Бесекерский В.А., Елисеев А.А., Небылов А.В. и др. Радиоавтоматика. Под ред. В.А.Бесекерского (1985) (1095884), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Преимущество раздельного синтеза дискриминатора и фильтра состоит в большей простоте и в возможности использования схем дискриминаторов, полученных эвристическими методами. Вместе с тем следует иметь в виду, что если требуется обеспе- чить теоретически предельно высокое качество системы, т. е. провести оптимальный синтез по определенному критерию, то такой синтез в общем случае должен быть выполнен по отношению ко всей системе в целом. Подобные задачи составляют предмет исследования теории оптимальной нелинейной фильтрации дискретных процессов, которая находится сейчас в стадии развития. Однако в характерном для практики случае сравнительно медленного изменения задающего воздействия раздельный синтез не приводит к потерям в качестве управления, что делает правомерным его использование.
Если считать, что дискриминатор и исполнительное устройство заданы, то синтез цифровой системы сводится к синтезу цифрового фильтра, т. е. выбору дискретной передаточной функции 0 (г), периода дискретности, количества двоичных разрядов в АЦП и ЦАП и цен единиц младших разрядов этих преобразователей.
Поскольку цифровой фильтр фактически выполняет в системе функции последовательного корректирующего устройства, его дискретная передаточная функция должна удовлетворять условию (7.70) '->(а) )н ж (з)/(Рнч (а)~ где %' (г) — желаемая дискретная передаточная функция разомкнутого контура системы; )р'„„(г) — дискретная передаточная функция неизменяемой части, кбторую в соответствии со структурной схемой на рис. 7,13 можно определить как (г нч (з) = йнбр бнй"ч (з). При выборе желаемой дискретной передаточной функции )Р'„(г) или однозначно связанной с ней частотной передаточной функции Г* ()1 ) применимы те >ке подходы, что и в непрерывных системах.
Однако здесь подразумевается, что показатели точности, запаса устойчивости и быстродействия характеризуют закономерности изменения управляемой величины как решетчатой, а не непрерывной функции времени. Возможно использование оптимальных дискретных фильтров Винера или Калмана [2, 16). Весьма широко используется метод логарифмических частотных характеристик, согласно которому сначала с учетом требований по точности и быстродействию выбирают низкочастотный участок ЛАХ й* (Х)=20 1й()Р,*,(1))й Затем с учетом требований по запасу устойчивости формируют ее среднечастотный участок таким образом, чтобы вблизи частоты среза был достаточно протяженный отрезок ЛАХ с наклоном — 20 дВ1дек.
Если ЛАХ неизменяемой части системы в области низких псевдо- частот может быть приведена к приемлемому виду простым перемещением вдоль оси ординат, т. е. изменением добротности, то коррекция сводится к демг>фированию системы для получения требуемого запаса устойчивости. Методы демпфирования с подавлением высоких и средних псевдочастот и с поднятием высоких псевдочастот иллюстрируются рис. 7.14, а, б, в соответственно, где желаемые ЛАХ показаны пунктиром, а ЛАХ неизменяемой части — сплошной линией. 226 Часто при нахождении дискретной передаточной функции цифрового фильтра за основу принимают передаточную функцию аз(р) его непрерывного прототипа, которьш привел бы передаточную функцию разомкнутого контура системы к желаемому виду.
Считается, что чем ближе динамические свойства цифрового фильтра и идеального непрерывного фильтра-прототипа, тем выше качество цифровой системы. Однако полная эквивалентность цифрового и непрерывного фильт- а) Рис. 7Л4 ров невозможна хотя бы потому, что выходной сигнал непрерывного фильтра в общем случае — сранительно гладкая непрерывная функция, а выходной сигнал цифрового фильтра с экстраполятором нулевого порядка — ступенчатая функция, скачкообразно изменяющаяся в тактовых точках, Поэтому близость динамических свойств цифрового и непрерывного фильтров можно понимать несколько по-разному, рассматривая, например, временные или частотные характеристики этих фильтров (9!.
