Бесекерский В.А., Елисеев А.А., Небылов А.В. и др. Радиоавтоматика. Под ред. В.А.Бесекерского (1985) (1095884), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Частоту периодического режима о=(1 находим по отметкам частоты на годографе линейной части, а амплитуду а=А — по'отметкам амплитуды на годографе нелинейного звена. Однако найденный периодический режим соответствует автоколе. баниям только тогда, когда он будет устойчив в том смысле, что этот режим может существовать в системе неограниченно длительное время. Устойчивость периодического режима можно определить следующим образом. Предположим, что линейная часть системы в разомкнутом состоянии устойчива или нейтральна.
Дадим амплитуде периодического режима некоторое положительное приращение ЛЛ. Зто соответствует сдвигу от точки пересечения по годографу нелинейной части в сторону роста амплитуд. Для случая, изображенного на рис. 5.8, б, это будет сдвиг по годографу .-г„(а) влево и вниз, что соответствует росту модуля г„(а) и уменьшению модуля В'„(а).
В результате произведение (Г„((ы)%'„(а) уменьшится по модулю, и АФХ передаточной функции разомкнутой системы (рис. 5.8, а) уже не будет проходить через точку ( — 1, 10), а пройдет так, что точка не будет охватываться АФХ. Но этот случай соответствует устойчивости замкнутой системы в том смысле, что процессы в ней должны быть затухающими.
Поэтому амплитуда колебаний будет уменьшаться. Таким образом, положительное приращение амплитуды колебаний для случая, изображенного на рис. 5.8, б, влечет за собой переход к затухающему процессу, что вызывает уменыпение амплитуды. Аналогичным образом можно показать, что всякое случайное уменьшение амплитуды колебаний приводит здесь к возникновению неустойчивости замкнутой системы, появлению в ней расходящихся процессов и восстановлению прежней амплитуды колебаний,-- Следовательно, всякое случайное отклонение амплитуды колебаний от амплитуды периодического решения Л (рис.
5.8, б) так изменяет систему, что амплитуда восстанавливает свое значение. Зто соответствует устойчивости периодического режима, который, следовательно, соответствует автоколебаниям. Критерий устойчивости периодического режима здесь сводится к тому, чтобы часть кривой — г„(а), соответствующая меньшим амплигудам, охватывалась АФХ линейной части. Зтот случай относится х виду АФХ системы, который соответствует наличию одной точки пересечения характеристики с отрицательной частью оси вещественных значений (рис.
5.8, а). На рис. 5.8, в изображен более сложный случай, когда ЛФХ разомкнутой системы имеет два пересечения с отрицательной частью оси вещественных значений. Здесь возможно прохождение ЛФХ через точку ( — 1, 10) при двух значениях амплитуды: А, н А, и соответственно при двух частотах: Й, и О,. На рис, 5.8, в для этого случая показано взаимное расположение годографов линейной и нелинейной частей системы. Две точки пересечения соответствуют двум возможным периодическим решениям с параметрами А, и ь)т в одной точке и А, и ьаа — в другой.
Аналогично тому, как это делалось в проделанном анализе, можно убедиться, что первая точка соответствует неустойчивому периодическому режиму, а вторая — устойчивому, т. е. автоколебаниям. В более сложных случаях, например при неустойчивой в разомкнутом состоянии линейной части, можно определить устойчивость получаемого периодического режима, рассматривая расположение ЛФХ разомкнутой системы.
Общим здесь остается то положение, что для получения устойчивости периодического режима необходимо, чтобы положительное приращение амплитуды приводило к сходящимся процессам в системе, а отрицательное — к расходящимся. При отсутствии в системе возможных периодических режимов, близких к гармоническим, что обнаруживается изложенным расчетом, существует много различных вариантов поведения системы. Однако в таких системах, где линейная часть обладает свойством подавления высших гармоник, особенно в таких системах, где при одних параметрах имеется периодическое решение х=А ып И, а при других— нет, есть основания полагать, что при отсутствии периодического решения система будет устойчива относительно равновесного состояния.
В этом случае устойчивость равновесного состояния можно оценить требованием, чтобы при устойчивой иля нейтральной в разомкнутом состоянии линейной части ее ЛФХ не охватывала годографа — гн(а). Пример расчета автоколебаний. Рассмотрим релейную следящую систему (рнс. 5.9), осуществляющую автоматическое слежение по направлению. Система содержит нелинейное звено НЗ, представляющее собой чувствительный элемент с релейной характеристикой Г (е), где ат и иэ — углы поворота задающей и исполнительной осев) а=аг — сса — ошибка (рассогласование) системы, и линейную часть ЛЧ, содержащую усилитель, исполнительный двигатель и редуктор. Передаточную функцию линейной части запишем в виде йга (р)= р В+Тур)(1+Т,р) где йт — коэффициент пропорциональности между напряжением на входе усилителя Уэх и частотой вращения исполнительной оси аэ в установившемся режиме; Тт и Та — постоянные времени усилителя и двигателя.
