Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов, практический подход (2-е изд., 2004) (1095888), страница 158
Текст из файла (страница 158)
Отметим также, что использование масштабного множителя увеличивает выходной шум. .'$1РУ(й!фЗ'$31 Фильтр характеризуется следующей передаточной функцией: 0,1436+0,2872г '+0,1436г г 1 — 1,8353г-т + 0,9747г з Фильтр нужно реализовать в 8-битовой системе со входом х(п), выходом р(п) и вээффициентами фильтра, представленными 8-битовыми дробными величинами с фиксированной запятой в арифметике с дополнением до двух.
Предполагается, что для реализации фильтра используется каноническое звено второго порядка, и что каждое произведение (представленное 16 бит) квангуется до 8 бит непосредственно после умножения. 1, а. Июбразите диаграмму реализации с указанными источниками ошибок округления и определите подходящий масштабный множитель системы.
1, б. Оцените общую входную мощность шума в холостом состоянии и ухудшение выходного отношения сигнал-шум (в децибелах), вызванное ошибками округления. 2. Повторите п. ! при условии, что для реализации фильтра используется прямая форма. Решение 1, а. Диаграмма реализации системы с указанными источниками шума приведена на рис. 13,!7, б. Источник шума ет представляет сумму ошибок, вызванных округлением (или усечением) произведений а,та(п — 1), акта(п — 2) и х(п)/зз с !б до 8 бит. Источник шума е, представляет сумму трех 16-битовых входов правого сумматора, квантованную до 8 бит. С помощью программы анализа эффектов конечной длины слова были получены следуютцие масштабные множители: зт — 133,89966 (норма Е,), з, = 12, 1395 (норма Ц) и зт — — 102,088 (норма Е ).
1, б. Для определения выходной мощности шума, порожденной ошибками округления, использовалась программа анализа эффектов конечной разрядности (за основу взята формула (13.23)): а~ =1668,039~, Глава 13. Анализ эффектов конечной разрядности... где предполагается использование нормы 1 г. Из уравнения (13.8) выходной шум„порожденный АЦП, равен 3, 7724сг. Следовательно, общая мощность выходного шума равна: сг' = (1668, 03 + 3, 7724)д~ = 1671 80249г Выходная мощность сигнала (на входе предполагается случайный сигнал) равна пг = — ~~Н(г)11' = 15 0896 Отношение сигнал-шум (без ошибок округления) равно: 15, 0896 4 3, 7724дг 9г Отношение снгнал-шум (с ошибкой округления) равно: 15, 0896 9, 0260 х 10-з 1671 80249г дг Ухудшение отношения сигнал-шум вследствие ошибки округления равно: 4/9 2.
При реализации в прямой форме общая выходная мощность шума, порожденного ошибкой округления, равна 9048,82сг. Ухудшение отношения сигнал-шум вследствие ошибки округления составляет 33, 8 дБ при масштабировании с нормой Ьг. Без масштабирования ухудшение отношения сигнал-шум составляет порядка 1, 11 дБ. Таюе небольшое снижение отношения сигнал-шум при отсутствии масштабирования обьясняет, почему в неюторых приложениях прямая реализация выгоднее — она позволяет избежать масштабирования (5). ,...; ф;4';113 Шум округления е каскадных и параллельных реализациях 13.4.11.1. Каскадная структура На рис.
13.18 показана каскадная реализация БИХ-фильтра шестого порядка с использованием канонических звеньев второго порядка, где для простоты источники шума„выход с юторых поступает в одну точку, объединены (см. выше) и перенумерованы. Так, е, — зто сумма трех источников шума, поступающего с трех умножителей на крайний слева сумматор. Шум составного источника ег проходит через три звена фильтра Нг(г), Нг(г) и Нз(г). Шум составного источника ег вносит вклад в две передаточные функции Нг(г) и Нз(г), и т.д. 13.4.
аффекты конечной разрядности в цифровых БИХ-фильтрах 905 Рис. 13.1а. Шумовак модель каскадной реализации БИХ.фильтра шестого порядка Обгций выходной шум, возникший вследствие ошибок округления, представляет собой сумму шести источниюв шума: 3 л 3дл 2дл 3дл е.', = — '~.У'®+ — '~.У'(й)+ — '~:©й)+ — '~Д(1)+ а=о к=о л=а е=о 3чл + ~~~.гк( ) + 12 л- 2 се ес = — 3~ ул(й)+б~ ул'(~)+3~у'(й)+3 л=о к=о л=о ,л = — (ЗйГз(д)))~л + 5!)Гл(л) ~)~ ~+ 5((Рз (л) ()~~ + 3], (13.2б) где Л(рс) — импульсная характеристика, связывающая источник шума ес и выход. Шу- мовые компоненты, порожденные источниками е, и ез (рис.
13.18), проходят через одни звеньа фильтра, т.е. множатся на передаточные функции Нл(д) и Нл(д), поэтому их выходы объединены. То же относится и к шумовым компонентам ее и ез. 13.4.11.2. Параллельная структура На рис. 13.19 представлена модель шума округления для параллельной реализации фильтра шестого порядка. Как и ранее, источники шума, возникающего при квантовании отдельных произведений, обьединены. Выходы источниюв шума е„ел и ел проходят через фильтрующее звено и подаются на выход, тогда как выход остальных источниюв шума поступает непосредственно на выход фильтра. Вклад источников ез, ел и ел в выходной шум записывается следующим образом: Глава 13.