Один из наиболее простых подходов состоит в том, что ставится требование хорошего совпадения АЧХ и ФЧХ цифрового и непрерывного фильтров на низких частотах 0(ы(ьэ„р. Граничную частоту со,р выбирают так, чтобы на рассматриваемом отрезке низких частот была сосредоточена основная часть мощности в спектре задающего воздействия. Если период дискретности достаточно мал и выполняется условие в <~ЫТ, то для нахождения частотной передаточной функции цифрового фильтра достаточно заменить в частотной передаточной функции непрерывного фильтра-прототипа частоту ы на псевдочастоту 7, и учесть коэффициенты передачи линеаризованных АЦП и ЦАП.
Это дает формулу (7*(!Х) =б„б Ю'ь(/ы)! =м (7. 71) Перейдя в (7.71) к переменной г по формулам (7.!2) и (7.14), получим выражение для дискретной передаточной функции цифрового управляющего фильтра (7. 72) Заметим, что цифровой фильтр может быть реализован в виде устойчивого алгоритма вычислений, удовлетворяющего условию грубости [31, только в случае, когда степень числителя дробно-рациональной частотной передаточной функции Р*(!)) не превышает степени ее знаменателя и, следовательно, найденная по формуле (7.72) дискретная передаточная функция ь'(г) не содержит в знаменателе свободных множителей г+1. Пример 7.7.
Найдем дискретную передаточную функцию цифрового управляющего фильтра н алгоритм работы реализующего его цифрового вычислителя, если непрерывный фильтр-прототнп является интегрирующим звеном с передаточной функцией йгз (р) =йф!р. В соответствии с формулой (7.72) получим ййтб, г+! Ьт г+г 0 (г) — -- —— 2Ь, г — ! 2 ! — г-г' где й=йьбтба т. Так как дискретная передаточная функция связывает г-преобразования входного и выходного сигналов цифрового фильтра Х (г) и Хт (г) уравнением Хт (г) = = 0 (г) Х(г), то прн переходе к оригиналам получим рекуррентное соотношение 'лт х, [и) = — — (г [п)+х [и — !1)+г, [и — )1, 2 известное в вычнслшельной математике как формула трапеций для дискретного нитегрировавия.
Приведенный пример поясняет смысл метода синтеза цифровых фильтров, основанного на замене частоты псевдочастотой и часто называемого методом билинейного преобразования. Он состоит в том, что непрерывные интегрирующие звенья, входящие в фильтр-прототип, заменяются дискретными интеграторами, работающими по формуле трапеций. Выбор периода дискретности. При выборе периода дискретности Т приходится находить компромиссное решение с учетом двух противоречивых требований.
Во-первых, чрезмерное уменьшение периода дискретности при определенном быстродействии цифрового вычислителя ограничивает допустимую сложность алгоритма вычислений, которые производятся в реальном масштабе времени и на каждом такте должны быть выполнены за время, не превышающее значения Т. Вовторых, увеличение пер иода дискретности также нежелательно, поскол ьку это приводит к возрастанию информационных потерь при квантовании непрерывного сигнала рассогласования и в конечном счете ухудшает качество управления.
Последнее обстоятельство связано с периодичностью частотных характеристик цифровых фильтров, вследствие которой удается придать им желаемую форму лишь на частотах сосфяуТ. Это приводит к нежелательным динамическим искажениям обрабатываемого сигнала, а также к увеличению составляющей ошибки от возмущающего воздействия. Рассмотрим сначала влияние периода дискретности на качество обработки полезного сигнала рассогласования. Если нахождение дискретной передаточной функции цифрового фильтра проведено по непрерывному прототипу с использованием формул (7.71) и (7.72), то абсолютная погрешность реализации его желаемой АЧХ Аф(ю)=[([тф((ю)[ на граничной частоте ю„, составит ЬА (аггр) = Аь (ю, ) — Ае '[Х (отг )1, (7.73) где Х(ю„,)=-2Т т[д а„вТ(2.
