Бесекерский В.А., Елисеев А.А., Небылов А.В. и др. Радиоавтоматика. Под ред. В.А.Бесекерского (1985) (1095884), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Зададим следующие исходные данные: й=1, 7=0,1 с, зона линейности нелинейного звена по входу 6=1 В, максимальное значение сигнала на его выходе с=10 В. Пусть на входе действует полезный сигнал д в присутствии флукту.ационной помехи, представляющей собой белый шум с интенсивностью 169 Соответствующий график построен на рис. 5.16, б. Функпии, определяющие эквивалентный коэффициент передачи случайной составляющей по формулам (5.23) и (5.25), будут У=О,8 В 1Гц. Требуется построить статическую характеристику совокупности двух звеньев у=~,(д) с учетом подавления усиления, вносимого помехой, определить результирующий коэффициент передачи в точке у=О и построить зависимость среднеквадратичного значения случайной составляющей сигнала на выходе нелинейного звена в функции значения полезного сигнала на входе оэ †-Цд). 01 00 0,=0 Г г 0,0 0,4 0~ 0,7 б,= 0) ь 20 7,0 04 02 1 г т г) 0 Рис. 5.1б В соответствии с изложенным в гл.
3 математическое ожидание выходной величины линейного звена в установившемся режиме х=йд. Так как 0=1, то х=д. Дисперсия случайной составляющей на выходе линейного звена в соответствии с (3.25) г 0У0 0Л од= — ) ! К(йи) ~'Мб"== — ) = — =4В'. 2л 2в 3 1+а'Т~ 2Т 170 При а,=-о„Ъ на основании графика рис. 5.16, б может быть построена зависимость у=(,(д), которая изображена на рис. 5.17. а как для положительных, так и для отрицательных значений д. На этом же рисунке штриховой линией показана та же статическая характеристика у=Яд), но при отсутствии флуктуационной помехи.
Из рисунка следует, что флуктуационная помеха в системе с ограниченной линейностью подавляет усиление. В точке 0= — х=-О по наклону характеристики можно определить, что общий коэффициент передачи двух звеньев составляет примерно 37% от коэффициента передачи при отсутствии флуктуационной помехи и равен 3,7. На основании графиков, изображенных на рис.
5.16, в, г, может быть построена зависимость среднеквадратичного значения случайной составляющей сигнала на выходе от полезного сигнала на входе при о,.=-2 В (рис. 5.!7, б): о,, = до„= 0,5с (ср, (х„а, ) + <р,, (х„а)1, где х,=х~Ь, о,=а„,Ь. Случайные процессы в замкнутых нелинейных системах. В замкнутых системах (см.
рис. 5.5, и) при использовании статистической линеаризацип возникают трудности, связанные с тем, что сигнал на входе нелинейного элемента в канале ошибки зависит от получаемых коэффициентов линеаризации, которые в свою очередь определяются параметрами сигнала. Это приводит к необходимости решать систему уравнений, связывающих эти величины. Рассмотрим задачу анализа нелинейной системы при действии случайного входного сигнала.
При этом будем предполагать, что регулярная составляющая исследуемой величины системы (математцческое ожидание) постоянна или медленно меняется во времени по сравнению с состзвляющими основных частот спектра случайной составляющей. Рассмотрим методику расчета нелинейных замкнутых систем при случайных воздействиях применительно к расчету ошибки.
При этом предположим, что нелинейность находится во входных элементах канала управления. Зто может быть, например, дискриминатор. Тогда входным сигналом для нелинейности будет ошибка системы управления. В этом случае математическое ожидание х соответствует математическому ожиданию в, а среднеквадратичное значение а„= — о,. Рассмотренная методика может быть использована и для расчета других величин, однако в соответствии с изложенным прн статистической лннеаризации нелинейностей нужно рассматривать величину х, являющуюся входной величиной нелинейности (см.
рнс. 5.12). Пусть динамика системы описывается уравнением, записанным для ошибки, вида я(р) е(г)+ й (р) г" (е) =я(р) д(г), (5.42) где е=д — у — ошибка системы (у — управляемая величина); Я(р) и К (р) — полиномы; г (е) — нелинейная функция; д — задающее воздействие. Задающее воздействие равно сумме математического ожидания и случайной составляющей: д=д+й~.
Ошибка системы тоже может быть представлена в виде такой суммы: е=е+е'. Пусть в системе отсутствуют автоколебания. Тогда, применив статистическую линеаризацню (5.18) и подставив полученное выражение в (5.42), разобьем последнее ва два: Я(р) е+ Й (р) г" =Я(р) д, [Я( )+ й(р) )'1е'=Я(р) а' (5.43) (5.44) соответственно для регулярных н случайных составляюцшх задающего воздействия и ошибки.
