Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 91
Текст из файла (страница 91)
далее), Следовательно, после преобразования аналогового фильтра в дискретную форму получающуюся передаточную функцию Н(л), если она имеет большой порядок, нужно выразить в факторизованном виде (для каскадной реализации) или как сумму членов второго и/или первою порядка (для параллельной реализации). Для упрощения данной задачи Н(л) изначально можно выразить в факторизованном виде, а затем преобразовать каждый множитель отдельно.
После зтого все полученные множители можно объединить илн перегруппировать в формат, подходящий для нужной реализации. По сути, такой подход использован в примере 8.15. '.; п.8;3,- Метод билинейного л-преобразования: замечания По сути, метод билинейного преобразования включает два отдельных преобразования.
Во-первьгх, нормированная аналоговая передаточная функция масштабируется (в частотной области) посредством следующей замены аргумента з: л л =— г (8.22, а) 524 Глава В, Разработка фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХчрильтрое) /ш„Т'1 2 ш' = й(8 ~ —" ~, й = 1 или —. ~2у), = Т. где (8.22, б) Во-вторых, применяется билинейное з-преобразование, при котором з в новой переда- точной функции заменяется величиной з — 1 е = /т —.
а+1 1. Во многих работах (например, (!9)) в двух приведенных выше операциях используется множитель к = 2/Т. Следует помнить, что и = 1 и (с = 2/Т приводят к одинаковым результатам, поскольку в любом случае Й сокращается. Продемонстрируем это на примере. Рассмотрим простой фильтр: 1 Н(е) = —. а+1 Предположим, что цифровой фильтр должен иметь частоту среза шр, тогда Н(з) следует масштабировать следующим образом: ш — к с8 Получаем такую передаточную функцию: Н'(з) = Н(з)~..
1 з/й З8(шрТ/2) + 1 Далее заменяем з на Й(з — 1)/(з + 1): 1 Н(з) = Н'(зМ, к(а — ц/( + 1)/к г8(ш,т/2) + 1 Из приведенных выкладок видно, что множитель и сокращается, и не важно, какой величине он равен, 1 или 2/Т. 2. Для повышения вычислительной эффективности два преобразования можно объединить в одно: (8.25) 2 )к+1 Данный подход иллюстрируется в примере 8.15. 3. Для фильтров верхних и нижних частот порядок Н(з) равен порядку Н(з). Например, если функция Н(з) выведена из функции Н(з) аналогового фильтра второго порядка, то Н(з) также будет описывать систему второго порядка. Для полосовых и заградительных фильтров порклок Н(з) будет вдвое больше порядка Н(з).
Данная связь иногда используется для сокращения алгебраических вычислений в методе билинейного з-преобразования (см., например, [22)). 4. На практике иногда бывает так, что передаточную функцию на з-плоскости Н(з) существующего аналогового фильтра нужно преобразовать в функцию эквивалентного полосового фильтра дискретного времени. Такая ситуация обычна, например, прн разработке цифровых аудиосистем, где аналоговый фильтр, ранее успешно использовавшийся для выравнивания, теперь нужно преобразовать в цифровой эквивалент (5). 8.8. Расчет коэффициентов с помощью билинейною г-преобразования В подобных случаях аналоговая передаточная функция реального фильтра уже дана, так что билинейное г-преобразование можно применить непосредственно после предварительной деформации и прямого частотного масштабирования характеристики аналогового фильтра нижних частот в характеристику цифрового фильтра нижних частот.
Вопросы, возникающие при разработке, иллюстрируются ниже на примере. Прймер 8,9 Иллюстрация метода билинейного г-преобразования при наличии аналоговой передаточной функции реального фильтра. Определите, используя метод билинейного преобразования, коэффициенты фильтра дискретного времени, который предназначен для обработки аудиосигналов в цифровом микшере, при такой настройке управляющих сигналов, когда при добротности Я = 2 фильтр на частоте 5 кГц дает (максимальное) усиление на 6,02 дБ.
Частота дискретизации равна 43 кГц, а передаточная функция эквивалентного аналогового фильтра в в-представлении имеет такой вцд: вэ+ (3+ Ь)фв+ шэ вэ+ (3 — Й)$-в+ иге' "=3(:,') юа — частота усиления, С вЂ” коэффициент усиления, Я вЂ” добротность. Решение Усиление 6,02 дБ соответствует С = 10-т = 1,9999; й = 0,9999 Передаточная функция на в-плоскости записывается теперь так: з'+ 4звв+,„г Н(в) = г+ 2ьцв+„,г о о Для получения аналоговой частотной характеристики в этом уравнении делается замена в = ио. Теперь деформированная частота усиления вычисляется как юо = 13 ~ ) = 0 339434 2 ) а26 Глава 8.
Разработка фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) а коэффициент деформации шкалы частот (согласно [5)) записывается как ыо ыо Я~т) 0 339454 Итак, деформированная аналоговая передаточная функция равна рззз+ 4элрз+ ыз ( ) ( ) ~*=»* рззз+2ж +ыз Р з + О рз+ "~о Далее применяем билинейное з-преобразование: Н(з) = Н'(з) ), . 1 = ( — *„-1) + 0,6769065 ( —;,) + О, 115229 (Я) + О, 339454 (Я) + О, 115229 1,233352 — 1,216444з т + 0,29994з з 1 — 1,216444з-' + 0,5332946с-з Пример Э,'10 Простой режекториый ЬКС-фильтр имеет следующую нормированную передаточную функцию на з-плоскости: 2+ зз+ з+ 1 Определите передаточную функцию эквивалентого фильтра дискретного времени, используя метод билинейного к-преобразования.
