Бесекерский В.А., Елисеев А.А., Небылов А.В. и др. Радиоавтоматика. Под ред. В.А.Бесекерского (1985) (1095884), страница 37
Текст из файла (страница 37)
В терминах функционального анализа задачей оптимального синтеза является нахождение передаточной функции Н„, (р), доставляющей экстремум (минимум) функционалу (6.8), определяющему значение выбранного показателя качества системы — среднеквадратичной ошибки. Передаточную функцию Н,„,(р), обладающую указанным свойством, называют оптилгальной передаточной функцией, а экстремум выбранного показателя качества — крипгериелг оптимальности. В данном случае критерием оптимальности является критерии минимума среднеквадратичной ошибки: У = гпгп е'.
(6.9) Поскольку передаточная функция системы определяет ее структуру, приходим к следующей формулировке: задачей оптимального синтеза системы радиоавтоматики при заданных спектральных плотностях задающего воздействия и помехи является синтез структуры этой системы, оптимальной по критерию минимума среднеквадратичной ошибки. Замкнутые системы радиоавтоматики часто являются следящими радиотехническими измерителями параметров движения объектов: угловых координат, дальности и составляющих вектора скорости.
Таким образом, задающее воздействием(~) системы является измеряемой величиной, а выходная (управляемая) величина у(7) — результатом измерения или в терминах теории оптимальной фильтрапии оценкон измеряемой величины йг(7). Оптимальный следящий измеритель вырабатывает, таким образом, оптимальную по критерию минимума среднеквадратичной ошибки оценку у(г) измеряемой величины йг(1). ,Система, оптимальная по критерию минимума среднеквадратичной ошибки, может быть нелинейной. Тогда задачей оптимального синтеза является нахождение оптимальной системы не в классе линейных систем, а в более широком классе нелинейных систем, что существенно усложняет решение задачи. Однако в случае, когда задающее воздействие и помеха — нормальные (гауссовы) случайные процессы, оптимальная система является линейной. Уравнение Винера — Хоггфа. Как доказывается в теории оптимальной фильтрации, необходимым и достаточным условием оптимальности системы по критерию минимума среднеквадратичной ошибни является отсутствие корреляции между мгновенной ошибкой системы, проверяемой на оптимальность, и выходной величиной любой другой линейной системы.
Поясним это утверждение. Пусть Н(р) — произвольная передаточная функция; Н„„,(р) — передаточная функция системы, проверяемой на оптимальность; уЯ=Н(р)гЯ и уо(~)=Н„„(р)г(Е)— выходные величины этих систем при входном воздействии (6.2). Система с передаточной функцией Н.„(р) будет оптимальной тогда и только тогда, если мгновенная ошибка этой системы е„(1)= =у(1) — у,(1) не коррелирована со случайной функцией у(г), т.
е, если у (~> е,(г) = у (~) (д(г) — у, (г)] = О. (6.(0) Из (6.10) может быть получено интегральное уравнение — уравнение Винера — ХопФа, решение которого определяет весовую функцшо оптимальной системы: ) Й,„,(1 — 6)й',(6 — т) дд=Д~,(1 — т), о (6. 11) и сделаем замену переменных, обозначив 6 — т=й, 1 — т=(', Тогда (6.11) примет вид (6.12) Здесь, очевидно, лсвая часть уравнения — свсртка функций й„„,(-) и )с',( ).
При решении уравнения (6.12) на данном этапе откажемся от требования физической реализуемости системы, т. е. от требования, чтобы весовая функция системы обращалась в ноль прп отрицательных значениях ее аргумента (1.22). В этом случае уравнение (6.12) решается достаточно просто. Воспользуемся теоремой о свертке нз теории преобразования Фурье, которая гласит: преобразование Фурье свертки двух функций равно произведению преобразований Фурье свертываемых функций. Обозначив буквой У оператор преобразования Фурье, из (6.12) Уравнение Винера — Хопфа — линейное интегральное уравнение, определяющее при заданных корреляционных функциях Й„(.) и Я,( ) весовую функцию й.„,(1) системы, оптимальной по критерию мйнимума среднеквадратичной ошибки.
