Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 159
Текст из файла (страница 159)
Придумано несколько схем снижения или устранения эффектов ошибок округления в БИХ- фильтрах. Эти схемы так эффективно формируют спектр шума, что шум в определенных полосах фильтра снижается или устраняется. В сумме подобные схемы называют формированием слекв1ра ошибки (Еггог Бросив! ЯЬар1пя — ЕЗЯ). Введем основные принципы снижения шума округления с использованием фильтрующего звена второго порядка 1 (рис. 13.21, а).
На данном рисунке параметры фильтра (коэффициенты и данные) представлены как В-битовые числа с фиксированной запятой, а накопитель имеет размер 2В бит (т.е. используется реализация "В/2В бит"). В современных процессорах ЦОС 8 обычно равно 16 или 24 бит. При квантовании выхода накопителя до В бит создается шум округления. Можно показать, что преобразование квантованного выхода записывается как (10 + (1! г + 922 1 1+а12 '+агг 2Х(г) 1+а12-'+агг-2 Видно, что спектр квантованного выхода равен спектру идеального выхода плюс масштабированиый спектр ошибки.
Спектр ошибки усиливается полюсами фильтра (юрии полинома 1+ а,г ' + агг ') вие зависимости от характеристик фильтра. В зависимости от типа фильтра шум может усиливаться в нижней средней или верхней части частотного диапазона. Схема обратной связи по ошибке первого порядка, используемая для снижения влияния шума округления, изображена на рис.
13.21, б. Можно показать (см. пример 13.16), что в этом случае выходное преобразование звена фильтра с обратной связью по ошибке записывается так: 60+ 12 '+Ьгг 1 — йг ' 1+а12 1+агг 2Х(г) 1+а12 '+а г 911 13.4. Эффекты конечной разрядности в цифровых БИХ-фильтрах 2 Рис. 1ЗД1. Шум округления в звене второго порядка прямой формы 1г а — длины слов в различных точках фильтра; 6 — схема снижения мума первого порядка Коэффициент обратной связи гс эффективно вводит нуль на пути ошибки, компенсируя таким образом влияние полюсов фильтра.
Влияние нуля с обратной связи по ошибке на спектр ошибки демонстрируется на рис. 13.22. Очевидно, что без обратной связи по ошибке спектр ошибки усиливается полюсами фильтра. При использовании обратной связи по ошибке на пути ошибки вводится нуль, что приводит к уменьшению спектра ошибки. Чтобы компенсировать влияние полюсов, нуль в цепи обратной связи обычна помещают как можно ближе к частоте полюса.
Чтобы максимально сократить спектр шума, можно использовать схему второго порядка, изображенную на рис. 13.23. Обобщенные стратегии снижения шума для звена в прямой форме и канонического звена изображены на рис. 13.24, а и б соответственно. На обоих рисунках коэффициенты прямой и обратной связи а', и Ь', используются для изменения передаточной функции, искаженной ошибками округления, так что выходной шум округления минимизируется, не затрагивая полезный сигнал. На рис. 13.24, а квантование суммы произведений на выходе левого сумматора порождает ошибку ег(л), которая представляет собой нижнюю половину переменной двойной точности у(п).
Произведения а', е, (и — 1) и азез(л — 2) не имеют такого веса, как другие выходы сумматора, хотя все они имеют длину 2В + 1 бит, так что их следует выровнять или проквантовать перед сложением с другими входами. Ошибка квантования в этом случае обозначается через ез(п). Подобным образом члены Ьпе(п)/яз, Ь',е(п — 1)/я и Ьзе(п — 2)/я, нужно проквантовать перед суммированием с другими входами правого сумматора, что сводится к ошибке ез(л).
Наконец, выход правого сумматора квантуется с 2В + 1 бит до В + 1 бит, по дает ошибку е,(п). Подобные соображения можно привести и для канонического звена, изображенного на рис. 13.24, б. Глава 13. Анализ эфФектов конечной раэрндноо Р» (т) Р» (к) ( () а) люгрлмма пулов и полосое (О фильтра, (и) сети с обратила связью по ошибке прил ( б) спектр ошибки прм Л--О е) спектр ошибки при Л = ( Рнш (3.22. Иллюстрация впияния юзффицнеитв обратной связи Обратите внимание на то, что гпзложение н)ня в цепи обратной саши близю к полааенияз полнила фзаьтра 13.4.
Эффекты конечной разрядности в цифровых БИХ-фильтрах -г Рмс. 13.23. Схема снижения шума второго порядка ,га - 1) ,г — 2) ь, г си е) Рнс. 13.24. Обобщенные схемы снижения шума: а — фияьтр„реааитоваиный в прямой форме; б— канонический фняьтр Глава 13, Анализ эффектов конечной разрядности... 914 При реализации в прямой форме со схемой ЕБЗ (рис.
13.24, а) выходной шум выражается следующим образом: 1 сч 00 о' = — У 1~(1с) + ~ ~1з(!с)+ 2зз ь=.о к=о (1334) где /,(/с) и Гз(/с) — импульсная характеристика, связывающая источники шума ! и 2 с выходом фильтра. Для канонического звена (рис. 13.24, б) выходная мощность шума, порожденного округлением, записывается так: з ( СΠ— ©6) + ~~ 1зз(6) + 2 ь=о »=о 2 = — (/!Р,(»)!/, '+ !!Р— 2(»)//,'], (! 3.35) где (1+ а~»»)(Ьо+ 6з» '+ 6з» ~)з~ 1+а~» '+аз»» (6о + 61» + 6»» )8) 1 + а,»-' + аз» вЂ” з Ь,'=О,з=0,1,2; а,' = а„! = 1, 2.
