Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Вообще, нули г-плоскости для всех классических фильтров (Батгерворта, Чебышева и эллиптического), полученные методом билинейного г-преобразовання, лежат на единичной окружности вне зависимости от типа фильтра. В результате коэффициенты числителя Н(з) классических фильтров всегда целые (О, ж1, ж2). ЗЛО. Расчет коэффициентов БИХ-фильтра путем отображения полюсов и нулей в-плоскости 649 1+ бит '+ баса э (8.44, б) 1+ опт '+ амэ э Вообще, пара комплексных полюсов или нулей, расположенных в точках сс ж Щ дает квадратный по э полинам следующего вида: [э — 1ст+ т)3))~э — (ст — т)1)] = э~ — 2ссэ+ стем+ 11~ = = 1 — 2оа '+1сс~+Р~)э з. (8.45, а) Отдельный полюс на действительной оси (те.
т = жст) дает множитель вида т ж сс = 1 ж ссэ (8.45, б) Довольно часто фильтр Ж-го порядка имеет Ж действительных корней на действитель- ной оси в г-плоскости. В этом случае можно объединять в пары нули г-плоскости, чтобы числитель каждого звена фильтра описывался квадратным выражением вида 1ж2е '+э э. (8.45, в) Общая передаточная функция Н(т) записывается как 11 (т) КЯ1 (э) Нэ (э) ° ° Ки (э) " В;')04, Примеры Прцйер:$!Ц В определенном приложении ЦОС требуется цифровой паласовой фильтр второго порядка с характеристикой Ваттерворта и полосой пропускания между 200 и 300 Гц с частотой дискретизации 2 кГц. Определите передаточную функцию цифрового фильтра путем отображения полюсов и/или нулей подходящего аналогового ФНЧ-прототипа с в-плоскости на э-плоскость.
Представьте с соответствующими пометками диасрамму нулей и полюсов прототипа, промежуточного аналогового полосового фильтра и цифрового полосового фильтра. где К вЂ” коэффициент усиления, который используется для подгонки амплитудной ха- рактеристики в полосе пропускания до нужного уровня. В большинстве случаев значе- ние К выбирается так, чтобы максимальный отклик в полосе пропускания был равен единице. МО Глава 8.
Разработка фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) Решение Поскольку порядок фильтра удваивается при преобразовании в полосовой фильтр, требуется найти нормированный фильтр нижних частот первого порхала. Следователь- но, 1 О(з) = —. а+1 передаточная функция имеет единственный нуль в тачке з1л — — — 1. Далее Г, = 2 кГц = 1/Т.
Следовательно, деформированные граничные частоты имеют вид Итак, находим ыо и И', ыз = ь11ыз = 0,1655, И~ = р2~ — ь2', = 0,1846. Согласно формуле (8.39) один полюс фильтра нижних частот преобразуется в два по- люса полосового фильтра; 0,1846 , 4 х 0,1655 = — О, 0923 + О, 41721; О, 1846, 4 х О, 1655 = — О, 0923 — 0,41721 = зд 1. Из билинейного з-преобразования (формула (8.42)) получаем 1 — О, 0923 + О, 41721 зрл = . = 0,5979+0,61032 Фильтр-прототип имеет нуль на бесконечности, который при преобразовании "фильтр нижних частот в полосовой фильтр** отображается в начало координат и на бесконечность з-плоскости. Следовательно з,л — — О, з„д — — со.
Билинейное:-преобразование переводит эти нули в точки 2-плоскости з = 1 и з = — 1. 8.10. Расчет коэффициентов БИХ-фильтра путем отображения полюсов и нулей в-ппоскости 861 Далее, зная полюса и нули, определяем дискретную передаточную функцию Н(с): -2 зз — 1, 1958з + О, 7995 1 — 1, 1958г г + О, 7995в з Полученная передаточная функция идентична функции из примера 8.9 с точностью до постоянного множителя. Диаграммы нулей и полюсов также идентичны приведенным на рис.