Решение уравнения Винера — Хопфа без учета условия физической реализуемости синтезируемой системы. Приступая к решению интегрального уравнения Винера — Хопфа, обратим внимание на то, что левая часть уравнения (6. П) по своей структуре близка к интегралу свертки функпий и„„ (1) и )с„(1) вида (1.25) и отличается от него тем, что аргументом функции Я„( ) под знаком интеграла является разность д — т, а не величина 6, что характерно для интеграла свертки, Нетрудно заметить, что левая часть(6.11) будет точной сверткой, если пределы интегрирования принять не от 0 до 6 а от — оо до оо, так как в этом случае слагаемое т в аргументе функции Й„(д — т) можно отбросить. Действительно, если 6 изменяется в пределах от — со до со, то и разность 6 — т изменяется в тех же пределах при любом конечном т. Переход к бесконечным пределам интегрирования означает, что синтезируемая система будет оптимальной лишь при бесконечном времени наблюдения, т.
е. в установившемся режиме. Итак, запишем (6.11) в виде получаем (1)) ~- (1з (1)з У-(11 (1)) = ф. ф, (г)1 (6.13) при статистической независимости й'(1) и о(г). Но преобразование Фурье несовой функции системы есть частотная передаточная функция этой системы [см. (1.38)), а преобразование Фурье корреляционной'функции случайного процесса есть спектральная плотность этого процесса, т, е.
,г (Ь„„,(г)1=Н„„,()ы), «г (в~,(1)1 =5, (ы), «г 1»х.(1)1=5 (и) н из (6.13) получаем Н,.„,(1«э) 5„(ы) = 5 (ы), где 5„(ы) = 5 (ы) + 5„(ы), откуда находим частотную передаточную функцию оптимальной сис- темы Вол» (1а») (6.14) э;О+э.М) ' Напомним, что эта передаточная функция соответствует физически нереализуемой системе. Подставляя (6.14) в (6.8), найдем дисперсию 0,,„ошибки оптимальной физически нереализуемой системы: 1 1' ла()8 () «т,п = 2„ ) Л (и) 1 8 (и) (6.15) » Практическое значение полученного результата заключается в том, что дисперсия ошибки О, ,„ определяет потенциальную точность оптимальной системы при заданных спектральных плотностях задающего воздействия и помехи этой системы, т. е. теоретическую нижнюю границу дисперсии ошибки, определяемую лишь расчетным путем, но не достижимую ни для какой реальной системы.
Синтез оптимальной физически реализуемой системы. Синтез оптимальной системы с учетом условия физической реализуемости (1.22) — задача более сложная, чем синтез физически нереализуемой системы. Лля решения этой задачи необходимо рассмотреть два вспомогательных вопроса: преобразование взаимных спектральных плотностей линейными системами и оптимизация структуры системы при входном воздействии г(1) типа белого шума.
После решения этих вопросов определение оптимальной передаточной функции физически реализуемой системы осуществляется достаточно просто с использованием приема «приведения входного воздействия к белому шуму». Рассмотрим преобразование спектральных плотностей. Пусть х„(1) и х»(1) два стационарных и стационарно связанных случайных процесса с известной взаимно корреляционной функцией л»,, (т)=х,(1)х»(1+т) и взаимной спектральной плотностью 5„,„,(!ю)= ~ й'„,„„(т)е '"'г(т. Если процесс х,(1) проходит через линейную динамическую систему с передаточной функцией Ф',(р), а х,(!) — через систему с передаточной функцией )г',(р) (рис. 6.1), то взаимная спектральная плотность процессов у,(!) и д.,(!) на выходе этих систем 5, (1га) = 1Г,(рв) (г', ( — 1ы) 5„„(1в).
