Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Обрюию внимание на то, что положнтеаьная часть оси ю' на а-плоскости (те. тачки от а = о ло а =- гос) отображается в всрлиюю половину еяиничной окружности. а отрипатсльная <асть оси г' псрсвокится в нижнюю половину Тема влияния согласованного л-преобразования на частотную характеристику фильтра будет продолжсна в разделе 8.12. 8.8. Расчет ксаффициентое е(помо(цью билинейне'о ' й"пресбраЗОаэний.. .6.8.1':-; Основные концепции и примеры разработки Данный метод является, пожалуй, самым важным методом получения коэффициентов БИХ-фильтра. В нем для преобразования характеристики аналогового фильтра Н(я) в характеристику эквивалентного цифрового фильтра применяется следующая замена; л — 1 2 в.=/г —, Й = 1или —.
л+1г Т (8.18, а) Приведенное выше преобразование отображает аналоговую передаточную функцию Н(я), записанную на л-плоскости, в дискретную передаточную функцию Н(г) комплексной плоскости, как показано на рис. 8.9. Обратите внимание на то, что на рисунке вся ось з з в-плоскости отображается в единичную окружность, левая половина л-плоскости отображается внутрь единичной окружности.
а правая — в область снаружи единичной окружности. Таким образом, устойчивый аналоговый фильтр с полюсами в левой половине л-плоскости перейдет в цифровой фильтр с полюсами внутри единичной окружности. ° ° ° ° $16 Глава 8. Разработка фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) я а в а (цифровая частетаг Рнс. а.10. Связь между аналоговыми и цифровыми частотами, лемонсгрируюшая эффект леформации. Обратите внимание на то, что равнаотстоягние аналоговые паласы после преобразования в цифровую область на высоких частотах сжимаются и располагаются плотнее ггцгТьз 2 цг' = Й ьй ~ — ~, Й = 1 или —.
'з,21' т (8.18, б) Зависимость (8.18, б) схематически изображена на рис. 8.10. Видно, что связь аналоговой частоты ш' с цифровой частотой цг почти линейна при малых значениях цг, но становится нелинейной при больших значениях цг, что приводит к искажению (или деформации) цифровой частотной характеристики. Обратите внимание на то, что полосы пропускания аналогового фильтра слева имеют постоянную ширину и нх центры располагаются через равные промежутки, тогда как полосы пропускания цифрового эквивалента несколько сгущены. Для компенсации этого эффекта аналоговый фильтр (одна или несколько критичных частот) обычно предварительно деформируется перед применением билинейного преобразования. Например, при разработке фильтра нижних частот предварительной деформации часто подвергаются частота среза или граничная частота: й, Р (8.19) К сожалению, прямая замена л в О(л), как она записана в формуле (8.18, а) может привести к получению цифрового фильтра с нежелательной характеристикой.
Это легко показать, сделав в уравнении (8.18, а) замену л = е*"" и л = и /. Упрощая, находим, что аналоговая частота цг' и цифровая частота цг связаны соотношением 8.8. Расчет коэффициентов с помощью билинейною э-преобразования щ = заданная частота среза, щ' = предварительно деформированная частота среза, Т Й = 1 или —, 2' Т вЂ” период дискретизации. Е,':;:8;.(Йф-="- Метод билинейного л-преобразования: резюме Для стандартных частотно-избирательных БИХ-фильтров можно следующим образом обобщить этапы использования билинейного г-преобразования.
1, На основе спецификаций цифрового фильтра определить подходящий нормированный аналоговый фильтр-прототип с передаточной функцией Н(э). 2. Определить и деформировать граничные или критичные частоты нужного фильтра. Для фильтров нижних или верхних частот существует единственная граничная частота, нли частота среза (скажем, щр). Для полосовых и режекгорных фильтров имеем верхнюю и нижнюю граничные частоты полосы пропускання ыр, и ырэ, каждую из которых нужно деформировать (также могут задаваться граничные частоты полосы подавления): (8.20, а) и =18 — " ' щ =18 (8.20, 6) / Ш э = — нижних частот в верхних частот, э (8.21, б) э+ 2 э = нижних частот в паласовой, И' э (8.21, в) Ига э =, нижних частот в режекторный.
+ ыо (8.21, г) Здесь 2 ЮО ь~рэмр1 ~ г щрэ мм 3. Денормировать аналоговый фильтр-прототип, заменив э в передаточной функции с помощью одного нз следующих преобразований (в зависимости от типа требуемого фильтра): э = —, нижних частот в нижних частот, (8.21, а) М' 020 Глава В. Разработка фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) 4. Применить билинейное х-преобразование и получить передаточную функцию нужного цифрового фильтра Н(»), следующим образом заменив з в масштабированной (те. денормированной) передаточной функции Н'(з): » — 1 3 = —.
