Бесекерский В.А., Елисеев А.А., Небылов А.В. и др. Радиоавтоматика. Под ред. В.А.Бесекерского (1985) (1095884), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Однако для х(Г1 приближенной оценни точности систеРис. 5л2 мы, как и в случае линейных систем, можно и здесь воспользоваться двумя первыми вероятностными моментами — математическим ожиданием и дисперсией, что эквивалентно использованию корреляционной теории (или спектральных плотностей). Сущность статистической линеаризацин заключается в том, что нелинейное звено заменяется эквивалентным, которое одинаково с исходным нелинейным звеном преобразует два первых вероятностных момента.
При этом предполагается, что, как и в случае гармонической линеаризацин, последующие линейные элементы, на которые поступает выходной сигнал нелинейного звена, обладают свойством фильтра н влияние неучитываемых высших вероятностных моментов будет ослаблено. Это и позволяет применить подобный метод для инженерных расчетов. Разомкнутые системы. Рассмотрим разомкнутую цепь (рис. 5.)2), состоящую из линейного звена ЛЗ с передаточной функцией %'(р), на входе которого действует случайный сигнал д(1), и нелинейного звена НЗ. Выходная величина у(1) связана со входной х(1) нелинейной зависимостью у=Г(х). Пусть входной сигнал д(г) представляет собой сумму математического ожидания д(г), являющегося регулярной функцией времени, и центрированного случайного стационарного процесса у'(1), для которого известны корреляционная функция Кх (т) и спектральная плотность 3'(ь>).
Сигнал на выходе линейного звена х(1) представим также в виде суммы регулярной составляющей — математического ожидания х(1) и центрированного случайного процесса х'(1). Регулярная составляющая на выходе линейного звена определяется обычными методами расчета прохождения детерминированного сигнала через линейную систему (гл. 2). Для случайной составляющей на выходе линейного звена может быть определена корреляционная функция или спектральная плотность в соответствии с изложенным в гл.
3. Это дает возможность определить дисперсию выходной величины 0„. Таким образом, на выходе линейного звена оказываются известными математическое ожидание х(() и дисперсия 0„. Величину у=г (х) на выходе нелинейного звена представим также в виде суммы регулярной составляющей (математического ожидания) и случайной составляющей Р Р)Ра Р) чаха чх) чоха (5.18) Здесь введен эквивалентный коэффициент передачи нелинейного звена о(о по случайной составляющей. При этом регулярную составлающую г можно использовать непосредственно либо представить й =Г(х1 в виде произведения пх, где д — эквивалентный коэффициент передачи ! регулярной составляющей. Для определения последнего коэффициента применимы различные методы линеаризации зависимости г"=г" (х).
"г Статическая линеаризация дает д= =г/х, а динамическая — д =дР1дх. Последний случай совпадает с обычной линеаризацией, используемой в нелинейных системах н вытекаю- Рис. злз щей из разложения в ряд Тейлора. Регулярная составляющая может быть определена по формуле для математического ожидания. Для однозначной нелинейной функции Р=М(Р(х+ха)) = ~ Р (х+х')д(х) йх, (5.19) где О (х) — плотность вероятности. Для нелинейности более общего вида: у=г" (х, рх) имеем г"= ) ~ г (х+х", рх+рхо)6(х, рх)йхй(рх). (5.20) 165 Последняя формула может быть, в частности, использована для опре- деления математического ожидания в случае нелинейных петлеобраз- ных характеристик. Так, для характеристики, изображенной на рис. 5.13, в случае симметричной функции распределения -а, а, р = ~ р (х+ х ) д (х) дх+ — ~ ~р, (х+ х")+ о -а, -(- р, (х+ хо)) д (х)их+ ) г (х+ хо) 6 (х) их.
(5 21) Эквивалентный коэффициент передачи для случайной составляю- щей можно определить следующими способами. Первый способ основан на использовании среднеквадратичных отклонений о„ и ог. Коэффициент передачи находим по их отношению: оэ а,г' М ((Еа)а) а„Г М ((хо)о) ' (5.22) В случае однозначной нелинейности расчетная формула приобрегает вид ~о д»= — ' ~г' ~ Р'(х+х')Ь(х) дх — Р'.
а„ й (5.23) отсюда м(г»,а) м((»») ) (5.25) здесь гг„— значение взаимной корреляционной функции переменных г" и х при т=0. Если нелинейная зависимость имеет однозначный характер, то из (5.25) имеем Ю О д'= — ~ Р'х'0(х) дх=- ~ Р(х+х')х'О(х)йх. (5.25) а» а» Эта формула также может быть распространена на случай, когда у=Е(х, рх), и на петлевые характеристики по аналогии с формулами (5.20) и (5.21).
Второй способ определения эквивалентного коэффициента передачи приводит к более простым формулам. С точки зрения точности оба метода примерно равноценны. В некоторых случаях первый метод дает завышенные значения для оценки корреляционной функции величины у=та(х), второй — заниженные. Поэтому существует рекомендация (4) использовать для расчета среднее значение двух эквивалентных коэффициентов передачи, определенных двумя способами.
