтра-прототипа бесконечности в точки Ышо в- плоскости; см.
рис. 8.17, г. Для эллиптических полосовых и режекторных фильтров преобразование отображает полностью мнимые нули фильтра-прототипа в другие точки на ось но. 8.10.1.3. Этап 3 После указанных действий применяется билинейное г-преобразование, переводящее полюса и нули с в-плоскости на цифровую г-плоскость. Каждый полюс в-плоскости вр ь отображается согласно следующему правилу: 1+ арь гр ь 1 — вр,ь (8.42) Подобным образом каждый нуль в-плоскости преобразованного аналогового фильтра следующим образом отображается на г-плоскостзл 1+в,ь гнь (8.43) 1 — вкь 8.10,1.4.
Этап 4 Финальный этап — это определение коэффициентов числителя и знаменателя фильтрующих звеньев второго и первого порядка. Для этого следующим образом объединяются пары комплексно-сопряженных нулей: Н<(г) = (г — г, ь)(г — г,' ) (г — в„ь)(г — г„' „) Отображение нулей в-плоскости на г-плоскость с помощью билинейного г-преобразования иллюстрируется на рис. 8,17, а-г (фильтры Баттерворта и Чебышева). Отметим, в частности, что для фильтров нижних частот (рис. 8.17, а(й)) нули располагаются на бесконечности в-плоскости, и билинейное г-преобразование переводит их в точку г = — 1 г-плоскости (рис. 8.17, а((й)), тогда как для полосового фильтра нули в-плоскости (рис. 8.17, в(й)) отображаются с начала координат в точку г = 1, а с бесконечности — в точку г = -1. Для эллиптических фильтров нижних частот, верхних частот, полосовых и режекторных в, ь — мнимые, и билинейное г-преобразование переводит зти точки на единичную окружность в г-плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