»+1 Пример'8 б Фильтр нижних частоль Требуется разработать цифровой фильтр нижних частот, аппроксимирующий следующую передаточную функцию: Н(з) = 1 зг+ т/2 + 1' Используя метод билинейного к-преобразования, получите передаточную функцию Н(») цифрового фильтра, если частота среза по уровню 3 дБ равна 150 Гц, а частота дискретизации равна 1,28 кГц. Решение Используя критическую частоту шр —— 2к х 150 рад)с и Г, = 1/Т = 1,28 кГц, получаем следующую деформированную критическую частоту: ьг' = »8(ьг Т/2) = 0 3857. Масштабированный аналоговый фильтр характеризуется функцией 1 Н'( ) = Н( ) ю= г»„' (3/ш') + т/2з/ьг' + 1 ьт, О, 1488 зг+ т/2~'в+ ~ц'з зг+ 0 5455з+ 0 1488 к к После применения билинейного»-преобразования получаем такой результат: 0,0878»г+ 0,1756»+ 0,0878 »г — 1,0048» + 0,3561 0,0878(1 — 2» ' + » г) 1 1 0048»-г + 0 3561»-г' В.в.
Раогет коэффициентов с помощью билинейного з-преобразования Физьглр верхних честнот Нормированная передаточная функция простого аналогового КС-фильтра верхних частот записывается как Н(з) = —, 1 з+1 Начав с уравнения на з-плоскостн, определите с помощью метода билинейного хпреобразования передаточную функцию эквивалентного фильтра верхних частот, работающего в дискретном времени. Частоту дискретизации считайте равной 150 Гц, а частоту среза — ЗО Гц. Решение Критичной частотой для данного цифрового фильтра является гз, = 2я х 30 рал/с. Частота среза после деформации равна щ' = г8(ю Т/2).
При Т = 1/150 Гц ьг' = г8(я/5) = 0,7265. Используя преобразование "фильтр нижних частот в фильтр верхних частот", представленное в формуле (8.21, а), получаем следующую денормированную аналоговую передаточную функцию: Н (з) = Н(з) 1 2 = ЬГ. ьг'/з+1 з+0,7265' — !.,—,. Для получения передаточной функции на комплексной плоскости применим билиней- ное г-преобразование: Н(х) = Н'(з) .=г*-цд ец (х — 1)/(х + 1) + 0,7265 Упрощая, получаем Н(х) = 0,5792 1+0,1584х ' Коэффициенты фильтра дискретного времени: Ьо = 0,5792, аг = 0,1584, Ь, = -0,5792. 622 Глава а, Разработка фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) ! йкранф" 3;)зз Нолосозой фильтр.
Требуется полосовой фильтр дискретного времени с характеристиками фильтра Батгерворта, удовлетворяюШий приведенным ниже спецификациям. Для получения козффициентов фильтра используйте метод билинейного з-преобразования. полоса пропускания 200-300 Гц, частота дискретизации 2 кГц, порядок фильтра, Ф 2. Решение Требуется нормированный аналоговый фильтр нижних частот первого порядка (поскольку преобразование полосы частот для полосовых фильтров, выраженное в формуле (8.21, з), удвоит порядок фильтра). Следовательно, 1 Н(з) = —. в+1 Критичные частоты после предварительной деформации: )-ь( ) =0,%95, ь'з2 ш~ = м',ы„'з = О, 1655, Ит = м„'з — ш', = О, 1846.
Н'(з) =Н(з)!,з, з = 1 И'"з зз+ Ига+„,2 После применения билинейного х-преобразования получаем Н(~) = Н'( )!, .-1 = Подставляя значения ь~сз и Иг и упрошая, получаем 1 — з з Н(з) = 0,1367 1 2862з-, +О 7265 Используя преобразование "фильтр нижних частот в полосовой фильтр" (форму- лу (8.21, з)), получаем вд, Расчет коэффициентов с помощью билинейною л-преобразования 823 л) Рнс. 8.) ). Диаграмма нулей н полюсов лля а) фнльтра-прототнпа нижних часпгт, б) промежуточного аналогового полосового фильтра н в) Лнскрегного полосового фильтра, полученного путем преобразования полосы Диаграмма нулей и полюсов нормированного фильтра-прототипа нижних частот, аналогового полосового фильтра и цифрового полосового фильтра дискретного времени изображены на рис.
8.11. Отметим, что преобразование "фильтр нижних частот в полосовой фильтр" ввело по одному нулю в начале координат л-плоскости н на бесконечности. Затем билинейное л-преобразование отобразило этн нули в л = ж1. Таким образом, нули дискретного полосового фильтра — г = 1 и л = -1. Его полюса расположены в точках л = 0,6040 ж 0,60156 Нули аналогового полосового фильтра находятся в точке л = 0 и на бесконечности (на рисунке не показано), а полюса — в точках л = — О, 0923 + О, 3962з. На практике БИХ-фильтры высоких порядков (например, /тг > 3) обычно реализуются как каскады или параллельные соединения фильтрующих звеньев второго и/или первого поркцков, что позволяет снизить влияние конечной разрядности на производительность фильтра (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
