Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 156
Текст из файла (страница 156)
Если при некоторой длине слова радиальное расстояние от полюса до начала координат равно или превышает 1, возникает потенциальная неустойчивость. При анализе было найдено, что для поддержания устойчивости требуется не меньше В = 5 бит. Вообще, если полюс некваитованного звена второго порядка лежит на окружности с радиусом г < О, 9, неустойчивость маловероятна, если использовать длину слова 8 бит или больше. 2, б. Коэффициенты звеньев второго порядка квантовались до различных длин слов, как описано выше. Для каждой длины слова квантованные коэффициенты собирались в общую квантованную передаточную функцию фильтра, реализованного в прямой форме. Примеры коэффициентов при длинах слов 5 и 1б бит приведены в табл. 13.4. Были также рассчитаны неравномерность в полосе пропускания и Глава 13.
Анализ эффектое конечной разрядности .. 890 затухание в полосе подавления квантованного фильтра для различных размеров коэффициентов. Было найдено, что для удовлетворения спецификаций частотной характеристики в полосе подавления и полосе затухания требуется ) 6 или более бит. Отметим, что это больше, чем нужно для обеспечения устойчивости. 3.
Частотные характеристики, масщтабнрованные так, чтобы максимум располагался на О дБ, с квантованными и неквантованными коэффициентами (В = 5 бит) изображены на рис. 13.6. Визуально характеристика фильтра, квантованного до ) 6 бнт, не отличается от характеристики фильтра с неквантованными коэффициентами, поэтому на рисунке она не показана. Таблица 13.4. Коэффициенты фильтра (пример 13.9), демонстрирующие эффекты конечной разрядности 73(л) А(и) а Точно 5 бит 16 бит Точно 5 бит 16 бит 1,000 000 -1,338 200 3. 806 737 -3,556 357 5,629 177 — 3,556 357 3,806 737 -1,338 200 1, 000 000 1, 000 000 — 1, 250 000 3, 707 031 -3,288 574 5,443 726 — 3, 288 574 3, 707 031 — 1,250 000 1, 000 000 1, 000 000 -1,338 165 3, 806 700 -3, 556 255 5,629 105 -3, 556 255 3,806 700 -1, 338 165 1, 000 000 1, 000 000 -1,448 300 4,483 1ОВ -4,220 527 6, 647 162 -3,945 450 3, 918 398 1 -1, 182 602 О 0,763 340 2 1,000 000 — 1,437 500 4,355 469 0 -4, 060 791 6,261 536 -3, 677 216 З,57З 486 — 1,067 047 0,672 912 1, 000 000 -1,448 273 4,483 071 -4,220 431 6,647 087 -3, 945 354 3, 918 352 -1, 182 575 О, 763 338 33.4.4.
Ошибки переполнения при сложении В арифметике с дополнением до двух при сложении двух болыпих чисел одного знака может произойти переполнение (т.е. получиться результат, который превышает приемлемую длину слова), а зто приведет к изменению знака выходной выборки. Таким образом, очень большое положительное число становится очень большим отрицательным числом, и наоборот (рис. 13.7).
Рассмотрим каноническое звено, изображенное на рис. 13.8. Вследствие рекурсивной природы БИХ-фильтра переполнение в узле яо(п) переходит по обратной связи и используется для вычисления следующего выхода, где оно может вызвать дальнейшее переполнение и привести к нежелательным самоподдерживающимся осцилляциям. Подобные масиипабные граничные циклы переполнения трудно остановить после их возникновения, чтобы их прекратить, следует повторно инициализировать фильтр. Масштабное переполнение происходит на выходах сумматоров, и его можно предотвратить путем масштабирования входов сумматоров так, чтобы выходы были малыми, хотя такое решение возможно за счет снижения отношения сигнал-шум.
Таким образом, важно выбрать масштабные множители так, чтобы предотвратить переполнение и при этом сохранить наибольшее возможное отношение сигнал-шум. 13.4. Эффекты конечной разрядности в цифровых БИХ-фильтрах Рис. 133Б Хараатернстн кн нереполне на я в арифметике с до полнел нем до двух. Переполнение пронскоднт в моменты, когда вход выходит нз приемлемого диапазона (-1, 1) гг Рнс. 13,й. Иллнктрапня аффекта переполненна прн слоненка. Большие входы одного знака в сумматоре 1 приводит к тому, что значение в узле ю1п) сгановнтся слншком большем.
Поскольку ю(п) возвращается па обратной связи, эффект являетсл самоподдержнааюшнмся Глава 13. Анализ зффиктов конечной разрядности... 892 -ес в) Рис. )З.З. Приниипм масштабирования в ввенаак второго порядка: а) каноническое звено; б) реаяизапия в прямой форме ' 13:4,:б. -Принципы масштабирования 13.4.5.1. Каноническое звено Рассмотрим каноническое звено второго порядка (рис.
13.9, а). Масштабный множитель я, на входе фильтра выбирается так, чтобы предотвратить переполнение или снизить его вероятность на выходе левого сумматора. Чтобы поддержать общее усиление фильтра на предыдущем уровне, козффициенты числителя умножаются на в,.
Существует три распространенных метода определения подходящих масштабных множителей фильтра. В первом методе, который часто называют нормой Ьн масштабный множитель выбирается следующим образом: ос вс — — ~~к (Д/с) ), я о (13.12) где Г()с) — импульсная характеристика, связывающая вход системы с выходом первого сумматора, т.е. узлом сп(а).
