Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 155
Текст из файла (страница 155)
13.4. Структуры рсалияаиии БИХ-фияьтроя бодыияя порядков Глава 13. Анализ эффектов конечной разрядности .. ° в какой последовательности соединить блоки второго порядка; ° как масштабировать уровни сигналов в различных точках суммарного фильтра, чтобы они согласовывались с разрешенной длиной слова. Как обсуждалось в главе 8, разбиение на пары и упорядочение звеньев фильтра тесно связано с эффектами конечной разрлдности. В зависимости от порядка фильтра допускается существование множества эквивалентных структур, образованных пере- упорядочением звеньев второго порядка, но с точки зрения ошибок конечной разрядности данные структуры не равнозначны.
Чтобы определить подходящую конфигурацию фильтра, можно, например, использовать программу анализа эффектов конечной разрядности из книги [10[. При параллельной реализации порядок соединения звеньев значения не имеет. ' 13.4.2.. Ошибки квантования коэффициентов БИХ-фильтр характеризуется следующим уравнением: М НЯ = 1+~ аьз ь ~":[Ь,],.— [Н[з)[ = к=О 1 + ~ [аз[тз где [аД, = аь + сьаз, '[Ьь]т — — Ьь + гзЬь,' Ьаь, 0Ьь — изменение коэффициентов аь и Ьь соответственно, о обозначает квантованную величину. Основное влияние квантования коэффициентов фильтра с использованием конечного числа битов проявляется в изменении положения полюсов и нулей НЯ на комплексной плоскости.
В узкополосных фильтрах, например, полюса расположены близко к единичной окружности, так что любое значительное изменение их положения может сделать фильтр неустойчивым. Чем меньше число битов, используемых для представления коэффициентов, тем большим будет изменение положения полюсов и нулей. Помимо потенциальной неустойчивости смещение положений полюсов и нулей также приводит к изменению частотной характеристики. Квантованный фильтр всегда следует проанализировать, чтобы убедиться, что используемой длины слова достаточно для обеспечения устойчивости и удовлетворительной частотной характеристики. Следовательно, на этом этапе разработчик должен определить число битов, требуемых для представления коэффициентов фильтра. 13.4.
Эффекты конечной разрядности в цифровых БИХ-фильтрах 888 "дГ~з($~~фф,(1:-' Паласовой цифровой фильтр планируется использовать для цифрового восстановления тактовой синхронизации в модеме 4,8 Кбит/с при частоте дискретизации 153,6 кГц. Фильтр характеризуется следующей передаточной функцией: О(з) = 1 1+ а,з ~ +азз з а, = -1,957558 и аз = 0,995913. Оцените влияние квантования коэффициентов до 8 бит на положение полюсов, а сле- довательно, центральную частоту.
рещение Вначале найдем положения всех полюсов неквантованного фильтра. Радиус г и угол 8 полюса (см. уравнение (13.10)) записываются как /О, 995913 = О, 99795, В = * ' ~ - П, 25'. / 1,957558! 2т Найденные величины соответствуют центральной частоте < 11,25'! — х 153, 6 х 10 = 4, 7999 крц. 360 ) Далее квантуем коэффициенты до 8 бит.
Поскольку один коэффициент больше единицы, выделим 1 бит для хранения бита знака, 1 бит для целой и б бит — для дробной части коэффициента. Таким образом, после квантования коэффициенты приобретают такие значения: аз = -1,957558 х 2з = -125 ве 10000100, аз = 0,995913 х 2 = 63 = 00111111. В дробной записи значения квантованных коэффициентов имеют такой вид: 125 63 64 ' ' 64 а = — — = — 1,953125' а = — = 0 984375. Новое положение полюса; г = О, 992156, д = 10, 171853'; центральная частота смеща- ется в положение /10,171853 т го = ~ ' ) х 153,6 х 10 = 4,3399 кГц.
Глава 13. Анализ эффектов конечной разрядности .. ввв ,';,(3 4.3:,;:",:: Требования к длинам коэффициентов с точки зрения устойчивости и желаемой частотной характеристики Далее обсуждение устойчивости будет касаться только звеньев второго порядка, являющихся основой любого фильтра.
Рассмотрим звено второго порядка, которое характеризуется следующими уравнениями: Ь=1 (1 3.9, а) (13.9, б) Каждое звено второго порядка может иметь полюса трех типов: комплексно-сопряженные, неравные действительные и равные действительные. Наиболее распространенный слу- чай — это комплексно-сопряженные полюса, которые появляются при аг < 4о,. В данном случае полюса расположены на окружности радиуса и с центром в начале ко- ординат с угловыми координатами Р, = гх'.д, Рг = гŠ— д, (13.10) где г=а' д=агссоа( — — ').
1/2 2т Небольшие изменения коэффициентов а1 и аг после квантования коэффициентов при- ведут к изменениям и и д. Чтобы обеспечить устойчивость, коэффициенты фильтра должны лежать внутри треугольника устойчивости (рис. 13.5), который ограничен сле- дующими линиями: 0<[аг[<1, [аг[ < 1+аг. Выполнение первого условия гарантирует, что полюса будут лежать внутри единичной окружности, поскольку радиус полюса определяется уравнением (13.10).
