Бесекерский В.А., Елисеев А.А., Небылов А.В. и др. Радиоавтоматика. Под ред. В.А.Бесекерского (1985) (1095884), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Большинство нестационарных систем относится к так называемым квазистационарным системам, параметры которых меняются сравнительно медленно. В таких системах коэффициенты дифференциального уравнения мало меняются в течение времени переходного процесса, определяемого временем затухания нормальной функции веса. Дифференциальное уравнение первого порядка г(х~г)1+Р (1)х=Я (() имеет аналитическое решение: х(() =е-зсп ) ) 0(1) ел пас((+С~', (4.8) где 5(1)=1Р(1)й; С вЂ” постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями. Пример 4.1.
Пусть имеется уравнение — +а,х=(. с1х (4.9) Определяем дли исто семейство переходных характеристик и (1 — О О) = ч (т, О). 135 Для единичной ступенчатой функции уравнение (4.8) можно записать а виде ах ! — +атх = 1 (! — О). д! Приведем (4.9) к виду (4.8): дх а, 1(! — 0) — + — х= Л При атом получаем Р (!) —,д ел1г! 5(!)=~Р(Е)Ш=~ — "' Ш=а,1пй е-ЗН1=Га*; 0(!)= — '" 0 (!) ела" Л = !а )аг. Учитывая, что х(!) =е-лю ~ ~ !> (!) ежа а!+С~, получим а(! — 0 0) = 1-а,>С Х(!е )ах+С) = !(от+С)!' .
При нулевых начальных успениях (для 1=0) должно выполняться равенство а(0, 0)=0. Определяем постоянную интегрирования С = — дгч/ат. Окончательно 4(! — ча 0) — '(1 — (0Д)" ). ат (4.10) Дифференцируя выражение (4.10) по дт получим функцию веса д да,-т '!' 0) а дд или Запишем дифференциальное уравнение в более общем виде а, Я вЂ”, +а, Я х Ье (!) ~ Я и приведем его к виду (4.8) — + — х = — ((!).
ах а,(б и! а (!) (!) !лели входной сигнал представляет собой единичный н, пул приложенный в момент времени (=Ь, т. е. )(!)=Ь(( Ь), то, при нулевых начальных условиях будет соответствовать й !Зб да> т ге(т, О)=- (4.11) Для уравнения (4.8) весовую функцию можно найти сразу из общего решения, если на вход подать единичный смещенный импульс 11(!)=ь(! — ь). проделав необходимые выкладки, получим г ш(( — Ь, Ь)=е л<'о1, где )т((, Ь)= ~ Р(()Ш.
(4,12) ункции ш(à — О, д)= — "е-"н а), Ь. (б) ао (6) й (Г, д) =) — г(!=а,1п —. г (4. 13) Рассмотрим опять в качестве примера уравнение (4.8). Приведем го к виду — + — 'х= — Г(Г). Гогда К(г, 0)= С вЂ” 'а!=а,1п —, д' е ~ также функция веса -а,!и — 'би,-1 ш(( — д, 6)=- — е (4.14) что совпадает с выражением (4.!1). В богьшпнстве случаев прп исследовании нестационарных систем прибегшот к численным илн графическим методам П1, 34).
Метод последовательных приближений используют для нахождения весовой и переходной функций, а также для определения реакции системы прп любом известном входном воздействии Г(Г). Рассмотрим исходное уравнение (4.!). Пусть коэффициенты а,(1) меняются во времени сравнительно медленно. Для некоторого момента времени представим их в виде суммы постоянной и изменяющейся частей: аг'(г) =а';+а,' = а, (Ь)+а; (г' — д), После этого исходное уравнение (4.1) запишем в виде а, '— „+... +а',х=)„(1) — у(1), (4.15) г 1с(г) =ьоя —,"„,„'+ . ° ° +ь. (() ~, у(Г)=а,',, + .".~'+а„'х.
где х(г) х,+х,+х,+... Зафиксируем переменные коэффициенты а, (1) = а,'(6). Для нахождения первого приближения (при «замороженных,коэффициен- 137 Так как коэффициенты а';(!) меняются сравнительно медленно, то функц»я у(г) мала и ее можно рассматривать как возмущение.
