Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 152
Текст из файла (страница 152)
( ~ ', '.' '~.',4', -,Т - 1:-13 3. Шум )шзвйтованйя,АЦП й качество" сигнала','.; .',,':,'„"-".",. ';---' 1'"=':;~, --"„.".".:.'Р' 8г7 , ' 13.4, Эф4екты конечной разрядности в цифровых БЙХчрилььтрвх"-' .-;. ==='= ','-;:-': - '880 ' . '13.5. эффекты кбнечной разрядности слова в аллзрйтмах БпФ".1';: ': =;!';;=":.—::".823 Цель данной главы — изучить ошибки, которые возникают в практических системах ЦОС в результате квантования и использования для операций ЦОС арифметических устройств со словами конечной длины.
Обсуждается влияние данных ошибок на качество сигнала и методы борьбы с зтими ошибками. Понимание вопросов, освещенных в данной главе, должно помочь при разработке систем ЦОС с предсказуемой производительностью. Поскольку системы ЦОС с фиксированной запятой более распространены, в данной главе, в основном, рассматривается разработка именно таких систем. ~" 13.1; Вступлеиие В большинстве случаев системы ЦОС разрабатываются для реализации функции ЦОС, например фильтрации или БПФ, на цифровом процессоре. На практике для представления точных переменных и выполнения арифметических операций используется конечное число битов.
Типичными длинами слов в современных процессорах ЦОС является 16 бит (например, ТМ5320СС54), 24 бит (например, 1)5Р56300) и 32 бит (например, АРБР-21065). Поскольку слова конечной длины вызывают ошибки, влияюшие на производительность систем ЦОС, перед реализацией функции ЦОС разработчик 888 Глава 13. Анализ эффектов конечной разрядности .. должен определить степень такого ухудшения и при необходимости найти эффективное "лекарство". Ниже приводятся основные ошибки в ЦОС.
1. Ошибка квантования АЦП, вызванная представлением входных данных ограниченным числом битов. 2. Ошибка квантования коэффициентов, которая возникает при представлении коэффициентов или параметров ЦОС конечным числом битов. Коэффициенты аз и 6ы которые используются на этапе 2 разработки фильтра, например, обычно считаются с очень большой точностью, но в процессоре ЦОС они должны квантоваться (обычно до длины слова процессора). 3. Ошибки переполнения, к которым приводит сложение двух больших чисел одного знака, если в результате получается число, превышающее разрешенную длину слова.
4. Ошибки округления, которые возникают, когда результат умножения округляется (или усекается) до ближайшего дискретного значения или приемлемой длины слова. Влияние ошибок, возникающих при обработке сигнала, зависит от многих факторов, в том числе типа используемой арифметики, качества входного сигнала и типа реализованной функции или алгоритма ЦОС. Ниже для изучения влияния конечной разрядности на производительность системы ЦОС используются цифровые БИХ- фильтры, поскольку в них проявляются большинство проблем, которые могут встретиться на практике.
13.2. Арифметика' цтОС;-': В предыдуших главах было показано, что основными операциями в ЦОС являются умножение, сложение и задержка (сдвиг). Например, при цифровой КИХ-фильтрации коэффициенты Ь(Ь), (lс = О, 1,..., М вЂ” 1) и входные выборки з(п) (п = О, 1,...) умножаются, а полученные произведения суммируются: у(п) = ~ Ь(Ь)х(п — Ь) = Ь(0)х(п) + Ь(1)т(п — 1) +... + (13.1) в=о + Ь(Ф вЂ” 1)к(п — (М вЂ” 1)~.
На практике арифметические операции, входящие в ЦОС (подобные операции, приведенной выше), часто выполняются с использованием арифметики с плавающей или фиксированной запятой (см. [16)). Иногда используются арифметики и других типов, например, блочная арифметика с плавающей запятой, которая в чем-то обьединяет преимущества двух арифметик, названных выше. В ЦОС более распространена арифметика с фиксированной запятой, так как ей сопутствует быстрая и недорогая реализация, хотя диапазон представляемых чисел ограничен, а итоговая система подвержена проблемам переполнения, которое может произойти, когда результат сложения не входит в диапазон приемлемых чисел (например, масштабные предельные циклы в БИХ-фильтрах 13.2. Арифметика ЦОС и перегрузка в БПФ высоких порядков). Чтобы предотвратить выход результата арифметических операций из диапазона приемлемых значений, операнды масштабируются.
