Бесекерский В.А., Елисеев А.А., Небылов А.В. и др. Радиоавтоматика. Под ред. В.А.Бесекерского (1985) (1095884), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Положим, что в искомых колебаниях отсутствует постоянная составляющая, т. е. удовлетворяется равенство 2л С,= — ) Р(аэ|па4) д(в!)=О. г з'3 о Это условие выполняется всегда, когда нелинейная характеристика симметрична относительно начала координат (см. рис. 5. | — 5.4) и отсутствует приложенное к нелинейному звену внешнее воздействие. Можно находить автоколебания и при наличии постоянной составляю!цей [4), но тогда рец!ение надо искать в виде х=х,+а !йп вд В записанном разложении в ряд Фурье произведем замену з|п в|= ==х|а; соз в|=рх)(ав) и отбросим все высшие гармоники ряда, считая, что они не пропускаются линейной частью. Тогда для нелинейного звена получим приближенную формулу у = а (а) х+ д' (а) рх/в, где у(а) и д'(а) — коэффициенты гармонической линеариэации, опреде- ляемые формулами разложения в ряд Фурье: эн 01 ! Г д =- — = — ) р (а з|п !р) з|п <р й!р, о 2л с, ! д'= — = — ! Р(аз|игр) сов!р д!р, (5.
5) где !р -=вд Таким образом, нелинейное уравнение (5.2) заменяется приближенным уравнением для первой гармоники (5.5), похожим на линейнсе уравнение. Особенность его заключается в том, что коэффициенты уравнения зависят от искомой амплитуды автоколебаний. В общем случае при более сложном характере нелинейной зависимости, например у=Р(х, х), эти коэффициенты будут функцией как амплитуды, так и частоты искомых колебаний.
Проделанная операц!ия замены нелинейного уравнения приближенным линейным носит название гармонической линеаризации, а коэффициенты, найденные по формулам (5.4) и (5.5), называют гарлюническиии коэффициента|ни передачи нелинейного звена. !54 1)' (р, а) = — ! <) (а)+ — р| Я (р) ( д' (а) = 0 (р) [ м (5.6) и характеристическое уравнение замкнутой системы („) (р) + <<' (р) ~ <у (а) + ~— ) р1 = О. (5.7) Из выражения (5.5) подстановкой р=-1<в находим частотную передаточную функцию разомкнутой системы (Р((в» а? =,~„,„,[)(а)+(Ч'(а)1. (5.8) Ее можно представить в виде произведения частотной передаточной функции линейной части системы Р,((ы), которая является функцией частоты, и эквивалентной передаточной функции нелинейного звена, которая для рассматриваемого типа нелинейной зависимости (5.2) является функцией только амплитуды: Ж' ((<в, а) =- (р', ((<в) Р;, (а); здесь РР„((<а) — — Гт()<э)ЩЦы); УУ„(а) (((а)-! )Ч'(а).
Модуль эквивалентной передаточной функции нелинейного звена (5.9) ! Ю'„(а) ! =!' [<)(а)1'+ [д' (а)1' (5.10) равен отношению амплитуды первой гармоники на его выходе к амплитуде входной величины. Аргумент его <р(а) = агс(я [<)' (а)/<1(а)) (5.!1) определяет сдвиг фаз между первой гармоникой на выходе нелинейного звена и синусоидальным входным сигналом. Можно показать, что для нелинейных звеньев с однозначными и симметричными относительно начала координат характеристиками, не имеющими гистерезисных петель, коэффициент гармонической линеаризацин <)'(а?=0.
Г1оэтому для таких звеньев эквивалентная передаточная функция является чисто вещественной — К„(а) =<1(а) н ф (а) =О. Часто используется величина, обратная эквивалентной передаточной функции нелинейного звена; г„(а) = 1/1Р'„(а) = и (а) -1- (о (а), (5.12) называемая иногда эквивалентным импедансам нелинейного звена. Использование ее удобно при расчете автоколебаннй по критерию Найквиста.
Гармоническая линеаризация типовых нелинейностей. В качестве примера рассмотрим релейную характеристику, изображенную нн рис. 5.1, в. Так как для этой характеристики <)'(а)=-0, то нужно найти (55 На основании уравнения линейной части системы (5.1) и приближенного уравнения нелинейного звена (5.3) получаем передаточную функцию разомкнутой системы только коэффициент д(а) в соответствии с формулой (5.4).