Напряжение на вход усилителя поступает от релейного чувствительного элемента в соответствии с зависимостью У,„ = Уе при е ~ Ь, У „ =0 при 1е~ ( Ь и СГэх= †(/Е Прн с~ †. ЗДЕСЬ Ь вЂ” ЗОНа НЕЧуВСтВИтЕЛЬНОСтИ рсасйНОГО ЭЛЕМЕНта. Примем следующие числовые значения: Тт — — 0016 с, Т,=0,1 с, Ь=)угл. мин. 161 Установившаяся скорость исполнительной оси при подаче напряжения от чувствительного элемента на вход усилителя ах = 4'(с=240 угл. мин(с. Найдем добротность по скорости линейной части с присоединенным коэффициентом передачи нелинейного звена й,=(!а(Ь: К == агссЬ = йгйх =- 240 с Частотная передаточная функция линейной части йга ((рн) = . К !лв(!+)ыТ,) (1+!ыТ,! д(г) Рис. 5.9 Годограф линейной части изображен на рнс. 5.10, На основании табл.
5.1 (при с.= 1 в Ь=1) нормированное значение коэффи. циента гармонической лииеаризации ! ./ с(с (а) = — у 1 —— аУ где а=а(Ь вЂ” относительная амплитуда. Так как для рассматриваемого случая д' (о).—.-0, то Ю„~ (а) =с(а(а), а также — гс (л) = — 1(й'„, (а). - — паз((4 у аз — 1). Графики изменения с(с(а) и г„(а) в функции относительной амплитуды изображены иа рис.
5,11, а, б. Годограф нелинейной части — ге (а) изображен на рис. 5.10. Он построен в соответствии с рис. 5.11, б. Годограф имеет две ветви. При а — 1 значение — гз (а) уходит в — со вдоль вещественной оси. При увеличении относительной амплитуды модуль величины — гс(а) уменьшается, при а=-)' 2 достигает мянимального значения: )гс(а))=п(2, а затем — га(а) уходит опять в — со вдоль оси вещественных значений. Годограф линейной части может иметь с годографом нелинейной части две точки пересечения.
Нижняя из пих в соответствии со сформулированным критерием соответствует устойчивому периодическому режиму, т. е. автоколебаниям. Для нахождения частоты периодического режима необходимо определить, при какой частоте годограф линейной части пересекает отрицательную часть оси вещественных значений. Это будет тогда, когда сдвиг фаз, т.
е. аргумент комплексной величины (р (!ы) достйгает значения — 180'. Из выраженвя для й а (!ы) имеем ф= — 90= — аго1ц ыТ, — ага!я ыТс. Отсюда, полагая а=й, вмеем ГГ (Ту+ Тх) аго1цГ)Т +аго(ц ьлТх-— -аго16 з =90'. 1 — батут„ Решая последнее равенство, находим угловую частоту автоколебаний; О=1(угТуТа=-1()' 0,016 0,1=-25с 162 т!та частота соответствует периоду автоколебаний т = 2л!1) =6,28/25 0,25 с. Ллн нахождения амплитуды автоколебаний определим значение модуля ~ Гэ()ы) ~ = = )гэ (а)) в точке пересечения.
Модуль частотной передаточной функций линейной части при в=.ьт К Кту!'э 240.0,016.0,! 3,3. ,рг,, т„+т оо!о+о,! Следовательно, ! ээ(а) !=паэг(4 Г' цэ — !) =3 3. Рещение этого уравнения дает два значения относительной амплитуды: а' = 1,8 и а"=4,1. В соответствии с рис. 5.!О устойчивому периодическому режиму соответствует пересечение гало- графа линейной части с нижней ветвью годографа нелинейной части, где амплитуды больщс. Поэтому значение а"=4,1 соответствует ! амплитуде искомых автоколебаний: А =ага = =1 4,1 =4,1 угл.
мин Из рнс. 5.10 может быть получено условие отсутствия автоколебаний в рассматривае- др мой системе. Очевидно, что пересечения двух годографов не будет, если при ф= — 180' мо- 0 пуль ! Я'»()ы)! < и!2. В соответствии с иэло. женным это условие запищем следующим об. разом: кт„т т+т < аЪ ~-~-~'т, 'р 1+аэт„' Рис. 5.!О р,(щ! фб хэ (сг! 0,4 Рис. 5.11 Откуда может быть получено требование к добротности по скорости: и/! 1 К=й,йэ< ~ — + —, 2 ~ тг тд,)' при выполнении которого в системе будут отсутствовать автоколебания. й 5.3.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 161 Основы метода. Исследование прохождения случайных сигналов через нелинейные звенья автоматических систем сопряжено со значительными трудностями и в большинстве случаев не может быть осуществлено точными теоретическими методами. Поэтому в основном для исследования подобных систем нужно использовать моделирование на ЭВМ. Однако иногда требуется хотя бы ориентировочно оценить влияние нелинейных звеньев при теоретическом анализе системы. В этом случае приобретают значение приближенные методы. Одним нз наиболее удобных является метод статистической лннеарнзации. При его использовании предполагается, что случайные воздействия на автоматическую систему имеют нормальное распределение. После »3 63 прохождения таких воздействий через нелинейные звенья нормальное распре- У(г1 >г(д) >=>х) деление будет нарушаться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