Тогда к Г4.15) можем применить метод последовательных приближений, и решение (4.15) запишем в виде ряда тах» необходимо решить уравнения ° "х1 о а, — „+... + а„х, = 1, (1). (4.16) Для получения второго приближения необходимо в правую часть уравнения (4.15) подставить первое приближение х„а з левую часть — х = х, + х,. В результате получаем уравнение с фиксированными коэффициентами: а,— „+ ... +а„'х,= — ~а,' — „+ ...
+а,'х,~, решение которого обычными методами позволяет определить х,. Повторяя этот процесс многократно, находим рекуррентиую формулу для определения я-го члена ряда: НЛХ ! я"ха х (1) = ~ ю (à — О, О) ) (О) бО. О (4.18) Предположим, что к входному сигналу 1(г) можно применить преобразование Фурье.
Тогда сигнал представим в виде 1Я= — ~ Р(1ю)е~"'Йо. 1 2л Объединив две предыдущие формулы, получим .~ О х(Г)= ~ ю(1 — О, О) — -~ г (1'о)е~""Но. иб 2я,) (4.19) В первом интеграле нижнйй'.предел равен — оо. Это означает, что входное воздействие может начаться в л1обой момент времени при г(0, в том числе и при р-'+-' — оо, Изменив в (4.19) порядок интегрирования и умножив правую часть иа еиме — ~""=1, получим +в х(Е)= — „~ г ()о)е~"'гйз ~ ю(г — О, О) х 1 О Р Хе ~" а а1ИО = — ') я7 (1ы, 1) г ()ы) е1 'йх 1 ва О (4.20) Ряд (4.25) сходится тем быстрее, чем медленнее изменяются коэффициенты аь Передаточная функция. Связь между входной и выходной величинами в нестациопарной системе определяется интегральной зави- симостью Отметим, что здесь введена параметрическая частотная сгередаточная (Ьункг(ия нестационарной системы: с 'гг'(/ог, 1)= ~ го(1 — О, О)е-'"п-о>йО.
При переходе к реверс-смещению 0=1 — О эта функция принимает внд ~О У ()ог, 1) = ) ш(0, 1 — О) е-ссса йВ. о Правая часть, находящаяся под знаком интеграла, представляет собой изображение Фурье функции времени х(1), поэтому Х (/ог, 1) =Я7 ()ог, 1) Р()со). Итак, изображение Фурье выходной величины нестационарной системы Х()ог, 1) есть изображение Фурье входной величины Г()ог), умноженное на параметрическую частотную передаточную функцию. Разница по сравнению с системой, имеющей постоянные параметры, заключается в том, что выражение (4.16) записано для фиксированного момента времени 1=сопз1.
Поэтому частотную передаточную функцию называют параметрической (так как в Ю'((ог, 1) входит параметр 1). Переходя в формуле (4.20) к преобразованию Лапласа, получим х(1) = — ) я7 (р, г)г" (р) еесйр, где параметрическая передаточная функция .с. ° 1Г(р, 1)= ) ш(1 — О, О)е-Яг' огаО= ') ш(0, с — 0)е-еайВ. (421) Использование формулы (4.21) для нахождения параметрической передаточной функции нерационально, так как требует знания весовой функции, что усложняет задачу. Более удобно находить параметрическую передаточную функцию непосредственно из исходного дифферендпального уравнения (4.1). Пусть 1(1)=б(1 — О). Тогда решение этого уравнения будет соответствовать функции веса ис= =ш(1 —.О, О). Подставим эти значения в (4.1): ~ а, (1) —,, +... + а„(1) ~ ис (1 — О, О) = [Ь, (1) р'" +...