Частота режекции равна 50 Гц, частота дискретизации — 500 Гц. Решение Поскольку передаточная функция на з-плоскости уже известна, применять преобразование "фильтр нижних частот в режекторный фильтр" нег смысла, поскольку это будет двойным преобразованием. Критичная частота в этой задаче равна ( ~рУ 1 /2я х 50'1 ы' = сй ~ — ") = сй ~ ) = О, 3249196. 2 ) 1,500х2) вчк Использование для разработки БИХ-фильтров билинейною з-преобразования...
827 Масштабированная передаточная функция на з-плоскости записывается как з' + О, 105572 зз + О, 3249196з + О, 105572 Применяем билинейное г-преобразование: Н(з) = Н'(з) ~ ( — ',') +0,105572 (Ц) + 0,3249196 Ц + 0,105572 8.9., Использовачниедпя рзазрабо'гкиз БИХ-фитльтртьозв:-.: ','-::;-':-:;.-'.-'';;,.'-.'- билинейного з-,преобразования й кдамйчески~,-,';,":;" ",,'.-":"' ;-аНВЛОГОВЫХт фИПЬТРОВ:.."':;: -,".." . ':"::::,:='",: "::..;:: -'-";,'~~!"'',-1~=", ';,' ', Во многих практических ситуациях аналоговая передаточная функция Н(з), по юторой вычисляется Н(з), может быть неизвестной, и ее нужно определить по спецификациям желаемых цифровых фильтров. В стандартных задачах частотно-избирательной цифровой фильтрации (т.е.
включающих фильтры нижних частот, верхних частот, полосовые и режекторные) Н(з) можно получить на основе классических фильтров с характеристиками Баттерворта, Чебышева или эллиптическими (см. рис. 8.12). В данном разделе представлены методы разработки БИХ-фильтров по таким классическим аналоговым фильтрам. Будут подробно рассмотрены основные концепции и на примерах проиллюстрированы вопросы разработки. Вначале кратко описаны важные особенности классических аналоговых фильтров, юторыс нужно знать при разработке БИХ- фильтров. Рассматриваются только фильтры-прототипы нижних частот, поскольку, как будет показано ниже, фильтры других типов обычно выводятся из нормированных фильтров нижних частот.
б28 Глава В. Разработка фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) )ноак й )ыькй )-б о,)о) б) Ю Ч эта Чмг )О(чгй о Чаоът о а и Ч ом Рис. В.12. Схематические частотные харакшрисгики некоторых кпассических аналоговых фильтров: а) фильтр Батгерворта; б) фильтр Чебышева 1 типа; в) фильтр Чебышева П типа; г) эллиптический фнпьтр 8.9э1, Характерные особенности классических аналоговых фильт))ов 8.9.1.1. Фильтр Баттерворта Фильтр нижних частот Батгерворта характеризуется следующим квадратом амплит)дно частотной характеристики: !Н(„))12 ее "(=;)'" (8.24) где )ь) — порядок фильтра, а ш' — частота среза фильтра нижних частот по уровню 3 лБ (лля нормированного фильтра-прототипа о))' = 1). Амплитудно-частотная характеристика типичного фильтра Баттерворта изображена на рис. 8.12, а и видно, что она монотонна в полосе пропускания и полосе подавления.
Характеристика называется агаксиыальло плоской из-за ее изначальной пологости (с нулевым наклоном на постоянной составляющей). 'Порядок фильтра А) определяется соотношением 218 ® где Ар и А, соответственно — неравномерность в полосе пропускания и затухание в полосе подавления в децибелах, а оэп — граничная частота полосы подавления. 8.9. Использование дпя разработки БИХ-фильтров билинейною г-преобразовании... 929 Передаточная функция нормированного аналогового фильтра Баттерворта Н(з) содержит нули на бесконечности и полюса, равномерно распределенные по окружности единичного радиуса на з-плоскости (см.
[14, 23)): „цгь+у-гцгн ((2ь + "~' 1п) 1 .. ( (2ь + Н 1гт) 1 (8.26) и = 1, 2,..., 1'т'. Полюса располагаются комплексно-сопряженными парами и лежат в левой части з- плоскости. 8.9А.2. Фильтр Чебышева Альтернативный путь получения подходящей аналоговой передаточной функции Н(з) предлагает характеристика Чебышева. Существует два типа фильтров Чебышева, тип 1 и тип П, отличающиеся следующими особенностями (рис. 8.12, б и 8.12, в). ° Тип 1: характеристика с равными колебаниями в полосе пропускания, монотонная в полосе подавления. ° Тип П: характеристика с равными колебаниями в полосе подавления, монотонная в полосе пропускания.
Фильтры Чебышева типа 1, например, характеризуются следующим квадратом амплитудно-частотной характеристики: )Н(ьг'))г = 1+ вгСг (и,',г,р') (8.27, а) неравномерность в полосе пропускания < 10!8(1+ вг) = = — 20 18(1 — б„). Типичная амплитудная характеристика фильтра Чебышева первого типа показана на рис. 8.12, б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
