Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 157
Текст из файла (страница 157)
предшавлены коэффициенты прямой связи) на рис. 13.12. Следует также отметить, что передаточная функция фильтра после масштабирования, как они определены выше, идентичны соответствующим параметрам иемасштабнрованного фильтра (по крайней мере, теоретически). Бряййер'43)11; Используя описанные выше три метода, сравните масштабные козффициенты фильтра с приведенной ниже передаточной функцией, предполагзя каскадную реализацию со звеньями второго порядка: Щг) = НзЫНг(г)Нз(г), 1+0,2189г '+ г ' 1 — О, 0127г-' + О, 9443 г ' ' 1 — 0,5291г ' + г г 1 — 0,1731» ' + 0,7252г г' 1+ 1,5947г 1+ г 1 — 0,6152г-'+0,2581г г решение Используя программу анализа зффектов конечной разрядности и три метода опре- делениЯ ноРмы, полУчим масштабные множители вз, вг и вз.
а'1 ь.г ь'3 в, 20,9608 3,0388 13,4098 вг 19,0361 2,5358 10,1366 вз 14~4467 2 9146 6,4087 Кая ОтМЕЧаЛОСЬ ВЫШЕ, НОРМа Я.з ВСЕГДа МаКСИМаЛЬНа, а Ьг — МИНИМаЛЬНа. 897 13дн аффекты конечной ралрядности а цифровых БИХ-фильтрах -«и Рис. 1ЗЛЗ. Масштабирование в параллельной реалиаапии БИХ-фильтра шестого парилка :,:."'13;Ф;7~'бг Масштабирование в параллельной реализации На рис. 13.13 изображена схема масштабирования для параллельной реализации БИХ-фильтра шестого порядка. Видно, что в данном случае звенья второго порядка масштабируются по отдельности, как описано выше.
Масштабный множитель ле на вхгще каждого фильтруюшего звена гарантирует, что переполнения в соответствующем узле нгг(п) не будет. Чтобы сохранить усиление звена таким же, каким оно было до масштабирования, коэффициенты прямой связи (тат умножаются на ле, как показано на диаграмме. Масштабные коэффициенты выражаются следующим образом: (13.17) 898 Глава 13. Анализ эффектов конечной разрядности... где г,:(з) — передаточная функция от входа з(п) до узла гз,(п), записываемая следующим образом: -г' 1 +о1 +ог 3 "Прйз1вр 13,И Сравните масштабные множители фильтра, имеющего приведенную ниже передаточную функцию, используя три метода масштабирования.
1,2916 — 0,0807з ' 7, 5268 Н(з)— 1 — 0 131з '.1- 0 3355з г 1 — 0 049г Решение С помощью программы анализа эффектов конечной разрядности были получены следующие масштабные коэффициенты: Е1 7г всю зг 1,7345 1,0667 1,5126 зг 1, 0515 1, 0012 1, 0515 .-:13.4.8;-': Детектирование и предотвращение переполнения на выходе При использовании норм Ег и Ь переполнение возможно, хотя и изредка. В таких случаях обычно на выходе фильтра используется арифметика насыщения. По сути, при переполнении на выходе значение устанавливается равным наибольшему положительному или отрицательному, в зависимости от знака истинной выборки данных.
Данный подход оказался эффективным при обработке переполнений конечного выхода. Если выход не насыщается, то такой подход использовать нельзя, так как он может привести к нежелательным результатам, например, раздражающим звукам в цифровом аудио. Если применяется каноническое звено, к сказанному добавить нечего. Если же используется прямая реализация, и конечный выход не модифицируется, переполнение по обратной связи пойдет на умножители и затронет последующие выходные выборки. На рис. 13.14, а и б показаны характеристики детектирования переполнения в арифметике с дополнением до двух и арифметике насыщения соответственно.
На данных рисунках через у обозначен правильный выход, а через у — выход при переполнении. В современных процессорах ЦОС наблюдается тенденция к использованию в накопителе дополнительных защитных битов, позволяющих предотвратить или снизить вероятность ошибок переполнению Например, в процессоре ПЯР56300 56-битовый накопитель включает 8 защитных бит. Следовательно, в 256 случаях переполнения возникнет только одна ошибка переполнения. 13нн Эффвкты конечной разрядности в цифровых БИХ-фильтрах А А б) Рис.
13.14. Перепокнение: е — характеристика перепоянеиия; б — арифиетнка песня)ения ~".,'13,43~: Ошибки округления произведения в цифровых БИХ-фильтрах Анализ ошибок округления произведения является обширной темой. Здесь мы будем кратки и просто расскажем о природе ошибок, нх влиянии и способах снижения этого влияния. Основные операции в БИХ-фильтрации определяются знакомым разностным уравнением второго порядка: у(п) = ~~) бах(п — )с) — ~~) а„у(п — )с), (13.18) где х(т) — гс) и у(п — б) — входная и выходная выборки данных, ба и аа — коэффициенты фильтра.
На практике эти переменные часто представляются как числа с фиксированной запятой. Обычно каждое произведение бах(п — )с) или аау(п — б) требует большего числа битов, чем каждый операнд по отдельности. Например, произведение В-битового элемента данных и В-битового коэффициента имеет размер 2В бит. Для рекурсивных систем, если результат не сократить, последующие вычисления приведут к неограниченному росту числа битов. Усечение или округление используется для квантования произведения до приемлемой длины слова. Квантование произведения приводит к о)инбхам округления в выходных данных, а следовательно, к снижению отношения сигнал-шум.