(6.16) В частности, если один из процессов, например х,(!), не подвергается линейному преобразованию, то, полагая у,(!)=х,(!) и К,(р)=1, получим Н„(1ы) = ~ й„(!) е-!"' г(! = ~ Й „(!) е-!"' й = о — ( 5 (1а)е~""йа е ямй= гл О = — „( е ' ' ') 5 „(йв) ~! 'алый (6.!9) где 5 „(1ы) = 5 Н „(т) е-!"' йт — взаимная спектральная плотность процессов д(!) и а(!), предполагаемая известной. !82 5юх, (1гв) = Ю'., ( — !ы) 5„м, (! ы). (6.17) Рассмотрим теперь синтез оптимальной системы при входном воз- действии типа белого шума. Пусть входное воздействие системы г(!)=д(!)+о(!)==и(!) — белый шум со спектральной плотностью 5,(га)=5,=сова( и с корреляцион- ной функцией И„(т)=5,6(т), где б( ) — дельта-функция.
Обозначим через л,(!) и Н„(р) соответственно весовую и передаточ- ную функции системы, оптимальной при гипотетическом входном — ""Г:) —" х,сч воздействии г(Г) в виде белого шума. Тогда ю, И уравнение Винера — Хопфа (6.12) примет вид х !и, ~1 Уг(г! 5, ~ й„(! — Х) 6().) ЙХ= Й „(Г), откуда, исполь- ~'~г Ю Рас. 6.1 зуя фильтрующее свойство б-функции (1.20а), получаем 5,8„(!)=Р „(!) и, учитывая условие физической реализуемости системы (1.22), находим Г ! — )с „(!) при !) О, (6.18) 0 при 1(0.
Таким образом, весовая функция системы, оптимальной при белом шуме на ее входе, с точностью до постоянного множителя 5 равна взаимной корреляционной функции зада!ощего воздействия д(!) и пол- ного входного сигнала типа белого шума г(!) =и(!). Оптимальную пере- даточную функцию Н„(р) можно найти путем прямого преобразования Фурье весовой функции. Учитывая, что и„(!) =0 при г(0, в соответст- вии с (6.18) имеем Для решения уравнения Винера — Хопфа при произвольном входном воздействии «(у), определяемом реальным задающим воздействием д(у) и реальной помехой о(у), воспользуемся методом приведения входного воздействия г(У) к белому шуму п(У). Представим спектральную плотность 5„(в) входного воздействия г(у) в виде произведения двух комплексно-сопряжеnных функций Т(у' ) и Ч'( — ув): (6. 20) 5„(а) =Ч'0в) Ч'( — уа).
Такое представление спектральной плотности случайного процесса называют факторизаЧией спектра, Гипотетическая динамическая система с передаточной функцией Ч'(ув), определяемой выражением (6.20), преобразует случайный процесс типа белого шума со спектральной плотностью 5,=сонэ! в процесс с заданной спектральной плотностью 5„(в) н называется формирующим фильтром. Пропустим входное воздействие через линейный фильтр с передаточной функцией (6.21) Ф0в) = Ч'РАН. На выходе этого фильтра получим процесс, спектральная плотность которого равна (см.
гл. 3) 5„(в) = ) Ф 0в) ( ' 5, (в) = 5, (в)у) Ч' (ув) ) ', т. е. получаем процесс в виде белого шума п(У). Фильтр с передаточной функцией (6.21), где Чг(ув) определяется выражением (6.20), называют отбеливающим фильтром, которьш преобразует случайный процесс г(У) со спектральной плотностью 5„(в) в белый шум. Если последовательно с отбеливающим фильтром включить звено с передаточной функцией Н„(р), определяемой выражением (6.19), то получим систему, оптимальную для заданного входного воздействия г(у), с передаточной функцией Н,„, (ув) = Ф (уа) Н„(Ув) = Н„(ув)У(Ч" (ув)1.
(6.22) В соотношении (6.!9) передаточная функция Н„(ув) выражается через взаимную спектральную плотность процессов д(у) и п(у), по при произвольном входном воздействии г(у)Фп(у) известной является взаимная спектральная плотность процессов д(У) и о(У). Поэтому необходимо выразить спектральную плотность 5 „(ув) через спектральную плотность 5е,(ув). Тогда искомая передаточная функция Н,„, (ув), оптимальная для известных задающего воздействия ху(у) и помехи о (У), будет определена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