Анализ эффектов конечной разрядке Рнс. 13.1рк Шумовая модель васмщиой реалвтацвв БИХ-фильтра пмьлоео порядка тзмь Эффекгы конечной разрядности а цифровых БИХ-фильтрах (!3.27) = — „,' Е й,'(й) = — „.,'ИНг(.) С а=а где Н,(г) и !з,(!с) — передаточная функция г-го звена и соответствующая импульсная характеристика. гг(г) и Д(!с) — передаточная функция г-го источника шума и соответствующая импульсная характеристика. Выход источников шума е„! = 4,5,6,7 передается непосредственно на выход.
Следовательно„общая шумовая мощность записывается так: — — [7 ~зг [, ~ чо)])= г з — 7+ 3 ) [в~ОН,(г))ф з=! (13.28) Вообще, при параллельной реализации с Ь звеньями выходная мощность шума, порож- денного ошибкой округления, записывается следующим образом: г з ~о„= — 2Ь+ 1+ 3~~! зг((Н!(г)))~~ з=! (13.29) Используя простую компьютерную программу (например, описанную ранее програм- му анализа эффектов конечной разрядности), можно легко вычислить мощность шума округления на основе приведенных выше соотношений. Пример 13.14 а) как каскад двух звеньев второю порядка, упорядоченных так, как следует из функции Н(г); б) как параллельная комбинация двух звеньев второго порядка. 1 — 2г '+г г 1 — 0707г '+г ' Н(г)— 1+ О 777г гО 3434г-г 1+ 0 01877г ' + 0 801г г О, 093226. Решение Модели шума для каскадной и параляельной структур идентичны представленным на рис.
13.18 и 13.19 соответственно, если на рисунках отбросить третий каскад. Используя приведенную передаточную функцию БИХ-финьтра четвертого пор!щка (12), определите снижение отношения сигнал-шум (в децибелах), если фильтр реализован: 908 Глава 13. Анализ аффектов конечной разрядности,. 1. При каскадной реализации масштабные множители Ь, равны з~ = 2,395746, зз = 15,703627. Мощность шума округления, мощность шума АЦП и мощность сигнала на выходе фильтра равны оз = 345,03919з пзд — — О, 039769~, пз = 0,15919~, Отношение сигнал-шум без ошибки округления равно О, 1591 О,О3979з' а отношение сигнал-шум с ошибкой округления— О, 1591 345, 0789 Снижение отношения сигнал-шум вследствие ошибки округления равно 101д(345, 0789/О, 03976) = 39, 4 дБ.
2. Используя для параллельной реализации разложение на простые дроби (12), получаем — 5,162+0,7867з ' 1,65736+0,2759з ' 1 + О, 777з ' + О, 3434 з 1 + О, 01877з " + О, 801з-з Мощность шума округления на выходе фильтра выражается так: з ( з ~а 5+ 3~ з~ЦН,(з)Цз в=1 Используя программу анализа эффектов конечной длины слова, получаем масштабные множители (норма Ьз) зз — — 2, 395746, зз —— 5,450612, 11Н~(з)11зз = (7, 378492)з, 11Нз(з)11~ з= (2, 801937)'.
Следовательно, о~ = — (5+ 3((2,395746) (7,378492)з + (5 450612) (2 801937) 1) = = 136, 859'. Таким образом, если выходной сигнал и шум АЦП те же, что и в предыдущем случае, на выходе фильтра получаем такое отношение сигнал-шум с ошибкой округления: О, 1591/(136, 85 + О, 03976)9з = 1, 16228 х 10 з19з 13д. Эффекты конечной разрядности в цифровых ВИХ-фильтрах пьз "аз Рнс 1Зда.
Мсделн шума дла звеньев БИХ-фнаьтров в современной системе ЦОС. Показаны длины слов в различных точках фильтра. Предполатаетсл, что входные данные н козффнцненты имеют размер по В бнт Снижение отношения сигнал-шум, вызванное ошибкой округления, равно 1018 ~(136,85+ 0,03976)/0,03976] = 35,37 дБ. Ф3.41Ё Влияние шума округления произведения в современных системах ЦОС Ранние работы по влиянию ошибок округления произведения на производительность фильтра основывались на единой, фиксированной внутренней длине слова и преимущественно налитое 2В-битовое произведение (строго говоря, (2 — 1)-битовое) перед суммированием квантовалось до прежних В бит.
В современных процессорах ЦОС подобных условий нет, поскольку процессоры поддерживают накопление в регистрах двойной длины. Все современные процессоры ЦОС имеют по крайней мере встроенный умножитель 16 х 16 бит и 32-битовый регистр произведений и позволяют накапливать произведения как 32-битовые числа — используется так называемая !бl32-битовая архитектура. На рис. 13.20, а показана модель шума для звена второго порядка, реализованного в прямой форме, где квантование выполняется после сложения произведений.
На данном рисунке 2В-битовая сумма произведений у'(зз) квантуегся до В бит. Чтобы отличить данную схему от метода с отдельным квантованием каждого произведения, будем называть ее квантованием после накопления (роз1-ассов)айоп фзапйгабоп). Очевидно, что в данном случае после квантования остается только один источник шума, и выходная мощность шума записывается как (13.30) 919 Глава 13. Анализ з(зфектоа конечной разрядности...
где Р(г) = 1 1+а12 '+агг 2 При использовании канонических звеньев второго порядка (рис. 13.20, б) выходной шум, вызванный источниками шума, равен (13.31) Очевидно, что округление после накопления произведений (формулы (13.30) и (13.31)) приводит к значительному снижению шума округления по сравнению с округлением после каждого умножения. -') 13,4',$3,'т Схемы снижения шума округления На практике округление или усечение в неюторой точке внутри фильтра необходимо, чтобы приспособить его к умножителям, ячейкам памяти и интерфейсам по фактору длины слова. Ошибки округления произведений, вызванные округлением или усечением произведений, могут привести к заметному искажению выхода фильтра с малыми сигналами, и при создании систем высокой точности их следует минимизировать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
