Бесекерский В.А., Елисеев А.А., Небылов А.В. и др. Радиоавтоматика. Под ред. В.А.Бесекерского (1985) (1095884), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Наиболее простые выкладки получаются при в=О. Если значения выходной величины в тактовых точках г=пТ не позволяют достаточно хорошо представить непрерывную функцию, описывающую реальный сигнал на выходе системы, то вычисления повторяют прн в= 0,5 или других дробных значениях относительного смещения. Получив дискретные отсчеты у 1п, е) в достаточно большом числе точек и соединив их на графике плавной линией, можно построить кривую переходного процесса с необходимой точностью. Переходный процесс можно построить и без нахождения г-преобразования выходного воздействия путем непосредственного решения разностного уравнения, описывающего систему и взаимно однозначно связанного с дискретной передаточной функцией Н(г, з). Рассмотрим его запись (7.1), произведенную при з=-О.
Аналитическое решение такого неоднородного разностного уравнения состоит из переходной и вынужденной составляющих выходной величины: у [п~ = у„„[п~+ у, [п]. Переходная составляющая является общим решением однородного разностного уравнения, полученного приравниванием нулю правой части неоднородного уравнения. По аналогии с общим решением дифференциального уравнения ее записывают в виде у„,р[п~= А,г,"+А,г", +... +А,г,'. (7. 42) Здесь гф=1, 2, [..., 1) — корни характеристического уравнения 1 .
1- )р' (г) = О, (7.43) левая часть которого — знаменатель дискретной передаточной функции замкнутой системы (7.39); А; — постоянные, определяемые из начальных условий. Однако на практике более удобно численное решение разностного уравнения, основанное на его записи в виде рекуррентного соотно- 212 шения у [п] = (Ь,а [п~ + Ь,й [и†11 + ... + Ь„д'[и — гп)— — а,у [п — Ц вЂ”...
— агу [п — 1) ) аз '. (7.44) Формула (7.44) позволяет вычислить каждое последующее значение переходного процесса по его предыдущим значениям и значениям входного воздействия. Она хорошо машинизируется и используется при решении разностных уравнений на ЦВМ. Пусть, например, вход- ное воздействие — единичная ступенчатая решетчатая функция ( ! при п>0, ~[~1= И=~ а начальные условия нулевые, т.
е. у [ — [1=-у [ — [(-11 =...=у [ — 11= =О. Тогда значения переходного процесса составят р [01 = Ь„а. ', у [[] = (Ь, [- Ь, — а,у [0)) а, ' = (Ь, + Ь, — Ь,а,а, ') а, ', у [2) = (Ь, [- Ь, + Ь, — аьа [ 1) — а,у [0)) а, ' = (Ь, + Ь, + Ь, — Ь,а,а, '— — Ь,а,а,' — Ь,а',а,' — Ь,ааа;") а,' и т. д. Аналогично производится численное решение при ечьО. Пример 7.2. Построим переходную характеристику замкнутой импульсной системы, рассмотренной в примере 7.1, при следу!ощих значениях параметров: Т=01 с, 7=-01, ля=100 с, Т„=О 2с. Тогда К=?Тли=1, й=ехр( — Т?Т О=ОЯ07. г[ля дискретной передаточной функции замкнутой системы запишем выиражение ?? (г, е)— (р'(г, з) Кг[г — и' — г[е(г — 1)! Ье+Ьхг !+ Иг(г) (г — 1) (г — сО+К(! — г[) г ' !+ага-т+агг-' ' где Ьа = К (1 — л' ); Ь, = К (Лз — и); о, = К в Кй — 1 — о; аз = о.
Переход от дискретной передаточной функции к соответствующему разносткому уравнению даст у [л, з) =Ьел [л[+Ьыт [и — 1) — аы?1л — 1, е[ — азу[я — 2, е[. При построении переходной характеристнки следует принять л [л[=1 [л[. Полученная рекуррентная формула позволяет легко вычислить последовательные значения смещенной решетчатой функции у[а, е] при п=О, 1, ... на универсальной ЦВМ или с помощью микрокалькулятора. Относительное смещение можно взять произвольным из интервала 0(е < 1. ПРи з=0, когда Ьр —— О, Ь,=0393, аг= — 1,214, ох=0807, найденные в Результате вычислений значения переходного процесса у (1) в тактовых точках ! =-пТ показаны на рис.
7.8 светлыми кругкками. Поскольку провести кривую у (1) лишь по этим лискретным значениям затруднительно, повторим вычисления при з=0,5. Тогда значения коэффициентов Ьз и Ь, изменятся и составят Ьз=0,221, Ь,=-О,!?2. Найденные в результате вычйслений значения переходного пропесса в моменты времени 1=(л+0,5) Т показаны на рис. 7.8 темными кружками. Соединив плавной линией точки, помеченные светлыми и темными кружками, получим кривую переходного процесса д(1), являющуюся переходной характеристикой импульсной системы.
Заметим, что ее не следует путать с решетчатой переходной характеристикой импульсного фильтра, определенной лишь в дискретные моменты врсмени. Устойчивость импульсных систем. Импульсная система устойчива, если переходный процесс в ней затухает с течением времени и переход ая составляющая выходной величины, выражающаяся форму- 213 лой (7А2), удовлетворяет условию 1!ш а„,и(л1 = О, (7.45) Л О Из (7.45) и (7А2) ясно, что для устойчивости линейной импульсной системы должно выполняться условие )г,((1 (1=1, 2, ..., 1), (7.46) т.
