Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 160
Текст из файла (страница 160)
на жГ,/4) Один нуль на 0' (т.е. на постоянной составляющей) Пара комплексно-сопряженных нулей иа ж60' (те. на жГ./6) Двойной нуль на 0' (т.е. на постоянной составляющей) Двойной нуль на 180' (т.е. на Г„/2) Пара комплексно-сопряженных нулей на ж120' (те. на 4Е,/3) Один нуль на 180' (те на г'./2) 0 0 1 1 2 -2 -1 -1 1 -1 0 — 1 — 1 — 1 — 1 0 Простая, но эффективная стратегия заключается в размещении нулей обратной связи максимально близко к частотам полюсов, чтобы противодействовать влиянию полюсов (см. рис.
13.21). На практике в число факторов, влияющих на выбор коэффициентов обратной связи по ошибке, входят желание избежать дальнейших ошибок округления, использование двойной точности, желание упростить умножители и необходимость расположить нули цепи обратной связи по ошибке максимально близко к полюсам фильтра, чтобы компенсировать влияние шума округления. По этим причинам значения коэффициентов обратной связи по ошибке /сг и нз часто выбираются из простых целых чисел О, щ1, щ2.
Чтобы коэффициенты обратной связи были простыми числами, нули цепи обратной связи должны располагаться в точках О, щбО', щ90', щ120', щ180', в зависимости от значений /ст и нз. Возможные значения коэффициентов обратной связи по ошибке и положения соответствующих нулей сведены в табл. 13.б. 91в Глава 13. Анализ эффектов конечной разрядносм... Выбор коэффициентов обратной связи по ошибке зависит также от типа фильтра. Например, фильтр нижних частот будет иметь полюса на постоянной составляющей нли возле нее. Таким образом, в таблице показано, что значения )б, и кз можно выбирать лишь из позиций 1, 3, 4 или 5, поскольку талька так можно получить нули, близкие к полюсам фильтра.
С другой стороны, фяльтр верхних частот имеет полюса вблизи верхней границы полосы частот доступного спектра (т.е, возле т',/2). Следовательно, в этом случае значения )с) и )сз можно выбирать из вариантов 1, б, 7 или 8. Пример 13.16 1. Используя необходимые диаграммы, обсудите проблемы шума округления в цифровых БИХ-фильтрах с фиксированной запятой.
В ответе нужно осветить следующие моменты: а) возникновение шума округления в БИХ-фильтрах; б) влияние шума округления на производительность БИХ-фильтров. 2. На рнс. 13.26 показана структура звена фильтра второго порядка со схемой обратной связи по ошибке. Предположим„что данное звено нужно реализовать с использованием арифметики с фиксированной запятой с дополнением до двух, причем квантование выполняется после сложения произведений. А.
Выведите выражение для преобразования квантованного выхода У(э), записанное через преобразование входа Х(з) и ошибку квантования Е(э), показав таким образом, что цепь обратной связи по ошибке не оказывает неблагоприятного воздействия на входной сигнал. Б. Выведитс выражение для функции обратной связи по ошибке. В. Какие ключевые факторы на практике влияют на выбор значений коэффициентов обратной связи по ошибке? 3.
Из анализа положений полюсов и нулей найдите подходящие пары целых значений коэффициентов обратной связи по ошибке, при которых минимизируется уровень шума на выходе указанных ниже фильтров: ) в(*) = бНЭбч(нб)*.-; б) к()=~; в) Н(г) = -;-';ф;=з. Допустим, что все фильтры реализованы с использованием структуры, изображенной на рис. 13.2б, и что корни полинома второго порядка 1+ б()з + ((зг равны (т,40) и (т, с' — В), где /-()~ т = тl3~ и 0 = атосов ~ — ) . ~2т) 919 13дч Эффекты конечной разрядности в цифровых БИХ-фильтрах Рис.
12.26. Схема снижения шума азарово порядка — выбор возффиииентов обратной связи по ошибке Рещение 1. Шум округления проистекает от квантования произведений (округления или усечения) и/или квантования суммы произведений, необходимого в рекурсивной реализации, чтобы удержать переменные согласованными с разрешенной длиной слов Например, умножение двух чисел, представленных В бит каждое, дает результат раз мером 2В бит. Если результат не проквантовать до (например) В бит, длина слова последующих результатов будет расти бесконечно. Ошибки квантования усиливаются полюсами фильтра и поступают на выход в виде шума. Данный шум увеличивает общий собственный шум системы.
