Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Считая частоту дискретизации равной 500 Гц, определите передаточную функцию фильтра, подходящим образом расположив на комплексной плоскости полюса и нули, н запишите разностное уравнение. Решение Вначале нужно определить, где на комплексной плоскости поместить полюса и нули. Поскольку полная режекция требуется на 0 и 250 Гц, в соответствующих точках комплексной плоскости следует поместить нули, Эти точки лежат на единичной окружности в местах, соответствующих углам 0 и 360' х 250/500 = 180'. Чтобы полоса пропускання была центрирована на !25 Гц, требуется поместить полюс в точках ~360' х 125/500 = ~90'.
Чтобы коэффициенты были действительными, нужна пара комплексно-сопряженных полюсов. Радиус г полюсов определяется желаемой шириной полосы. Для определения приблизительной ширины полосы (шп) при г ) О, 9 используется следующее соотношение: г = 1 — (шп/Г,)зг. (8.5) 506 Глава 8. Разработка фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) -о,агтебе 6) Рне. а.л.
диаграмма кулек н пелакоа (панель е). Влек~хема фильтра (панель а) В данной задаче шп = 10 Гц н Р, = 500 Гц, откуда т = 1 — (10/'500)и = 0,937. Получающаяся диаграмма нулей н полюсов изображена на рнс. 8.4, о. С помощью этой диаграммы записываем передаточную функцию: ( — 1П +1) (з геен/2)(л ге — ге/2) зз — 1 1 — з за+0,877969 1+0,877969з з Разностное уравнение: у(п) = -0,877969у(п — 2) + х(л) — х(л — 2). Сравнивая передаточную функцию Н(з) с общим уравненнем БИХ-фильтров (8.2), находим, что фильтр представляет собой блок второго порядка со следующими коэффициентами: Ьо=1 а, =0 Ьг = О аз = О, 877969 5 = — 1 , Прц)(зф~.йе Расчет коэффиг(иентоврежектпорного фильтра путем размещения нулей и полюсов. С помощью метода размещения нулей н полюсов получите передаточную функцию н разностное уравнение простого цифрового режекторного фильтра, удовлетворяющего следующим спецификациям: частота режекцнн 50 Гц, уровень 3 дБ х5 Гц, частота дискретизации 500 Гц.
607 8.5. Расчет коэффициентов фильтра путем размещения нулей н полюсов )н<у)) о Частота (Ги) б) Рне. 8.8. Диаграмма нулей и полюсов фильтра из примера 8.2 )панель а); соответ- стауюимя аастатнаа характеристика (панель Л) Решение ° Для режекции компонента на частоте 50 Гц поместим пару комплексных нулей в точках единичной окружности, соответствующих 50 Гц, т,е. в точках с угловыми координатами 360' х 50/500 = х36'. ° Чтобы получить узкополосный режекторный фильтр и улучшить амплитудную характеристику по обе стороны от частоты режекцин, поместим пару комплексно- сопряженных полюсов на радиусе т < 1. Ширина полосы режекции определяется положением полюсов. Используем то же соотношение, что и в примере 8.1, и получим т = О.
9372. ° Диаграмма нулей и полюсов приведена на рис. 8.5, а. Из рисунка находим передаточную функцию; Н(л)— [л — ехр( — т36')] ]г — ехр(т36')] ]л — О, 937 ехр( — 36*)] ]г — О, 9372 ехр(36')] гг — 1,6180г+ 1 1 — 1,6180г '+ г г гг — 1 5164л -~- 0 8783 1 — 1 5164г ) -~- 0 8783г-г Разностное уравнение: у(п) = х(п) — 1,6180х(п — 1) + х(п — 2) + 1,5164у(п — 1) — 0,8783у(п — 2). Сравнивая вид Н(г) с формулой (8.2), находим, что режекторный фильтр имеет следующие козффициенты: Ьо = 1 а, = — 1,5164 Ь) = -1,6180 а, = 0,8783 Ь,=1 809 8.6. Расчет коэффициентов методом инвариантного преобразования Чтобы применить метод инвариантного преобразования импульсной характеристики к БИХ-фильтрам высоких порядков (например, фильтрам М-го порядка) с простыми полюсами, передаточную функцию Н(з) вначале нужно разложить на простые дроби (такое разложение описывает цепь фильтров с единственным полюсом): С, С С, Н(5) = — + — +...
+ з — Рг з Рз з Рм (8.8) Ск к=1 где рк — полюса функции Н(з). Каждый член в правой части уравнения (8.8) имеет вид, как в формуле (8.6), так что преобразование (8.8) правомерно. Следовательно, С м С Е .,-Е к ч к з — р, ~ 1 — еякт к=г к к=г (8.9) БИХ-фильтры высоких порядков обычно реализуются как каскад или параллельная структура из стандартных фильтруюших блоков второго порядка.
