Бесекерский В.А., Елисеев А.А., Небылов А.В. и др. Радиоавтоматика. Под ред. В.А.Бесекерского (1985) (1095884), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Здесь а=аег'*— комплексная амплитуда. Зная решетчатую весовую функцию импульсного фильтра Ь [п[, найдем его реакцию у [и! на рассматриваемый сигнал, Для этого, используя формулу свертки (7.5) и выражение (7.7), запишем М Ю ОР у (и] ~ Ь Яд(п т] ~~ Ь Я не/вщ-м т — пе1ыпг ~~~~~ЬЯ е — !ми~г ъ.=О ~ — о я=О (7.8) Введем в рассмотрение комплексную функцию ОЭ ОЭ Н(ек"" ) = ~г~ЬЯе-1 ' = 2'й( ] -"[,,; =Н(з) [,; г, (7.9) которую запишем в виде Н(е[Яг) = А (ы) ел~ (">. (7.
1О) Здесь А (в) =[Н(е~"'г)! и ф(в)=агй Н(е~" г) — вещественные функции, являющиеся модулем и аргументом функции Н(ек'г). С учетом (7.9) и (7.10) представим (7.8) в аналогичном (7.7) виде: у [и] — А (ы) п~!Бьп г~ э(ап — А (ы) пе/ 1т+ч ~ат~е1~пг— — Ье! !ч+эпойегапг — Ье1впт. (7.11) где Ь=А (ы) а — амплитуда; Ь=Ьедэ+э ~"~1 — комплексная амплитуда функции у [и!. Выделив мнимую составляющую выражения (7.11), получим у [и] = Ь з! п [епТ + ср + ф (ы)].
Таким образом, искомый выходной сигнал линейного импульсного фильтра представляет собой, как и входной сигнал, гармоническую решетчатую функцию. Функция Н(е~ г) равна отношению комплексных амплитуд выходного п входного сигналов. Поэтому по аналогии с частотной передаточной функцией непрерывной системы она называется частотной передато~ной функцией импульсного фильтра.
Графики ее модуля А(е)=Ьга и аргумента ф(а) называют амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) и фазовой частотной характеристикой (ФЧХ), Вводятся и другие частотные характеристики импульсного фильтра, например логарифмические. Как видно из (7.9), частотная передаточная функция получается из дискретной передаточной функции Н(г) посредством подстановки з — с~я 1 При рассмотрении частотной передаточной функции как функции круговой частоты а выясняется, что вследствие периодичности комплексного аргумента е~"г= соз ОТ+1' гйп аТ она тоже периодическая и ее значения повторяются с периодом, равным круговой частоте квантования 2л)Т.
Такую же периодичность имеют все частотные характеристики импульсного фильтра. Физически это объясняется тем, что гармонические.сигналы на частотах ы и ы-~2иНТ, 1=-1, 2,... невозможно различить, наблюдая их лишь в дискретные моменты времени 1=- пТ.
Поэтому импульснь!й фильтр реагирует на такие сигналы совершенно одинаково. Периодичность частотных характеристик импульсного фильтра, рассматриваемых в функции частоты ы, делает их построение неудобным. Поэтому часто применяются частотная передаточная функция и частотные характеристики с использованием так называемой псевдочпспгогпы. Переход к псевдочастоте делается на основе ш-преобразования. Введем комплексную величину ш как билинейное преобразование комплексной величины г: х — ! и! = —.
а+1' (7.12) Возможно и обратное преобразование !+в а= 1 — м' (7. 13) Сделав в (7.12) подстановку г =е!"г, получим (7.14) где ).=1а вТ!2 представляет собой так называемую относительную псевдочастоту. Соотношение !в =)Х по форме совпадает с используемой для непрерывных систем записью р=/и. Удобно ввести в рассмотрение абсолютную псевдочастоту 2 — 2 мТ Х= — Х = — 1й —, ТТ"2' ~ 1 — ~ (! — ХТ 2~' ' (7.16) Она обычно является дробно-рациональной функцией. Характеристики решетчатых случайных процессов. Решетчатую функцию 7(л) называют решетчатым случайным процессом, если ее значения в каждый момент дискретного времени являются случайными величинами.
Каждая из этих случайных величин характеризуется одномерным, а их совокупность — многомерным законами распре- При выполнении условия вТ( 2, когда 1д аТ)2 ж ыТ12, она практически совпадает с круговой частотой о, т. е. Х а. Это облегчает исследование дискретных систем. Кроме того, важно, что при изменении частоты в пределах — и!Т ( о ( п)Т псевдочастота пробегает все значения от —. о до ао. Поэтому при переходе к псевдочастоте наиболее интересный интервал частот, где полностью определяется форма частотных характеристик, растягввается до бесконечной длины, а периодичность частотных характеристик пропадает.
С использованием псевдочастоты частотную передаточную функцию импульсного фильтра с учетом (7.13) — (7.15) записывают в виде деления. Будем рассматривать стационарные решетчатые случайные процессы, законы распределения значений которых не зависят от дискретного времени п.