8.11. Пример ЗЛ7 Начав с подходящего аналогового фильтра нижних частот, найдите передаточную функцию цифрового фильтра Чебышева верхних частот в факгоризированиом виде, который удовлетворяет следующим спецификациям: граничная частота полосы пропускания 15 кГц, затухание на частоте 18 кГц >ЗО дБ, неравномерность в полосе пропускания 1 дБ, частота дискретизации 48 кГц.
Решение Деформированные критичные частоты: /15 000п'г ы' =!8~ ) =1,4966, ~, 48 000 ) /18 000п'г ы', = т8 ~ ) = 2, 4142. 48 000 ) На основе спецификаций полосы пропускания находим « = 0,3493. Порядок подходящего фильтра Чебышева нижних частот равен 5 (ближайшее целое). При о = 1/ХвЬ '(1/«) = 0,3548, вй(о) = 0,3623 и свтт(«г) = 1,0636 полюса левой полуплоскости нормированного фильтра Чебышева нижних частот расположены в точках (о~'„= 1) ((2+ 5 — 1)тг ), ((2+ 5 — 1)п ! в~ г = 0,3623сов т = = — 0,11196+ 1,0115«; ((4+ 5 — 1)п) ((4+ 5 — 1)п1 в, з = 0,3623сов ~ 10 ~ ' ~ 10 ~ +1,0636в!и ~ т= = — О, 2931 + О, 6252«'; $52 Глава 8. Разработка фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) Г(6+ 5 — 1)я), Г(6+ 5 — 1)п), а| з — — 0,3623соз ~ ~ + 1, 0636з1п ~ ~ а = = -0,3623; Г(8+ 5 — 1)п1 .
Г(8+ 5 — 1)я1, з|а = 0,3623соз ~ 10 ~ ' ~ 10 ~ +1,0636яп ~ ~а= = — О, 2931 — О, 6252|; Г(10+5 — 1) 1, Г(10+5-1)я) з, =О,З62З 1О ~ ' ~ 1О ~ +1,0636яп ~ ~а= = — 0,11196 — 1,01156 Из приведенных данных видна симметрия полюсов и то, что з| | и к| а (а также в| з и а| 4) формируют комплексно-сопряженную пару Обрапате также внимание на то, что все полюса лежат в левой полуплоскости з-плоскости, что является необходимым условием устойчивости. Для преобразования полюсов прототипа в полюса нужного фильтра верхних частот используется уравнение (8.3б, б): зал = -0,1618 — 1,4616|, аьа = — 0,92013 — 1,9625|, зл,з = — 4 1306 зл,а = з|, а — 0,92013+ 1,9625а, зл,з = зь, = — О, 1618 + 1, 46166 Далее полюса отображаются с з- на з-плоскость с помо|пью билинейного з-преобразовали Из уравнения (8.42) полюса з-плоскости после билинейного з-преобразования записываются так (рассматриваются только полюса над действительной осью): злл = — 0 3335 + 0,8386|, зли — — — О, 4906 + О, 5207|, зь,з = — 0 6102.
Все нули з, а расположены в точке г = 1. Далее по полюсам и нулям вычисляются коэффициенты звеньев фильтра второго и первого порядка (уравнения (8.45, а и 6)): Ь!| = -2, Ьаа = -2, Ьаз = -1, Ья =1, Ьза =1, Ьзз =О, а„= О, 6670, ам —— О, 9812, а,з —— О, 6102, аа| — — О, 8145, азз —— О, 5118, ааз — — О. 884 Глава 8. Разработка фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) Решение Используя программу, получаем /с Аь Вь 0 1,000 000 х !Оо 1 934 ! -2,516 884 х 10 ' 3,783 2 1,054 118 х 10о 5 241 3 -2,406 030 х 10 ' 3,783 4 1,985 861 х 10 ' 1,934 следующий выход: 410 х 10 311 х 10 429х10 ' 311 х 10 ' 410 х 10 8.12.