е. все корни характеристического уравнения 1+%'(г)= 0 должны лежать внутри области устойчивости, имеющей вид круга единичного у(б 7.7 7,В йо о од огдуод ВВОО оудОДО Хо Гг Рис. 7.8 Рис. 7.9 214 радиуса на комплексной плоскости г. Она показана на рнс. 7.9, а. Например, система с характеристическим уравнением первого порядка г+А= О будет устойчива при 1А! ( 1. Прн характеристическом уравнении более высокого порядка непосредственное использовавие условия (7.46) затруднительно.
Однако исследование устойчивости существенно упрощается, если перейти к га-преобразованию, описываемому соотношениями (7.12) — (7.14). Учитывая, что г =ел'г=-соз вТ+(з(п сиТ, каждой точке окружности единичного радиуса в плоскости г с определенными координатами соз иТ и 1 з)п сиТ по вещественной и мнимой осям соответствует некоторая частота си нз интервала от нуля до 2л7Т. Однако поскольку в =1 !д сиТ72, прн изменении ы в указанном интервале изображающая точка в плоскости щ движется по мнимой оси от нуля до )сс и далее от — 1со к нулю, т. е. проходит вдоль всей мнимой оси. Поэтому окружность единичного радиуса, являющаяся границей области устойчивости в плоскости г, при переходе к н1-преобразованию отображается в мнимую ось плоскости ю. Область устончивости в плоскости ю лежит слева от мнимой оси, как показано на рис.
7.9, б, и совпадает по форме с областью устойчивости непрерывных систем, которая, напомним, лежит слева от мнимой оси плоскости р. Зто делает правомерным использование прн исследовании устойчивости импульсных систем всех критериев устойчивости, разработанных применительно к непрерывным системам. Необходимо лишь перейти от переменной г к переменной 1а нли, при использовании частотных критериев устойчивости, к псевдочастоте. Пусть, например, система имеет характеристическое уравнение второго порядка з'+ Лг+В=-О. (7.47) Посредством подстановки (7.13) оно преобразуется к виду (1 — Л+В) пзз — 2 (1 — В) го+ 1+ Л+ В = О. Теперь можно воспользоваться алгебраическим критерием устойчивости.
Как следует из критерия Гурвица (см. 2 2.2), необходимым и достаточным условием устойчивости системы второго порядка является положительность коэффициентов ее характеристическогоуравнения. Поэтому система с характеристическим уравнением (7.47) будет устойчива лишь при выполнении неравенств 1 — Л-(-В) О, В<1, 1+Л+В>0.) (7 АЗ) Пример 7.З.
г!айдем условие устойчивости для системы, рассмотренной в при- мере 7.1. Она имеет характеристическое уравнение !+ к(' — ")' о (а — !) (з — г!) нли а +(К вЂ” ! — л — Кп) а-( л=б. Это уравнение совпадает с (7.47) при А=К вЂ” 1 — д — Кп', В=-ж Поэтому с использованиел~ ы-преобразования моэкпо получить условие устойчивости в виде неравенств (7.48). Учитывая, что с)=ехр ( — Т,'Т„) < 1, только первое нз этих неравенств налагает суптественпое ограничение на параметры системы. Оно дает условие устойчивости 2 (1 ' гй Т К < — ' -=-2с(Ь вЂ”, 1 К 27п.
Пример 7.4. Пусть дискретная передаточная функция разомкнутого контура импульсной системы имеет вид йг (г)= К,ТЦз — 1). 215 Оценка качества управления. Показатели запаса устойчивости, быстродействия и точности импульсной системы, характеризующие качество ее работы, могут быть определены в результате построения кривой переходного процесса, а также посредством различных критериев качества. При оценке запаса устойчивости особенно удобны частотные критерии. Например, склонность системы к колебаниям в переходном процессе .можно оценить по значению показателя колебательности М, введенного в 2 2.3 как высота наибольшего пика нормированной АЧХ замкнутой системы.
Как и в случае непрерывных систем, получение заданного показателя колебательности сводится к выполнению тре,бования, чтобы АФХ разомкнутой системы не заходила в запретную область, окружающую точку ( — 1, !О) в соответствии с рис. 2.12. Крайняя правая точка этой запретной области лежит на расстоянии М!(М+1) от оси ординат. При этом безразлично, построена ли АФХ в функции частоты ы или псевдочастоты ). Выясним, как влияет величина Кд на показатель колебательности замкнутой системы М. Для етого, выполнив подстановку г=егаг, перейдем к частотной передаточной функции ( !юг) Кдт КдТ соз аТ вЂ” 1+1з!п аТ, аТ .
аТ аТ вЂ” 2 з!пд — + 12 зги — соз— 2 ' 2 2 К,т 1 .т . т1 К,т .Кдт т аТ 1 2 ~з!и +!сов ) = — — — — ! — с!Я вЂ” --' ду-д" 1у. 2 ) 2 2 2 2щп— 2 В координатах Гт=не йт и )д =!го йт АФХ будет представлять собой вертикальную прямую линию, проходящую на расстоянии К,Т12 слева от оси ординат. Она показана на рис. 7.10. Там дке штриховкой выделена запретная область во условию получения заданного показателя колебательности Л!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