Выбранный таким способом масштабный множитель я, гарантирует, что общее усиление фильтра от входа до узла ш(л) равно единице, поэтому переполнение в сп(л) невозможно. Для получения импульсной характеристики Г'(1с) можно вначале определить соответствующую передаточную функцию г"(я), а затем применить к ней обратное я-преобразование. 13.4. Эффекты конечной разрядности в цифровых БИХ-фильтрах 893 Во втором методе, часто называемом нормой Ьз, масштабный множитель з, определяется следующим образом: 1/2 ~~, ~ ~уз(й) (13.13) Нормировочный множитель Лз можно получить иначе, использовав контурный интегран г ()с) = — Р(з)Е(з ')— 2згз,/ в=о (!3.!4) где Г(з) — з-образ (результат применения з-преобразования) г'(!с), а у обозначает кон- турный интеграл по единичной окружности ф = 1.
Вычисляя норму Ез, получаем; 1 ~ 1 1 Нх 2яз,/ 1+ агз ' + азг з 1+ агя+ аззз з 1 1 — аз — аз(1 — аз)/(! + а,) (13.15) з1 = шах)Р (зс)), (13.16) где Р(зс) — максимальная амплитуда частотной характеристики между входом н узлом зс(л). В методе ! изначально предполагается, что вход ограничен, т.е. )х(н)( ( 1. Схема масштабирования такова, что вне зависимости от типа входа переполнения не будет. Это чересчур радикальная схема масштабирования, поскольку она учитывает маловероятные ситуации. Норма Х з соответствует наложению условий на энергию входного сигнала и передаточной функции.
Основным привлекательным отличием нормы Ьз является то, что анализ эффектов конечной разрядности требует оценки норм Ез (сравните, например, уравнение (13.8) и (13.14)). Кроме того, эта норма позволяет вывести ряд аналитических выражений для различных фильтрующих структур. Метод 3 гарантирует, что в фильтре не случится переполнения при подаче на его вход синусоидального сигнала, также этот фильтр предлагает наилучший компромисс.
Обычно, кстати, именно такую схему масштабирования и выбирают, поскольку она позволяет проверить экспериментально эффективность масштабирования с помощью сннусоидальных сигналов. Для компактного представления 1-го масштабного множителя используется запись Формула (13.!5) позволяет обойтись без вычисления бесконечной суммы (13.!3). На практике, впрочем, Д/с) имеет лишь конечное число значимых членов, и эту функцию легко вычислить с помощью подходящей программы анализа эффектов конечной разрядности. В методе 3 используется так называемая норма Ь и масштабный множитель определяется следующим образом: Глава 13.
Анализ зффектоа конечной разрядности .. 894 еаа Рис. 13.16. Блок-схема фильтра (лример 13.9) где символ !) . (! обозначает норму, а р = 1, 2, оо — тип нормы. Масштабные множители, полученные с использованием описанных трех методов, подчиняются следующему соотношению: Хг<Е (Бг.
13.4.5.2. Прямая структура Рассмотрим прямую структуру, изображенную на рис. 13.9, б. Поскольку фильтр имеет один накопитель, внутреннее переполнение проблемы не представляет, так что масштабирование входа не является обязательным. Этот момент — одно из привлекательных отличий прямой структуры. Промежуточное переполнение возможно иа выходе сумматора при вычислении у(л). Впрочем, зто несущественно, если гарантировать, что в конечном выходе переполнения не будет. Если масштабирование необходимо, масштабные множители можно упорядочить, как показано на рис. 13.9. Пример 13.10 Определите подходящий масштабный множитель, позволяющий предотвратить или снизить возможность переполнения в БИХ-фильтре нижних частот, который характеризуется следующей передаточной функцией: 1+2г '+з г 1 — 1, 0581359з-' + О, 338544г-г Решение Блок-схема фильтра, построенного на канонических звеньях второго порядка, показана на рис.
13.10. Используя программу анализа аффектов конечной разрядности (101 для расчета уравнений (13.12), (13.13) и (13.15), получим масштабные множители для трех методов: 1зхн эффвкгы конечной разрядности в цифровых вих-фильтрах Рис 11.11. Маештабиреваиие и каекакиеа реаиизации Бнхфипьтрг шееголг корешка ~1 а'2 бее зг 3,7112 1,7352 3,5663 Просто для иллюстрации вычислим также норму Ьз, используя уравнение (13.15): 1 — (О, 3385)з — (1, 058) з [(-О, 3385)/(1 + О, 3385)] = 1/0,3322 = 3,01, зг — — 1, 7350. ;,;,'. з3.4.6;,::.' Масштабирование при каскадной реализации На практике фильтры реализуются как каскадные или параллельные комбинации звеньев второго порядка.
На рис. 13.11 показана схема масппабирования каскадной реализации шестого порядка. Как и ранее, масштабные коэффициенты зг, г = 1, 2,3 выбираются так, чтобы предотвратить или минимизировать переполнение в звеньях фильтра в узлах, отмеченных нг,(л). Схема масштабирования для каждого звена второго порядка, по сути, не отличается от схемы, используемой в базовых фильтрах, рассмотренных выше. Масштабные коэффициенты находятся следующим образом: * = Пр'( )[[и где р обозначает тип нормы: р = 1, 2, со. Гг(з) — передаточная функция, связывающая вход фильтра с узлом цгг(п), которая записывается так; и н.() г'е(з) = ', 1= 1,2,3.
1+аз,з '+аз з з При каскадной реализации входные масштабные коэффициенты и,/зз обычно вносятся в числитель первого каскада, зз/зз — в числитель второго, и т.д. Следовательно, масштабные коэффициенты на рис. 13.11 можно переупорядочить так, как показано 999 Глава 13. Анализ эффектов конечной разрядности... О О Д3 1 1 1 а 1 и 1 -нз Ьэо ьа 1 ьи- 1 1 и 1 1- —— Рнс. 23Л2. Масштабирование в каскадной реализации Бнк.фильтра шестото порядка (масштабные коэффициенты внесены в числитель, те.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