Подобное масштабирование снижает производительность систем ЦОС, т.е. уменьшает достижимое отношение сигнал-шум. Арифметика с плавающей запятой предпочтительнее, если амплитуды переменных или коэффициентов системы могут значительно изменяться [б]. Она допускает использование значительно более широкого динамического диапазона и практически снимает проблему переполнения. Более того, обработка с плавающей запятой упрощает программирование. Алгоритмы ЦОС, разработанные на больших машинах, например, на персональных компьютерах или мэйнфреймах, на языке высокого уровня, могут реализовываться прямо на аппаратуре ЦОС с незначительными изменениями основных алгоритмов. В то же время арифметика с плавающей запятой — это более дорогая и часто медленная реализация, хотя в последние годы широкое распространение начинают получать высокоскоростные цифровые процессоры сигналов со встроенным процессором с плавающей запятой (такие как Техаз 1пз1плпеп1з ТМЯ320СЗО).
Кроме того, в литературе (например, [18]) описаны эффективные программные процедуры, рассчитанные на действия с плавающей запятой. Отметим также, что за последнее время разница в цене и скорости между процессорами с плавающей и фиксированной запятой значительно сократилась. Методы ЦОС все активнее используются в приложениях, где требуются и широкий динамический диапазон, и высокая точность. Цифровые процессоры сигналов с фиксированной запятой, с длинными словами (24 бит и больше) могут удовлетворять таким требованиям, но гораздо естественнее и проще в таких случаях использовать обработку с плавающей запятой. Областей применения, в которых требуются широкий динамический диапазон и высокая точность, и где использование арифметики с плавающей запятой необходимо или желательно, множество.
В качестве примера можно привести параметрическое выравнивание в реальном времени цифровых аудиосигналов с использованием цифровых фильтров, где значения коэффициентов фильтра меняются при прохождении через полосу аудиочастот и подгонке параметров эквалайзера. В определенных задачах обработки сигналов (например, анавиз спектра в радаре или сонаре, сейсмология или биомедицина) часто требуется разрешать очень низкоуровневые компоненты сигнала с широким динамическим диапазоном. В подобных случаях требуется широкий динамический диапазон н высокаа точность. В число аналогичных областей применения входят обработка графическими станциями с высоким разрешением и универсальные инженерные вычисления, Необходимый максимальный динамический диапазон и требования к точности в нескольких приложениях сведены в табл.
13.1 [20]. Ключевой вывод из сказанного можно сформулировать следующим образом: тип используемой арифметики — это основной фактор, влияющий на производительность систем ЦОС. Основные концепции арифметик двух типов (т.е. с плавающей и фиксированной запятой) рассмотрены ниже. Глава 13. Анализ аффектов конечной разрядности .. 070 Таблица 13.1.
Динамический диапазон и требования к точности Динамический биеиазои (бит) Точоопиь (бив) 32 32 20 30 20 70 20 20 20 20 20 20 Подавление шума Обработка сигналов радаров Обрабопса изображений со студийным качеством Обработка изображений Медицинский спектральный анализ Обработка сейсмических данных ,: 132;1,:;.:,:. Арифметика с фиксированной запятой 13.2.1.1.
Представление е форме с фиксированной запятой В ЦОС переменные часто представляются как дробные числа в форме дополнения до двух с фиксированной зашпой; см., например, табл. 13.2. В таком представлении двоичная запятая находится справа от самого старшего бита, который одновременно является и битом знака. Каждое число принадлежит диапазону от — 1 до 1 — 2 (л з>, где  — число битов„используемых для представления числа. В ЦОС обычным является представление в так называемом формате О15, где используется 16 бит (1 бит знака и 15 бит дробной части): 0110 0000 0000 0000 ( двоичная запятая Положительные числа в форме дополнения до двух не отличаются от обычного двоичного представления (см.