(13.3б) В данном случае выходной шум округления снижается до уровня, не превышающе- го внутренний шум округления. Выходная мощность шума округления снижается до величины 2 а = — ~1+~ 1 (!с) к=о (13.37) Выбор коэффициентов формирования спектра ошибки а', и 6', определяет эффективность схемы по снижению шума. На практике обычно коэффициенты ЕКЗ выбираются целыми, чтобы избежать дальнейшего квантования, и используются схемы Ебб первого и второго порядка.
В схемах снижения шума первого порядка коэффициенты прямой связи по ошибке устанавливаются равными нулю, а коэффициенты обратной связи по ошибке — равными целым числам. Схемы снижения шума первого порядка частично помогают снизить шум округления в узкополосных фильтрах нижних и верхних частот, поскольку позволяют помещать на пути ошибки округления единственный нуль либо в нижней, либо в верхней области частотного диапазона. Схема привлекательна тем, что она лишь незначительно увеличивает вычислительную сложность фильтра. Оптимум ЕБо достигается при использовании схем второго порядка, в которых эффект шума округления на выходе фильтра полностью устраняется. Для звена, реализованного в прямой форме (рис.
13.24, а), оптимальная схема ЕЯБ записывается следующим образом; 13д. Эффекты конечной разрядности в цифровых БИХ-фильтрах 919 12 вт 1 + ак х-' + азх- Для канонического звена следует использовать такие значения: Ь', = — Ь„4=0,1,2; а',. =а„)=1,2. (13.38) Выходная мощность шума записывается следующим образом: 4 и' 4 12 ~У (Ь) = 12!1Р( )!!~~ к=о где (Ьо + Ькя + Ьз7. )вт 1+ атя + азх Оптимальное решение вычислительно дороже н, как отмечается в работе [13), вклю- чает представление с двойной точностью внутренних переменных фильтра.
Помимо решения с целыми числами, рассмотренного выше, существует несколько других суб- оптимальных решений (см., например, [7)). 'Йрт[й[ф';"И',,',1Ж: Сравните характеристики шума округления БИХ-фильтра второго порядка, который характеризуется передаточной функцией 0,1436(1+2х '+х з) 1 — 1,8363с-' + 0,0748х-' ' если фильтр реализован а) как каноническое звено; б) в прямой форме для следующих случаев: Предполагайте, что все коэффициенты прямой связи по ошибке во всех случаях равны нулю. 1) а,'= 2) а'~ —— 3) а',= 4) а',= 5) а',= 0,1 = 1, 2 (без обратной связи по ошибке); — 1,а' =0; — 2,а' =0; — 1,а' =1; — 2,а'з = 1.
916 Таблица !3.5. Выход программы анализа эффектов конечной разрядности (пример 13.15) Мон1ооемв китмо Реввизвпив в примой форме Каноническое звено Решение Структуры реализации фильтров со схемами Е88 показаны иа рис. 13.25. Выходная мощность шума округления для канонической структуры и структуры с реализацией в прямой форме равны соответственно: а = — [[[г'1(з)[[, + 1] а,"„= '1 []]ьз(в)[]~~+1], где Е~(в) = (1+ а',з '+ а~в '), зк —— 12,1395 (масштабирование Ьв) -в (ба+ аз ~+ Ьвг ~)зк 1+ага '+авз з (1+а',з +авз ~)зк Я(з) = ' ', з, = б, 7282 (масштабирование т'з). 1+а,в-'+авв в С помощью программы анализа эффектов конечной разрядности была найдена выходная мощность шума в каждом случае, результаты сведены в табл.
13.5. Отметим, что в ситуации 3 (а', = — 2, ав = О) выход шума на самом деле увеличился, а не уменьшился, откуда следует, что коэффициенты нужно выбирать аккуратно. Отметим также, что эффективно снизить выходной шум позволяет схема первого порядка, предложенная в п. 2. ::: 43.4Л4; Определение практических значений коэффициентов обратной связи по ошибке Из сказанного выше очевидно, что на спектр ошибки Е(з) влияют полюса фильтра. По сути, спектр ошибки усиливается полюсами фильтра.
Если предположить, что ошибка имеет плоский спектр, то на выходе фильтра шум будет усилен около частоты полюса. Коэффициенты обратной связи по ошибки компенсируют усиление спектра ошибки, для чего на пути шума вводится один или несколько нулей. В цепи обратной связи по ошибке первого порядка вводится один нуль в числитель передаточной функции ошибки. В цепи второго порядка коэффициенты обратной связи вводят два нуля в передаточную функцию шума. В обоих случаях нули не влияют на выход фильтра. 556 0106дв 77, 1261дв 414, Ш14дв 12,2659дв Глава 13. Анализ эфФектов конечной разрядности... 556,0103дв 76,6247дк 713 093342 413, 345дв 14, 99994 13.4. Эффвкты конечной разрядности в цифровых БИХ-фильтрах 917 к -2) -в Рнс. 13.25.
Две рахличные структуры реалнтапии БИХ-фильтра второго порядка Таблица 13.6. Целые коэффициенты обратной связи по ошибке и соотвстствуницие положения нулей Нанйо Значения Значения оарнанща кг йя Положение нулей Пара нулей на 0* и 180' (т.е, иа постоянной составляющей и Г./2) Пара комплексно-сопряженных нулей на а90' (те.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