Считая функцию Аф(ю) дифференцируемой в окрестности точки ю,в, перепишем (7.73) в виде произведения производной функции 228 Аф(оэ) на приращение ее аргумента: АА (оэгр) — афо ~ [оэгр — Л (оэгр)1. (7.74) Пусть требуется обеспечить настолько близкие к желаемым динамические свойства управляющего фильтра, чтобы относительная погрешность реализации АЧХ не превышала малой величины а, т. е.
(АА(оэ„р))!Ае(оэ„р)-..а. Тогда из (7.74) получим требование 1гогр — Л(оэ„)1(аА, (согр)(1!(Ао(оэ)(г(гэ1„„) '. (7.75) Введем обозначения оэгр — — оэТ/2, гэ (оэ) =1! — 1и гоэоэ1, с учетом которых левую часть (7.75) запишем в виде 1оэгр Л(оэгр)1=оэгр~ ! 7 !К 2 ~ =оэггг ~ (оэгр). оэгр Это позволяет получить нз (7.75) неравенотво аАо(мгр) (~НАо(м) ~ ) гр (7. 76) Значения функции гг(оэ), вычисленные по формуле (7.76), даны в табл. 7.2.
Таблоча 72 0,15 0,40 0,05 0,10 0,20 0,30 Р (оэг ) 7 о9.10-3 3 35,!Π— а 8,34 !О 0,057 0,0135 0,02!4 0,0311 оэгр 0,60 0,90 1,00 0,80 1,00 0,0926 0,203 ~ Мр) 0,140 0,287 0,400 0,786 0,557 Т:- =2 Ьргм; (7.77) 229 Формула (7.76) и табл. 7.2 позволяют обоснованно выдвинуть требование к периоду дискретности Т исходя из заданной АЧХ непрерывного прототипа цифрового фильтра Ае(оэ) и величин граничной частоты в спектре задающего воздействия оэ„и относительной погрешности реализации АЧХ а.
Для этого следует вйчислить правую часть неравенства (7.76), найти по табл. 7.2 требуемое значение а,р и, наконец, определить максимальное допустимое значение периода дискретности по формуле Я,(0)- 1 Я„( — )-Я„(0) 1-~-, „,,). (7.7ч Так как даже при 1=-! знаменатель выражения под знаком суммы в (7.78) существенно превышает единицу, то справедлива приближенная формула Б,(0) Я„~О)(1.~ — ", ъ —,)-5„(О) (1.|-~) . (77ч 1=! Здесь использована сумма бесконечного ряда ~г ~1 '=и'!б.
с=~ Учитывая, что 5„„(0)==20,~'р, формула (7.78) вполне согласуется с (7.51). Различие в множителе Т объясняется тем, что (7.51) выражает спектральную плотность решетчатого случайного процесса, а (7.79)— эквивалентного непрерывного процесса. Таким о5разом, эффект квантования непрерывного сигнала рассогласования во времени приводит к увеличению уровня спектральной плотности эквивалентного непрерывного возмущающего воздействия на относительную величину з. (о) — з„„(о) р т~ 5,,„10) 12 (7. 80) Поскольку средний квадрат ошибки от возмущающего воздействия н соответствии с формулой (7.55) пропорционален уровню его спектральной плотности на нулевой частоте, выражение (7.80) дает такжеотносительное превышение среднего квадрата ошибки от возмущающего воздействия в цифровой системе по сравнению с гипотетической непрерывной системой, получаемой при Т -О.
Если эта величина не должна превышать некоторого малого числа Ь, то из (7.80) следует, что Т ('г 12Л(р, Например, при Ь=-0,08 периоддискретности должен удовлетворять условию Т ~1(р. (7,81) С целью смягчения требования (7.81) иногда целесообразно специально несколько увеличить постоянную времени дискриминатора. 230 Заметим, что аналогичным образом можно вывести требование к величине периода дискретности по заданной допустимой погрешности реализации ФЧХ фильтра. Теперь рассмотрим влияние периода дискретности на средний квадрат ошибки от непрерывного возмущающего воздействия со спектраль-ной плотностью 5„„(га), выражаемой формулой (7.57).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