При этом г" (е, а,) и д'(е, а,) определяют для каждой кониретной нелинейности в соответствии с изложенным. В установившемся режиме д, е н а. оказываются постоянными. Тогда уравнение (5.44) становится алгебраическим: Я(0)е+УГ(0) Г(е, а,)=Я(0)д. (5.45) В уравнение (5.45) входят две неизвестные величины е и о,. Таким образом, из этого уравнения может быть определена зависимость математического ожидания ошибки как функции среднеквадратичного значения случайной составляющей ошибки е(п,).
Равенство (5.45) справедливо для статических систем. В астатическнх системах Я(р)=рЯ,(р). Это соответствует астатизму первого порядка. Тогда вместо (5.45) получим равенство й (О) г (е, а,) = Я, (О)' г'. (5.45) Здесь и' — постоянное значение скорости изменения задающего воздействия. Из (5.45) также может быть определена зависимость е(о,). Аналогичное уравнение может быть получено и при астатизме более высокого порядка. В уравнении (5.44) случайная составляющая входного воздействия задана в виде спектральной плотности 5„'(ы) или корреляционной функции Кх (т).
Тогда на основании изложенного в гл. 3 может быть найдена дисперсия случайной составляющей ошибки: (5.47) Здесь в зависимости д'=а'(е, а,) надо заменить е найденной зависимостью е(а,). Тогда в уравнении (5.47) остается одна неизвестная величина а,. Интеграл в (5.47) может быть вычислен с помощью приложения 1, а затем определено значение а,.
После нахождения а, может быть вычислено и математическое ожидание ошибки по ранее определенной зависимости е(о,). Таким обРазом, рассмотренная методика позволяет определить два первых момента ошибки в исследуемой системе. Однако зависимость е(а,) не всегда можно найти из уравнений (5.46) и (5.47) в явном ниде. Поэтому совместное решение уравнений для е и а, приходится делать либо численно, для чего целесообразно использовать ЭВМ, либо графически. При исследовании неустановившихся режимов, когда полезныи сигнал управления меняется во времени, исследуемый процесс уже не будет стационарным. Однако в болыпинстве случаев полезный сигнал можно считать медленно меняющимся по сравнению с изменением во времени помехи.
Тогда возможно в первом приближении исследовать случайный процесс как стационарный. Однако в этом случае нельзя использовать формулы (5.45) и (5.46), справедливые для установившегося режима, а следует воспользоваться дифференциальным уравнением (5.43). Как и в случае установившегося режима, совместное решение двух уравнений (5.43) и (5А7) может быть произведено на основе численных методов с использованием ЭВМ или графическим путем. Рассмотрим существо этих методов. Уравнение (5.47) запишем в виде (5.48) а,*=7,'(е, о,), где 1(е, о,) — интеграл, определяемый по приложению 1.
Затем построим зависимость левон и правой частей (5.48) от о,. Левая часть дает параболу ! (Рис. 5.18), а правую часть можно построить, задаваясь каждый раз постоянным значением е и вычисляя интеграл 7(е, а,) (кривые 2). Перенеся абсциссы точек пересечения этих кривых на плоскость (о„е) и отложив для каждой из них соответствующие кривым 2 ординаты е, получим искомую зависимость а„(е) в виде кривой 3. Подставив полученную зависимость а,(е) в вычисленное для данной нелинейности выражение г" (х, а„), что в рассматриваемом случае дает Р(е, а,), исключим из него величину а„и получим функцию от одной переменной г=т1(е), которую можно назвать функг1ией смеи1ения.
Здесь математические ожидания е и г представляют собой сме- 17З щения центра случайных составляющих на входе и на выходе нелинейностии. 1(огда функция смещения найдена, ее можно подставить в дифференциальное уравнение (5.43): Я(р) е+Я (р) 9(е) =1г(р) д(1) (5.49) и отсюда по заданной функции д(1) путем решения дифференциального уравнения найти регулярную составляющую ошибки.
7~ бе г Функция смещения обычно имеет вид плавной кривой (рис. 5.19), которую в некоторых пределах можно подвергнуть линеаризации: г" = е„е= (йт))г(е)-,,е (5.50) Тогда уравненяе (5.49) оказывается линейным: ()( .51) р) е-'-)т (р) й е=Я(р) й(г). (5 Г=вге)~ е е Рис. 5Л9 Рис. 5Л8 Р=а„е =(ий)ие) - е. (5.53) Здесь йи получаем как функцию от о„т. е.
й„=е„(о,). 174 Часто встречается случай, когда линейная часть системы с передаточной функцией Рс(р))Я(р) не пропускает спектр частот, соответствующий случайной составляющей сигнала д' и определяемый спектральной плотностью Зеи(в). Тогда отыскание величины и, значительно упрощается. Из (5.47) следует Ю и 1 ~ Зи(ы)( ро (5.52) й т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
