Бесекерский В.А., Елисеев А.А., Небылов А.В. и др. Радиоавтоматика. Под ред. В.А.Бесекерского (1985) (1095884), страница 36
Текст из файла (страница 36)
а,' не зависит от формы нелинейности н от величины е, а непосредственно равно дисперсии случайной составляющей и'". В этом случае вместо дифференцирования функции смещения (5.50) можно определить коэффициент передачи нелинейного звена Й„непосредственно из выражения Р(х, и„), которое для ошибки имеет вид г" (е, а,), Тогда (5.54) 17г а Затем надо подставить величину о,= Р Р'. Вместо этого можно воспользоваться одной из кривых~ на рнс.
5.!4, б — 5.15, б, соответствующей значению о,=ь"Р',. В результате подстановки (5.50) или (5.53) уравнение для определения регулярной составляющей ошибки (5.45) станет линейным. Отметим, что согласно формуле (5,47) величина о, зависит от спектральной плотности помехи 5аа(ю). Поэтому и определяемая через величину и, функция смещения и крутизны наг зависят не только от параметров системы, но и от спектральной плотности входного сигнала. Это означает, что все статические и динамические качества и даже устойчивость системы по полезному сигналу будут зависеть не только от параметров системы, но и от входного воздействия. Следовательно, устойчивая при отсутствии помех нелинейная система может при определенном уровне помех потерять свои качества.
Пример расчета замкнутой системы. Рассмотрим следящую систему автоматического сопровождения по направлснкю (рис. 5.20). На схеме обозначено: д — задшощее воздействие; у — управляемая величина; г —. я — у — ошибка слеже- ! пня; и — управляющее воздействие. у е г ~ о гй 1 Нелинейный элемент соответствует ! ! 1 Р звену с ограниченной зоной линейно- Ь~ сти (см. рис. 5.16). Совместно с линейным звеном, имеющим коэффициент передачи Ьг, нелинейаое звено образует дискриминатор Д с ограничен- Рис.
5.20 ной зоной линейности. Исполнительная часть канала управления (уснлителаь двигатель, редуктор) описывается звеном с передаточной функцией Иг(Р) = Ьа)Р. Примем следующие исходные данные: Ь, — — 10 В!град, Ьа.=-10 град!В.с, Ь =- 1 В, с= 1 В. Случайной составляющей входного сигнала соответствует спектральная плотность экспоненциально коррелированного процесса 5а (ы) =. 2тьз 7(1+ мат'), где  — ! град'=3600 угл, мина и Т=1 с. При объединении линейного звена с коэффициентом передачи Ьг и нелинейного звена с ограниченной зоной линейности (см.
рис. 5.16) в одно нелинейное звено получим зону линейности его по входу Ь =- Ь)йх — — 0,1 град= 6 угл.мин и максимальный сигнал на выходе с„= с = 1 В. Требуется построить зависимость установившейся ошибки от постоянной скорости слежения с= 7 (П), где (а --и, при наличии помех. Исходныс уравнения (5.46) и (5.42) в рассматриваемой задаче имеют вид Аа Р (е, па) =- (2, (5.55) !ы ~ 2 ТО ы пе =— (5.56) = 2п 3 !)ы 1 чай ! 1 ьыаТа' где да — коэффициент статистической линеаризацин дискриминатора. Начнем с решения (5.55). В соответствии с изложенным в гл. 3 и приложением 1 эта зависимость должна быть представлена в виде а а 1 (' 2Тоыз а(ы О 2п,) ! Т Цы)е+(1+уаЬ~Т) !ы+дай, !а 1+ ЧайаТ Коэффициент статистической ливеаризиции уа = с,оа ~0 5 бра+ фа), где графики функций ~ра и фа определнются 4юрмулами (5.40) и (5.41) и даны на рис. 5.16, в, г.
гбе l ггп туп н, угл, мнн м и д з х.в ю и „угд мин а) гг б Х гу б, угамнн Ю) Рис. 5,21 квадратичную параболу. Точки пересечения соответствуют решениям уравнения (5.56). По этим точкам на рис. 5.21, б построена зависимость, связывакхцая между собой мзтематическое ожидание е и среднеквадратичное значение случайной составляющей ошибки и,. а) Рис 5.22 Указанная зависимость позволяет по семейству кривых на рис. 5.16, б по. строить функцию смещения (рис.
5.22, о). Для этой цели необходимо, задаваясь значениями х1 — — е(Ь, н определяя по рис. 5.21, б соответствующее значение ат = = он/Ь„находить по семейству кривых значение г'/се, Далее можно построить искомую функцию смещения Р=й(е). 176 'В соответствии с этим формула (5.56) может быть преобразована: г'= В (5.58) 1 + О,балон з (фт+ фа) Задаваясь различнымн значениями математического ожидания ошибки е, можно .построить ряд зависимостей 1=1(е, о). Они изображены на рнс, 5.21,а совместно с кривой аг=гг (ог), показанной штриховоа линией и представляющей собой й угамнн 2 Построим теперь зависимость, связываю'цую между собой скорость слежения 9 н установившуюся ошибку е.