Статистическая линеаризация типовых нелннейностей. Рассмотрим идеальную релейную характеристику (рис. 5.14, а). При положительном значении х в соответствии с формулой (5.19) т" = ~ ') ехр [ — 1 ( — ) ~Лх— — 11 ехр [ 2 ( а ) 1 "х~=агр(а )' Ю (5.27) 166 В более общем случае, когда у=Р(х, рх), а также при наличии петлевых нелинейных характеристик формула (5.23) оказывается более сложной. Она может быть получена при использовании тех же обобщений, которые были сделаны при нахождении формул (5.20) н (5.21). Второй способ предполагает определение эквивалентного коэффициента передачи из условия минимума математического ожидания квадрата разности истинного значения тт и ее заменяющегося значения (5.18). Это условие имеет вид , 4 У вЂ” ф — 4»х'Я = ш1п (5.24) где интеграл вероятностей к,'а„ Ф( — )= ф/ — ) ехр ( — ик )Йе.
о Числовые значения интеграла вероятностей имеются в справочниках. Для отрицательных значений х результат получается аналогичным, но с обратным знаком. Зависимость относительного значения сме;цения на выходе Р(с от относительного значения смещения на входе х,'а, для нормального (с с 0,В 0,6 0,6 06 0,4 0,7 0 х 0 1 г Г к) 0 01 Рис. 6.14 а) закона распределения входной величины показана на рис. 5.14, б. Характеристика г'(х) имеет симметрию относительно начала координат (нечетная функция), поэтому случай х~О может быть получен из изображенной характеристики инвертированием знаков х н г'. Лииеарпзация разложением в ряд Тейлора дает из (5.27) эквивалентный коэффициент передачи регулярной составляющей в точке х= =х, для малых отклонений от этой точки: дй дФ(хЮ„) с Г2 1 1 Ух'~~1 у===с — "= — у ехр ~ — — ( — (1.
(5.28) дх дх ах У к 2 ах~ В соответствии с формулой (5.25) Ч" = — ехр ~ — а ( ) 1 =- — фс (х ак). (5.31) 167 В частном случае при х,=О с Г2 (5.29) В соответствии с формулой (5.23) эквпваленгный коэффициент передачи случайной составляющей с д" = — ф с' ~ б (х) Нх — Е* = — ' )' 1 — Ф' (х ак) = — ' ср, (х, а„). (5 30) Графики полученных функций ~р, и ~р, построены на рис. 5.14, в. Эти функции являются четными, т. е. ~р,( — х, а„)=<р„(х, а„) и ~р,( — х, ох) ='рв(х с э).
В частном случае, когда х=О и Ь'=О, эквивалентный коэффициент передачи из формул (5.30) и (5.31) определяется соответственно вы- ражениями д,' = с!о„, д,' = сЯо„)г 2л) = 0,8с/а„. (5.32) Для релейной характеристики с зоной нечувствительности (рис. 5.15, а) математическое ожидание выходной величины можно выразить через интеграл вероятностей. При 0<х Ь '= Ы"'( *) — О("Н (5.33) При х)Ь соответственно "= ~ Я( .) — Ф( — *)$ (5. 34г здесь и,=(Ь+х)/о„, и,=(Ь вЂ” х)/а„. В,4 а! вг вд й4 В4 йг 7 г х в г Л х д) г) Рис.
э.!5 Как следует из формулы (5.34), прн х -~ со на выходе имеем г -э- с. Полученная характеристика изображена на рис. 5.15, б. При х(0 могут быть получены аналогичные формулы. При этом характеристика Е(х) будет нечетной функцией. Представив эквивалентный коэффициент передачи случайной составляющей в виде 9а=сп„-аср(х, о„), по формулам (5.23) и (5.25) находим соответственно / /р'аа аРа = ~/ 1 — ( — ~ — — (ап (иа)+ар(1 иа 0 Мап иа), (5 35) ~ су сра = — 1ехр ( — 0,5и,') + ехр ( — 0,5и,')1. (5.36) Эти зависимости являются четными функциями величины х.
Они изображены для случая х)0 на рис. 5.15, в, г. В частном случае при х=0 из формул (5.35) и (5.36) можно получить соответственно Щ = — аса (О, а„) = — У 1 — Ф(Ь)о,), и а а и (5. 37) (5.38) Для линейной характеристики с насыщением (рис. 5.16, а) имеем Р=Я,Ф(,)+' '"'," ' — "' Ф(),))~ ас ' + — — '' 1ехр ( — 0,5и,') — ехр ( — 0,5и',)1. (5.30) 2 У2п ар, = ) 1 — 1 — ) + Бха (! — и и ) ~ Ф (и,) + Ф () и, ~) з)яп п,— а 1а ааа — — (и, ехр ( — 0,5и,') + и, ехр ( — 0,5и',)) 1( Ьа1/2 аРа= 2а 1Ф(и,)+Ф() и,() збдпи,$. (5.40) (5.41) Графики полученных зависимостей изображены на рис.
5.16, в, г. Приьаер прохождения случайного сигнала через разомкнутую цепь. Рассмотрим разомкнутую пель (см. рис. 5.12), у которой передаточная функпия линейной части соответствует апернодическому звену первого порядка %'(р)=й!(!+Тр), а нелинейное звено представляет собой безынерционный усилитель с характеристикой, изображенной на рис. 5.16, а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