Для них, как правило, выполняется свойство эргодичности, позволяющее определить математическое ожидание и средний квадрат как средние по дискретному времени: О) У п[п~= 1!и ! ~~ д[п1= 1пп — ~' д[п], л=О ) )) У д'~п~=!пп, ч. д'[п1=!пп — ~ г)О[и]. ,„„2)1)+ ! ~„,,„)У+ ! Для центрированных решетчатых процессов, обычно используемых при анализе точности дискретных систем, математическое ожидание равно нулю, а средний квадрат совпадает с дисперсией, т. е. йл[п[=0О. По аналогии с непрерывными случайными процессами вводится понятие корреляционной функции В[)п1= !1щ,—,', 2; И[п]и[а+и]=1[ш — ', '~.а[п]а[и+!п]. л=-)) л О Корреляционная функция решетчатого случайного процесса является неслучайной решетчатой функцией, основные свойства которой определяются соотношениями: Я [0]=у'[а], )т' [ ю]=[г) [п])', Л [О]— — И [ол[=0О, Я [0]>И [и], Я [ — и] = Р [т]. Статистическая связь значений двух стационарных случайных процессов д,[п[ и д,[п] характеризуется взаимной корреляционной функцией Л.
я Р, О [т~ = 1)ш — ~ й), [п| д, [и+ и] =1пп — ~~ г)) [п1 г)О [п+т). л=-и =О При ]с,,[и]==0 эти процессы называют взаимно некоррелированными. Анализ прохождения случайных процессов через стационарные фильтры наиболее просто провести в частотной области, когда свойства фильтра характеризуются частотной передаточной функцией, а свойства процесса — спектральной плотностью. Спектральную плотность стационарного решетчатого случайного процесса вводят как двустороннее г-преобразование корреляционной функции: 5 (г) =~~ )т [т1 г (7.17) Ее можно выразить также через обычное одностороннее г-преобразование корреляционной функции: г [г) =Я [Л [т]] = .~~ Ь [т~]г если разбить интервал суммирования в (7.17) на части и использовать свойство четности корреляционной функции.
Тогда ~О о 5(.)= ~ К[ш~).—:+ ~ Д[ ),-- — 77[0~= т=О Ш= — Ю =Р(г) — , ','"~ )1[ — !п1г"' — Р[01=Р(г)-)-Е(г ') — )г(0) т=а или при переходе к круговой частоте ы 5 (е!" г) = Р (е!" г) 1- Р (е- >" г ) — 71 [О[ = 2 Ке Р (е! ' г) — !х (0). (7. 18) При записи (7.18) учтено, что функции Р(е'"т) и Р(е /'г) являются комплексно-сопряженными, т.
е. имеют одинаковые вещественные и противоположные по знаку мнимые части. Отсюда же видна четность спектральной плотности. Интегрирование спектральной плотности на интервале -~ЫТ дает средний квадрат решетчатого процесса: а!т пгг я т ~ г Т д'[л1= — ! 5(е!ит) !(а! — ! 5(е!вг)!йэ. 2л —,г о (7.19) Множитель Т, равный периоду дискретности, отличает формулу (7.19) от соответствующей формулы для непрерывного процесса. Причина этого связана с тем, что размерность спектральной плотности (7.18) решетчатого процесса отличается от размерности спектральной плотности непрерывного процесса как раз на размерность времени. Спектральная плотность может быть представлена как функция псевдочастоты.
Поскольку справедливы равенства е'"'г = ., ы= — агс!и —, йо = !+!ХТ12 12 ХТ НХ дх ! — /х772 ' т ь 2 ' г-ь )Рт'~4 ~~-~акт(21"- ' соотношения (7.!8) и (7.19) принимают вид ,7.,!+!'х7) 2 ') . 7 !+!х272 ') '(1! — )хт12 7 '!! — !хтух 1 т ( 5*(х) нх и ["! = 2ч,),.! !+)х272 р.
— Ф (7.20) (7.21) 206 Спектральная плотность 5" (л) удобна тем, что она обычно является дробно-рациональной функцией квадрата псевдочастоты, а не трансцендентной периодической функцией, как 5(е!мг). Это позволяет использовать при вычислении интегралов вида (7.21) таблицы, составленные для интегралов спектральных плотностей непрерывных случайных процессов (см. приложение). Типовой задачей анализа импульсных фильтров при случайных воздействиях является нахождение спектральной плотности выходного решетчатого случайного процесса 5„*(Х) по известным спектральной плотности входного процесса 5'().) и частотной передаточной функции фильтра Н*()).), Решение этой задачи, как и в непрерывных системах, имеет вид З„(Л> = ~ Н*()Л)1 3," (Ц.
(7.22) Прн этом средний квадрат выходного процесса (7.23) Шумы квантования по уровню. В отличие от импульсных систем цифровые системы радиоавтоматики не являются линейными импульсными фильтрами даже при малых рассогласованиях, поскольку пред- Рис. 7Л Рис. 7.3 ставление сигналов в цифровой форме связано с их квантованием по уровню. Статическая характеристика входного АЦП показана на рис. 7.3, где б; — цена единицы его младшего разряда; д — исходное непрерывное значение входной величины; д, — ее пифровое представление.
Число отличных от нуля уровней одной ветви рассматриваемой характеристики (7.24) р, = 2аА 1 =а /б где а, — число двоичных разрядов преобразователя (без учета знакового разряда); д,„— значение входной величины, которому соответствует максимальное возможное двоичное число на выходе преобразователя. При правильном построении преобразователя величина а,„должна совпадать с максимальным возможным значением входной величины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