При отсутствии помех в линейной зоне связь между ошибкой н скоростью слежения определяется добротностью: е =та'К = = ГЗ)(йгаз), где К=100с-'. Прн достижеаии зоны линейности, т. е. прн е=а.;— = 6 угл. мин=ОД град, скорость слежения достигает своего максимального зна. чеивя и больше расти не может. Эго показано на рис. 5.22, б штриховой линией. При наличии),помех значение скоро тн слеженвя при заданной устаноаввшейся ошибке может быть найдено из (5.54) умножением функции смешения г на коэффициент передачи йз. Это показано на рис.
5.22, б сплошной линией. Из.рнс. 5.22, б видно, что наличие помех ухудшает качественные показатели системы слежения. При одинаковом значении скорости слежения установившаяся ошибка имеет болыпее значение, что эквявалентно снижению добротности по скорости. Глава 6 СИНТЕЗ СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ НА ОСНОЗЕ ТЕОРИИ ОПТИМАПЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ е бл. синтез линейных Фильтров при БескОнечнОм ВРЕМЕНИ НАБЛЮДЕНИЯ Постановка задачи оптимального синтеза, В гл. 3 была рассмотрена задача оптимизации параметров системы радиоавтоматики при наличии случайных возмущений (помех). В данной главе рассмотрим более общую задачу оптимального синтеза — задачу оптимизации структуры и параметров системы. Такая задача возникает в случае, когда не только помеха, но и задающее воздействие являются случайными функциями времени.
При случайных воздействиях иа входе системы мгновенная ошибка является также случайной функцией времени и потому не может служить показателем качества системы. Показателем качества системы радиоавтоматики при случайных воздействиях служит среднеквадратичная ошибка, определяемая как ое = 'гг0„где т О, = ! ип —, ( е'(1) г(1— 222',) -т (б.1) как показано на рис.
1.41 . Предположим, что я(1) и о(Г) — нормальные стационарные стучайные процессы с равными нулю математическими ожиданиями и с известными спектральными пчотностями о.(ю) и о,(ш) илн корреляционными функциями )с (т) и )с,(т) Кроме того, ограничимся сту- НТ дисперсия ошибки. Определим дисперсию ошибки при известных спектральных плотностях задающего воздействия и помахи. Пусть входное воздействие г(1) линейной системы радиоавтоматики представляет собой аддитивную смесь случайного задающего воздействия я(1) и помехи о(1), т, е. (1) =к (1)+ о(1) (б 9) чаем, когда задающее воздействие и помеха статистически независимы. Тогда спектральная плотность входного воздействия 5„(ы)=54(ы)+ +5„(ы). Ошибка е(Г) замкнутой системы радиоавтоматики при входном воздействии вида (6.2) может быть представлена в виде суммы двух составляющих: ошибки е (1) по задающему воздействию и ошибки е,(Г) по помехе: (6.3) е(1) =е,(г)+ е,(г), Если Н(р) — передаточная функция замкнутого контура этой системы, то в соответствии с (1.68) и (1.60) е,(1)=~1 — Н(р)1а(Г) Е(Г)=Н(Р) (Г).
(6,4) При статистически независимых задающем воздействии и помехе ошибки е (Г) и з,(Г) также статистически независимы и спектральная плотность 5,(ы) ошибки е(г) в этом случае равна сумме спектральных плотностей составляющих ошибки: 5е ( ) 5ех (~) + 5ех.(ы)~ (6.5) .де 5,х(а) — спектральная плотность ошибки е (1); 5„(ы) — спектральная плотность ошибки е,(().
Из (6.4) на основании (3.48) находим 5.,(ы) =! 1 — Н(1ы) ~'5,(ы) 5.. (ы) =1Н (1'' )! '5. (ы). (6.6) (6.7) Тогда с учетом (6.6) получаем, что дисперсия ошибки системы 11,'= — ~ 5,!(ы)г(ь=~ ~ (~1 — Н(1~),( 5,(~) —,(Н(1 )~ 5.(ы))г(а Ф Ф (6.8) 178 и соответственно среднеквадратичная ошибка зависят от вида передаточной функции Н(р) этой системы.
При тех же спектральных плотностях 5 (ы) и 5,(ы) задающего воздействия и помехи значения среднеквадратичной ошибки для систем с разными передаточными функциями будут различными. В терминах функционального анализа среднеквадратичная ошибка системы в рассматриваемых условиях ее ргооты есть функционал от передаточной функции системы о,=Р й, =У(Н((ы)), определяемый выражением (6.8). Задачей оптимального синтеза являегся нахождение такой передаточной функции Н„„,(р), при подстановке которой под знак интеграла (6.8) при заданных спектральных плотностях 5 (о) и 5,,(ы) дисперсия ошибки О„полученная в результате вычислейия этого интеграла, будет,'иметь наименьшее из всех возможных значений, соответствующих любым Н (р)~ьН,„, (р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