Для этой цели подадим на вход звена гармоническую функцию и построим изменение во времени выходной величины (рис. 5.7). В пределах зоны нечувствительности !х!(б вы одной сигнал равен нулю. Вне зоны Рис. 5.7 нечувствительности выходной сигнал у=-+с. Фазовый угол ~р„саатветствуюгций равенству мгновенного значения входного сигнала х=б, равен агсз!п(Ыа). Учитывая симметрию подынтегральнай функции, имеем 2л лм 1 Г ..
4 (' д(а) = — ) г (аз!п~р) зьисрс(ср= — !1 сз)псрйр= лл ла с Ж 4с 4с / Ь' — р.= — лл !7 1 — —,. ( ~5) (5.13) Так как д'(а)=0, то окончательно ))у„(а) = — )/ ! — —,, (а с Ь), (5.14) Иногда в рассмотрение вводят нормированную эквивалентную передаточную функцию. Для этого формулу (5.14) представляют в виде с4Ь / а 4 Г д(а)= К„(а)= — — ~' 1 — —, =Й вЂ” 17 1 — —, =л)с'„с (сс). (5.15) ь !56 Таблица 5.1 о(о) о (о) Релейная Релейная 4сЬ Релейная С насыщением 0 Харантеристика нелинейного звена Идеальная релейная ((оэафицаенты гарыонииесиой лииеариэации 4с ла 4с - / Ьв — 1/ 1 — —, а-эЬ ла ав ' 4с ../ Ьа ла )/ 2й( Ь Ь / Ьа 1 — ! агса!и — + — 1/ 1 — — /(, л а ар . аа/' а =.Ь (й при а(Ь) 2сЬ лаа Продолзселие Козефициенти гарионннескоа лвнеаризации Характеристика нелниеавого звена и'(а) о(а) С зоной нечувствительности и насыще- нием 2й (агсв(п — — агсзгп — + Ьз Ьг и а +Ь~, Ь,' Ь ),г, Ьи) Идеального дискри- минатора 2йг ь ! .
/ . ьт — ~ агсз(п — — — з(п (2 агсз)п — ) ~, п~ о а) а ) Ь (й при а < Ь) Люфта или зазора й(п . т' 2Ь! — — +агоып (! — — )+ 2 ьа а) „2(! 2Ь) У/ Ь (, Ь)~ йй( ь) Здесь коэффициент й=с!Ь может быть присоединен к передаточной функции линейной части системы; а=а(Ь вЂ” относительная амплитуда входного сигнала; 1Г'но(а) — нормированное значение эквивалентной передаточной функции, соответствующее релейной характеристике при Ь=! и с=1.
В табл. 5.1 приведены результаты гармонической лицеарпзации для некоторых типовых нелннейностей. Расчет автоколебаиий по критерию Найквиста. Для расчета авто- колебаний используют различные критерии устойчивости. Наиболее просто и наглядно использование критерия Найквнста. Этим случаем и ограничимся. Особенно удобно использование критерия Найквиста в случае, когкда имеется нелинейная зависимость вида у=Р(х) и эквивалентная передаточная функция нелинейного звена зависит только от амплитуды входного сигнала.
)58 Возможность возникновения в нелинейной системе периодического режима движения определяется появлением в решении характеристического уравнения (5.7) пары часто мнимых корней, когда все остальные корни лежат в левой полуплоскости. Это соответствует прохождению амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы через точку ( — 1, 10) комплексной плоскости.
Для определения условий прохождения через зту точку приравняем функцию (5.9) — 1: К(1ы, а) = Р' (1ы) )Р"„(а) = — 1. (5. 16) Чтобы решить это уравнение, можно, задаваясь различными значениями амплитуды, строить каждый раз амплитудно-фазовую характеристику. При некотором значении амплитуды а=А характери- стика будет проходить через точку ( — 1, 10) (рис. 5.8, а).
Частота ы- — — Я в точке ( — 1, )О), определяемая по отметкам частоты на характеристике, и амплитуда а=А, для которой построена данная характеристика, соответствуют частоте и амплитуде искомого периодического режима х-=Л з1п Ы.
Заметим, что подобным образом можно отыскивать периодическое решение для нелинейных зависимостей любого вида, приводящих, в частности, к тому, что эквивалентная передаточная функция нели- нейного звена зависит не только от амплитуды, но и от частоты. Если же ограничиться рассмотрением нелинейной зависимости вида у= =Р(х), то процесс нахождения периодического режима можно упростнть. Уравнение (5.16) запишем в виде К„((лв) = — 1/(Р', (а) = — г„(а). (5.17) Последнее уравнение просто решается графически. Для этой цели необходимо построить отдельно АФХ линейной части и обратную АФХ нелинейного звена, взятую с обратным знаком (рис. 5.8, б). Точка пересечения двух АФХ определяет решение уравнения (5.17).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