Выбор метода расчета коэффициентов БИХ-фильтров . тз,12.1. Эффект Найквиста Три метода преобразования аналоговых фильтров в эквивалентные фильтры дискретного времени (а именно, согласованное з-преобразование, метод инвариантного преобразования импульсной характеристики и билинейное з-преобразование) могут в некоторых случаях значительно влиять на характеристики фильтра (например, амплитудную характеристику, фазовую и групповую задержки и т.д.). Как отмечалось ранее, доступная полоса частот аналогового фильтра простираегся от нуля до бесконечности, тогда как для цифрового фильтра — от нуля до частоты Найквиста (половина частоты дискретизации). Следовательно, амплитудно-частотная характеристика цифровых При использовании метода инвариантного преобразования импульсной характеристики после оцифровки аналогового фильтра импульснаа характеристика исходного аналогового фильтра сохраняется, а амплитудно-частотная характеристика — нет.
Вследствие присушего методу наложения он не подходит для разработки фильтров верхних частот илн режекгорных фильтров. Метод билинейного з-преобразования, с другой стороны, даст весьма эффективные фильтры и прекрасно подходит для расчета коэффициентов частотно-избирательных фильтров. Он позволяет разрабатывать цифровые фильтры с такими широко известными классическими характеристиками, как Батгерворта, Чебышева н эллиптические. Цифровые фильтры, полученные с помощью метода билинейного з-преобразования, будут, в общем случае, сохранять специфические особенности амплитудной характеристики аналогового фильтра (например, граничные частоты, неравномерность в полосе пропускания и затухание в полосе подавления), но не свойства, связанные с временной областью. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики хорош для моделирования аналоговых систем с характеристиками фильтров нижних частот, но для частотно-избирательных БИХ-фильтров наилучшим является билинейный метод.
Согласованное з-преобразование порождает большинство проблем, присущих методу инвариантного преобразования импульсной характеристики, Если поставленная задача проста, то простым и эффективным методом расчета коэффициентов является метод размещения нулей и полюсов. 8.12. Выбор метода расчета коэффициентов БИХ-фильтров фильтров, разработанных с помощью любого из названных методов, может значительно отличаться от характеристики аналогового фильтра, поскольку теперь аналоговая полоса частот (от нуля да бесконечности) сжата до узкой полосы (от нуля до частоты Найквиста). Данное отличие характеристик представляет искажение, которое иногда называют эффектом Найквистп. Во многих приложениях эффект Найквиста не вреден, просто он вызывает определенное дополнительное искажение.
Впрочем, если в некоторой ситуации следует сохранить характеристику аналогового фильтра, например, при профессиональной нли полупрофессиональной работе с аудио [5), данный эффект все же представляет нежелательное искажение. В таких случаях при выборе метода преобразования аналогового фильтра в эквивалентный фильтр дискретного времени может учитываться степень искажения. При выборе метода также следует учитывать влияние метода на такие характеристики фильтра, как групповая задержка и импульсная характеристика !19], В данном разделе кратко рассматриваются последствия эффекта Найквиста.
В конце главы приведено несколько задач, позволяющих читателю изучить относительные преимущества методов преобразования аналоговых фильтров в эквивалентные цифровые. Пример 8.19 Требуется фильтр нижних частот дискретного времени с характеристикой Баттер- ворта согласно следующей спецификации: частота среза 300 Гц, порядок фильтра 5, частота дискретизации 1000 Гц. 1.
С помощью МАТ1.АВ получите и изобразите следующие характеристики: а) амплитудно-частотную характеристику и характеристику групповой задержки (используйте метод инвариантного преобразования импульсной характеристики); б) амплитудно-частотную характеристику и характеристику групповой задержки (используйте метод билинейного т-преобразования). 2.
Сравните два метода с позиции искажения амплитудной характеристики вследствие эффекта Найквиста. Решение 1, а. Начнем с разработки аналогового фильтра, который будет служить эталоном. Расчет аналогового фильтра производится с помощью программы 8. 1,. Полученная амплитудно-частотная характеристика показана на рис. 8.18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