При этом искажаются сигналы низкого уровня, и в приложениях, требующих высокоточного воспроизведения, это может быть неприемлемо. Ошибки округления могут также привести к мелкомасштабным осцилляцням на выходе фильтра даже при отсутствии входа. Для иллюстрации ответа можно привести диаграммы топологий фильтра (например, каноническое звено второго порядка) н модели шума округления.
2.А. С помощью рис. 13.26 находим, что ошибка округления е(п) и квантоваиный и неквантованный выходы фильтра р'(п) и у(п) передаются следующим образом: е(п) = у(п) — у(п) (13.39) р(п) = ~~ Ь;х(п — з) — ~ аср(п — з) + ~ )сее(п — з) з О Глава 13. Анализ эффектов конвчной разрядности .. 920 Используя формулы (13.39, а и б), применяя г-преобразования и упрощая резуль- тат, получаем исюмое уравнение: 2 2 б,з .=о 2 1 — ~йкз ' *=1 'т ( ) = Е(з). Х(з)— 3 1+ ~'а з — з 2 1+~ аз ' зхп 2.Б. Передаточную функцию шума можно получить, положив вход равным нулю.
Из уравнения (13.39, в) следует: 2 а=1 1 — )с1с — йзз 1 — ~ й,з-' 1 + ака ' + азг з 1+2,аг ' округления илн использования двойной точности, дополнительного умножителя, необходимость расположить нули цепи обратной связи по ошибке максимально близко к полюсам фильтра, чтобы компенсировать их влияние на шум округления. По этим причинам значения коэффициентов обратной связи по ошибке )с, и )сз выбираются из простых целых чисел О, ~1, ~2.
З.А. Используя выражение для корней полинома, находим, что полюса фильтра распо ложены на з-плоскости с координатами г = з/б, ВТ = О, 9 и В = х агссоз(1, 75/2 х О, 9) = ~13, 5'; двойной нуль имеет координаты г = 1 и В = 180' (т.е. на частоте Е,,/2). В результате получаем фильтр нижних частот. Коэффициенты обратной связи по ошибке должны давать двойной нуль на т = 1 и В = О, чтобы компенсировать влияние полюсов на шум округления, так по имеем следующие значения: )с, = 2 и )сз — — — 1. Можно также использовать юэффициенты обратной связи по ошибке первого порядка со значениями )з~ — — 1 и кз — — 0 (чтобы получить нуль на постоянной составляющей). З.Б.
У второго фильтра полюса расположены в точке с координатами г = 0,9 и В = ~ атосов( — 1,75/2 х 0,9) = ~166,4' с двойным нулем на постоянной составляющей, так что фильтр, очевидно, является фильтром верхних частот. Нули цепи обратной связи, ближайшие к полюсам фильтра, получаются при выборе Й, =- — 2 и Йз = — 1 (при этом возникает двойной нуль, расположенный в точке с координатами г = 1 и В = 180').
З.В. Третий фильтр имеет два комплексно-сопряженных полюса, расположенных в точках с координатами к = О, 9 и В = ~90' на з-плосюсти, и пару нулей, расположенных в точках с юординатами 0' и 180'. Чтобы компенсировать, насколько это возможно, влияние полюсов, следует выбрать целые коэффициенты цепи обратной связи — )с, = 0 и Ц = — 1. Как видно из табл. 13.6, данный выбор даст пару комплексно-сопряженных нулей в точках с координатами г = 1 и В = ~90'.
2.В. Основными факторами являются необходимость избежать: дальнейших ошибок 921 13.4. Эффекты конечной разрядности в цифровых БИХ-фильтрах '-$3,'4;"ф~к Граничный цикл вследствие ошибок округления произведений Помимо снижения отношения сигнал-шум ошибки, вызванные округлением, могут привести к тому, что выход фильтра будет осциллировать или застынет на одном значении даже при отсутствии сигнала на входе. Данное явление называется низкоуровневым граничным уи«лам, и ниже оно иллюстрируется на примере. Прпцф4И,7) БИХ-фильтр первого порядка характеризуется разностным уравнением у(л) = х(и)+сту(л — 1) л > О.
Для данного начального условия у(0) = 6 и нулевого входа, т.е. х(л) = О, и = 0,1,... выполните следующие задания: а) получите и изобразите (предполагая вычисления с бесконечной точностью) первые 10 выходных значений при 1) ст = -О, 75; 2) ск = О, 75; б) повторите п. а, но с предположением, что данные и регистры имеют размер по 4 бит (т.е. 3 бит данных и 1 бит знака), и что произведения округляются; в) повторите п. а и б, предполагая усечение произведений непосредственно после умножения. Решение Значения выходных выборок для указанных случаев изображены на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