Данные ошибки могут также привести к мелкомасштабным осцилляциям выхода цифрового фильтра даже при отсутствии входа. На рис. 13.15, а представлена блок-схема процесса квантования произведения, а на рис. 13.15, б — линейная модель эффекта квантования произведения. Модель включает идеальный умножитель с бесконечной точностью, последовательно соединенный с сумматором, на который подается выборка шума е(п), представляющая ошибку в Глава 13. Анализ эффектов конечной разрядности ..
000 Длит О )та) «ти) а) 2л бит б) Рнс. 13.15. Представление ошибки квантования произведения: а — блок-схема процесса квантования; б — лннеаная модель процесса квантования квантованном произведении, причем для простоты предполагается, что х(п), у(л) и К представлены В бит каждый. Таким образом, у(и) = Кх(л) + е(п). (13.19) Мощность шума, порождаемого квантованием произведения, выражается следующим образом: 2 Ч (7„=— 12' где г обозначает ошибку округления, а у — шаг квантования, определяемый длиной слова, до которой квантуется произведение.
Считается, что шум округления представляется случайной переменной с нулевым средним и постоянной дисперсией. Хотя такое предположение не всегда справедливо (например, при наличии слабых узкополосных сигналов), оно полезно при оценке производительности фильтра. Шум округления может передаваться на последующие звенья системы ЦОС, где он усиливается, подавляется или модифицируется. Суммарный выходной шум, порожденный ошибками округления, зависит от структуры реализации. Если фильтр реализован в виде каскадной структуры, шум, порожденный одним звеном, подается на последующие звенья.
Следовательно, звенья должны упорядочиваться так, чтобы минимизировать общий шум, вызванный ошибками квантования. "*:13!4.::1О.~' Влияние ошибок квантования на производительность фильтра Влияние шума квантования на производительность фильтра зависит от типа используемой фнльтрующей структуры и точки, в которой квантуются результаты. На рис. 13.16, а показана модель шума квантования для описанного ранее стандартного компоновочного блока, реализованного в прямой форме. На рисунке предполагается, что входные данные х(л), выход у(л) и коэффициенты фильтра представляются как В-битовые числа (включая бит знака).
После умножения произведения квантуются до В бит путем округления (или усечения). 13.4. Эффекты конечной разрядности в цифровых БИХ-фильтрах Рнс. 13.16. Модель шума кввнтошиия произведения для фильтрушшего звена, реализованного в прямой форм». Все источники шума, пзмлстаачсннме на панели а, на панели 6 сбьелинснм, поскольку вьошд с ннк поступает в одну точку 1 1 г ггг — ~ л'(л)Г(л ')— 2згг .г' л с в 1 (13.20) 1 (Й) з, = а=о 2 — —,, П~()Изд, (13.21) 1 Р(л) = 1+ азл-г + а — 2л-я дй) = г-'(р(.))— результат применения обратного г-преобразования к Г(л). Кроме того, у(й) — это импульсная характеристика каждого источника шума, дающего вклад в выход фильтра, ~ Дз' — квадрат нормы Л„а д~/12 — мощность шума округления внутреннего произведе- Глава 13. Анализ зффектое конечной разрядности ..
воа иа ез 3 Рис. 1347. Модель шума кваитоваиид лроизведеиия дла каиоиического фильтруюшего звена. Все источники шума, выход мпорых иа павела а поступает в одну точку, иа панели б объедииеиы ния. Общая мощность шума иа выходе фильтра — зто сумма мощности шума округленнв произведений и мощности шума квантования АЦП (формулы (13.8) и (13.20)): 'т стол + ~ г г г г Газ СЮ )г(~:„)+б г~ гг(ь) ь=о ь=о (13.22) Ч гпггг( )пи+ б а~~Р( )~~Я~ здг " Здг Здг г ~~, Гг(иг) + ШР( ЦЯ+ 1) а=о (13.23) где Г(гс) — импульсная характеристика, связывающая выход источника шума е, с вы- ходом фильтра, а Е(г) — соответствующая передаточная функпия: (13.24) Для канонического звена (рис.
13.17, а) модель шума также включает масштабный множитель, поскольку само каноническое звено вносит шум округления. Выход источников шума е,(п), ег(п) и ез(п) подается на левый сумматор, тогда как выход источников е„ ее и ев подается непосредственно на выход фильтра. Обьединяя источники шума, выход которых подается на одну точку получаем модель шума, изображенную на рис. 13.17, б. Предполагая, что источники шума не коррелируют„общий вклад шума в полезный сигнал — зто просто сумма отдельных шумовых составляющих: 903 13.4. Эффекты конечной разрядности в цифровых БИХ.фильтрах Общий шум (шум АЦП + шум округления) на выходе фильтра записывается следующим образом: 3 3 2 оо — — а,н+ а,„= 1+ 2~ '1 2(й) + ~~,~~! 2(й) (13.25) Формулу (13.25) стоит сравнить с формулой (13.22).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