+ Ь„(1)1 б (1 — О) . (4.22) Умиожим левую и правую части (4.22) на е»е и проинтегрируем по Ь в пределах от — со до (» ~,. [5 и — ь. 6)~ю~4-..-~ .Р)х х(( и — »,а> ч»)=з,р)р.~-...~-ь.(»1~'. ь — м На основании (4.21) величины в квадратных скобках можно представить в виде ш(( — д, 0) егег<б=%'(р, г) а"~. О Гогда а, (<) — „,„~Р' (р, <) ег') +... + а„(Г) [<р (р, <) х хег'1 =<Ь,(<) р +...
+ь (г)3е". Продифференцировав левую часть и сократив на е»', полу~им Ы~ акт 1 И"А Л" Я7 в ( Здесь введены обозначения А(р, <)=а,(<) р" +... +а„(<), в (р, <) = ь, (<) р-+... +ь„<г). (4. 24) Уравнение (4.23) может быть решено методом последовательных приближений. Для этого запишем его следующим образом; А<р, г)(р(р, <)=в(р, <)+ь«рр<р, <)), аА а(З 1»пА дл((7 т Л ((Р (р, ()) = — ~~ — — +...
+ — — — 1. (4.2б) [др а~ '" ш ар. Решение будем искать в виде ряда <г'(р, Г)=<У»(р, ()+<г»(Р Г)+.. Положив У=О, получим первое приближение (4.26) л (р, ~) ' Формула (4.2б) есть передаточная функция системы с кзаморожен- ными» коэффициентами. для вычисления первой поправки <<Г,(р, Г) подставим первое приближение в правую часть (4.22), тогда <р ( г) —— .4 (р Г) Формула для Ьй поправки имеет вид д'<мг»»(р, »)) (4.27) А(р, ») По найденной'функции Гг'(р, г) можно получить параметрическую частотную функцию <<г(<ь», () подстановкой р=<ь».
140 Ввиду сложности математического решения синтез систем радио- автоматики с переменными параметрами, как правило, осуществляется вычислительными машинами непрерывного или дискретного действия, а также посредством реального моделирования. ЭВМ позволяют просмотреть все наиболее важные режимы работы системы, оценить ее качественные показатели и подобрать необходимые корректирующие средства. Однако часто, особенно для квазистационарных систем, синтез можно провести аналитическям путем. Это позволяет более сознательно подойти к определению структуры проектируемой системы и параметров корректирующих средств, что значительно сокращает объем последующих исследований и проверок на ЭВМ и моделях. На практике применяют приближенные методы, два из который приведены ниже.
Метод замороженных коэффициентов. Замораживание коэффициентов исходного дифференциального уравнения достигается путем замораживания переменных во времени параметров в фиксированный момент времени» вЂ” О. При этом нестационарная система сводится к системе с постоянными параметрами, но разница заключается в том, что исследование системы с замороженными коэффициентами должно гюследовательно проводиться для различных моментов времени ~=О, 0<О<Т, где Т вЂ” время работы системы.
Если во всем рабочем интервале времени от О до Т качество системы радиоавтоматикп оказывается приемлемым, то ее считают работоспособной и при изменении коэффипиентов уравнения в исследованных пределах. Эффективность данного метода может зависеть от правильного выбора фиксированных моментов времени, для которых замораживаются коэффициенты. Необходимо так их выбирать, чтобы охватить все возможные варианты значений коэффициентов, обратив особое внимание на точки, в которых происходит значительное изменение коэффициента или смена его знака.
Метод замороженных реакций. Во многих случаях переменными параметрами обладает не вся система, а одно из ее звеньев. Чаще всего таким звеном является объект управления. Задача синтеза будет сильно упрощена, если звено с переменными параметрами исследовать отдельно, а затем приближенно заменить его в окрестностях некоторой точки О, эквивалентным звеном с постоянными параметрами. Этот метод более точный, чем метод «замороженных коэффициентов».
Идея его состоит в следующем. Пусть имеется некоторая система управления, содержащая звено с переменными параметрами. Часть системы, соответствующую постоянным параметрам, выделим в,отдельное звено. Для звена с постоянными параметрами может быть. определена весовая функция ш»(т), зависящая только от времени т= =( — О, и соответствующая ей передаточная функция О ()7,(р) = ) ш(т)е-'Р«(т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