Следовательно, осо- бый интерес представляет вариант М = 2. Здесь преобразование (8.9) имеет вид С, С, С, С, + — — 1 т -г + в — рг з — рз 1 — еж т- 1 — еяз т — г С, + Сз — (С,егот+ Сзе"'т)з ' 1 — (емт+ еязт)г г + егв г"ытт з (8.10) Если полюса р, и рз — комплексно-сопряженные, то Сг и С, также будут комплексно- снаряженными, и уравнение (8.10) сводится к такому виду: С, С; + 1 — емтз-г 1 ет(тт-г 2С,, — (С„,соз(р,„,Т) + С, вш(р, Т)'2е . ' 1 — 2ег"т гое(р, Т)т г + езг"тя з (8.11) где С„, и С; — действительная и мнимая части С„р„, и р; — действительная и мнимая части рп а е обозначает "комплексно-сопряженное". Для большинства практических БИХ-фильтров, которые можно реализовать по схеме инвариантного преобразования импульсной характеристики, для получения коэффициентов передаточной функции достаточно преобразований (8.7), (8.10) и (8.11).
В приложении к данной главе приводится программа на языке С для вычисления коэффициентов фильтров по описанной схеме, а показанный ниже пример поможет проиллюстрировать данную концепцию. бтб Глава й Разработка фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) Пр()таща,ф Применение метода инвариантного нреобразования импульсной характеристики в разработке фильтлров. Требуется разработать цифровой фильтр, аппроксимирующий следующую нормированную аналоговую передаточную функцию: 1 Н() = в'+ ~/2в+ 1 Используя метод инвариантного преобразования импульсной характеристики, получите передаточную функцию Н(х) цифрового фильтра„предполагая частоту среза по уровню 3 дБ равной 150 Гц н частоту дискретизации 1,28 кГц. решение Перед тем как применять метод инвариантного преобразования импульсной характеристики, следует масштабировать нормированную передаточную функцию. Для зтого в меняется на в/ст, где а = 2к х 150 = 942,4778, в результате чего фильтр получит желаемую характеристику.
Итак, аз Ст Сз Н'(в) = Н(з) — — — + вз + ~/2ав+ аз з — Р1 в Рз — ! где - зГ2тт(1 — 1) Р1 2 = — 666,4324(1 — т),рз = р1,' С, = — — т = — 666,4324т; Сз — — С;. ~(2 Поскольку полюса комплексно-сопряженные, для получения передаточной функции дискретного времени Н(х) используется преобразование (8.11).
В данной задаче С„, = О, С, = †6,4324, р; Т = 0,5207, Р„,Т = -0,5207, е""'т = 0,5941, в1п()х Т = 0,4974), сов(рн Т) = 0,8675 и е""'т = 0,3530. Подставляя згн значения в уравнение (8.11), получаем Н(х): 393,9264х ' Н(х)— 1 — 1,0308х т +0,3530х з Если в приведенное уравнение подставить х = е т, значение Н(х) на частоте ш = 0 будет равно 1223, что примерно равно частоте дискретизации.
Вообще такое большое усиление характерно для фильтров, реализованных по схеме инвариантного преобразования импульсной характеристики, н усиление передаточной функции примерно равно частоте дискретизации, т.е. ЦТ (следствие дискретизации частотной характеристики). Чтобы уменьшить усиление и избежать переполнения при реализации фильтра, Н(х) часто множится на Т (или делится на частоту дискретизации). При таком подходе в данной задаче получим следующую передаточную функцию: 0,3078х ' Н(х)— 1 — 1, 0308х-' + О, 3530х-з З.б. Расчет коэффициентов методом инвариантного преобразовании $11 -0.3530 Рие.
Я.в. блок.ехема фильтра иа примера З.л Таким образом, 53=0 а, = -1,0308 Ьг —— 0,3078 аг = 0 3530 Альтернативный метод устранения влияния частоты дискретизации на усиление фильтра — это работа с нормированными частотами. Тогда в последнем примере можно использовать Т = 1 и гк = 2я х 150/1280 = О, 7363. Подставляя эти значения в уравнение (8.11), сразу получаем указанную выше желаемую передаточную функцию. Важным преимуществом работы с нормированными частотами является испольювание значительно более простых чисел.
Это также означает, что результаты можно обобщить; соответствующая блок-схема фильтра приведена иа рис. 8.5. ':6.62 Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики: резюме 1. Определить нормированную характеристику аналогового фильтра Н(в), удовлетво- ряющую спецификациям желаемого частотного фильтра. 2. При необходимости разложить Н(в) на элементарные дроби, чтобы упростить сле- дующий этап. 3. Применить л-преобразование к каждой дроби и получить выражение в форме (8.9). 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