табл. 13.2). Отрицательное число получается из положительного путем дополнения до двух всех его битов с последующим прибавлением 1 младшего разряда. Например, представление числа — 3/8 в форме дополнения до двух получается из 3/8 (т.е. 0011) так: 1100+ 0001 = 1101. Когда сигнал на вход системы ЦОС поступает с АЦП (аналого-цифрового преобразователя), данные, поступающие на цифровой процессор, могут представляться в двоичном формате со сдвигом. Подобным образом выход системы ЦОС может понадобиться преобразовать в такой формат, если он должен подаваться на ЦАП (цифроаналоговый преобразователь). Чтобы преобразовать двоичный формат со сдвигом в формат дополнения до двух, к числу в двоичном формате со сдвигом следует добавить старший бит.
Например, в табл. 13.2 двоичный юд со сдвигом 1111 (т.е. 7/8) легю превращается в юд дополнения до двух (0111) путем введения дополнительного старшего бита. На практике шины процессоров ЦОС часто шире, чем разрешение АЦП. В таком случае после преобразования в формат дополнения до двух оставшиеся слева позиции заполняет бит знака. Например, юд 111 1101 в формате дополнения до двух выппщит как 1111 1111 1111 1101. Если в представлении с дополнением до двух с фиксированной запятой каждое число представить В бит, то максимум можно представить 2в различных чисел, причем соседние числа будут разнесены приблизительно на 2 л. В связи с этим полезно определить точность, с которой можно представить любое число, по сравнению с десятичным представлением.
871 13.2. Арифметика ЦОС Таблица 13.2. Сравнение систем дополнения до двух н двоичной со сдвигом при длине слова 4 бнт Число Двсвьничнол дробь Донавивиис до двух Двоичнаа со сдаигон Таблица 13.3. Связь между числом битов н точностью а десятичных знаках Число биньов сочность /число двслсвичнььв цифр) Для данной десятичной дроби Х, состоящей из д цифр, точность равна ~0, 5 х 10 Если представить то же число с помощью В бит, точность будет равна х0,5 х 2 и.
Чтобы сохранить ту же точность представления, необходимо 0,5 х 10 в = 0,5 х 2 л, т.е.В = с11оба10 = З,Зс1бит. (13.2) Например, предположим, что десятичное число О, 23456 нужно представить в двоичной форме. Тогда для представления с прежней точностью потребуетса 3, 3 х 5 = 17 бит. В табл. 13.3 сведены основные соотношения между числом битов двоичной системы и их точностью в десятичных знаках. Прнмер 173,1'! Представьте десатичное число 0,95524 следующим образом, 1.
Как число в формате ЯЗ. 2. Как число в формате Я4. 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 5 — 6 — 7 -8 7 8 10 12 14 15 16 18 20 23 24 64 7/8 6/8 5/8 4/8 3/8 2/8 1/8 0 -1/8 -2/8 -3/8 -4/8 -5/8 — 6/8 -7/8 -1 0111 0110 0101 0100 0011 0010 0001 0000 1111 1110 1101 1100 1011 1010 1001 1000 2,1 2,4 3 3,6 4,2 4,5 4,8 5,4 6,1 7,0 7,3 19,4 1111 1110 1101 1100 1011 1010 1001 1000 0111 0110 0101 0100 0011 0010 0001 0000 В72 Сравните ошибки в двух случаях. 3.
Оцените число битов, требуемых для представления указанного десятичного числа с одинаковой точностью. Решение 1. Число в формате ОЗ вЂ” это число в форме дополнения до двух с одним бит знака и тремя бит дробной части. Чтобы преобразовать десятичное число в формат ОЗ, его нужно просто умножить на 2з, а полученное произведение округлить до ближайшего приемлемого числа: О, 95624 х 2т = 7,64992, что округляется до 7 = 0111 (наибольшее приемлемое число). 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