Из уравнений (13.10) и (13.11) находим, что для оценки числа битов, требуемых для поддержания устойчивости, можно получить несколько простых формул, которые, впрочем, применимы к ограниченному набору классов. Альтернативным способом оценки подходяших (!а+ 612 1+ 622 г 1+а,г '+ага ' 2 2 у(п) = ~ бьх(п — к) — ~~! азу(п — и). Полюса (или корни знаменателя) расположены в точках р, = -[-аг + (а — 4аг) ! [, 2 1 2 2 =-[ —,— (а — 4 ) ]. 1 г 1гг 2 1 (13.11, а) (13.11, б) 887 13.4, Эффекты конечной разрядности в цифровых БИХ-фильтрах Рве. 13.5.
Треугольннк усгоачнвоста, цокаэываюгцнй эначеннк коэффициентов фильтра ог н еэ, прн ююрык фильтр устоачвв длин коэффициентов является анализ отдельных блоков второго порядка при различных значениях длин коэффициентов (см. пример 13.9).
Числа битов, необходимых для обеспечения устойчивости, может быть недостаточно для получения приемлемой характеристики. Вообще, при представлении коэффициентов слишком малым числом битов меняется частотная характеристика в полосе пропускания и полосе подавления (см. рис. 13.6). Изменения в полосе пропускания вызваны в основном изменением положений полюсов, а изменения в полосе подавления— изменением положений нулей.
Для определения длины коэффициентов, обеспечивающей удовлетворительную частотную характеристику, обычно находится минимальная длина коэффициентов, при которой удовлетворяются требования в полосе подавления и пропускания. Хотя такой подход может быть вычислительно трудоемким, доступность персональных компьютеров и программ анализа эффектов конечной разрэщности позволяет относительно просто определить длину слова для данного фильтра (пример подобной программы приводится в книге [10)).
Альтернативный подход — использовать статистический метод, чтобы получить разумно точные оценки [21 Для представления коэффициентов можно использовать меньшее число битов, если для квантования коэффициентов применить метод оптимизации или увеличить порядок фильтра, не меняя остальные параметры. Таким образом можно использовать компромиссы между длиной коэффициентов и порядком фильтра [16]. Например, перед разработчиком может стоять задача использования существующего процессора или системы с предопределенной длиной слова. Если разработчик видит, что требуемая длина слова больше длины слова процессора, может быть удобнее повысить порядок фильтра для уменьшения требований к длине слова до уровня, который предписывает процессор.
Впрочем, использование фильтров больших порядков потребует больше вычислений, что может наложить определенные ограничения на скорость работы и сделать систему более уязвимой к шуму округления. Таким образом, все компромиссы следует рассматривать очень тщательно. Глава 13. Анализ эффектов конечной разрядности .. 888 -20 -ео д -80 -820 о 1ОиЮ ЮЕЮ ЗЫКЮ 40аОО ЮЮО 8ОООО Частота (Гц) Рнс.
13.6. Практическое вкнкнне квантовании коэффвцнентов на частотную харакюрнетнку; ° — неквантованные коэффнцненты; гз — коэффнцненты квантованы цо 5 бнт -"Йрнз3ер '33.9" Требуется цифровой фильтр, удовлетворяющий следующим спецификациям частотной характеристики: полоса пропускания 20,5-23,5 кГц„ полоса подавления 0-19, 25-50 кГц, неравномерносп, в полосе пропускания ( 0,25 дб, затухание в полосе подавления ) 45дБ, частота дискретизации 100 кГц. 1. Найдите подходящую передаточную функцию фильтра. 2. Определите подходящую длину коэффициентов, а) обеспечивающую устойчивость; б) удовлетворяющую спецификациям частотной характеристики.
3. Изобразите частотную характеристику неквантованного и характеристику кванто- ванных фильтров, полученных в п. 2. Решение 1. Используя программу разработки (книга 110), подробности см. в предисловии), находим, что требованиям удовлетворяет эллиптический фильтр со следующей передаточной функцией: хЧ(2) т!(2)нзЮЩ2) эе(2)~ ввв 13дь Эффекты конечной разрядности в цифровых БИХ-фильтрах 1 + 0 0339г-т + г-г 1 — 0,1743г ' + 0,9662з г' 1 — 0,7563г ' + г г 1 — 0,5588з т + 0,9675з г' 1 + 0,5331г ' + з г Вз(г) 1 — 0,2711з '+ 0,9028г г' 1 — 1,1489з '+ з г 1 — О, 4441я-' + О, 9045г-г 2, а, Коэффициенты знаменателя каждого звена второго порядка были проквантованы (округлены) до В бит (В = 2, 3,..., 29), включая бит знака. Затем для каждого значения В были вычислены квантованные коэффициенты и положения полюсов в полярных иэординатах.
Рассмотрим для иллюстрации первое звено второго порядка с передаточной функцией Н,(з). Для В = 8 бит коэффициенты знаменателя квантуются следующим образом: аг — — — (О, 1743 х 2т + О, 5) = — 22, 8104 = — 22, аг — — 0,9662 х 2 + 0,5 = 124,1736 = 124. В дробной записи коэффициенты имеют следующий вид: аг = -22/128 = -0,171875, аг = 124/128 = О 96875. Из уравнения (13.10) находим, что радиус и угол полюса звена при В = 8 бит равны г =,/О, 96875 = 0,9843, д = атосов ~ — — ) = вгссов(0, 087308) = 84, 99 . / ь,з 2г) Все квантованные коэффициенты и полярные координаты вычислены с использованием программы анализа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
