Бесекерский В.А., Елисеев А.А., Небылов А.В. и др. Радиоавтоматика. Под ред. В.А.Бесекерского (1985) (1095884), страница 23
Текст из файла (страница 23)
3.1, в. Формула спектральной плотности (3.6) записана для угловой скорости процесса 11 (см. рис. 3.2). Если перейти от угловой скорости к углу, то получится нестационарный случайный процесс с дисперсией, стремящейся к бесконечности. Однако в большинстве случаев следяьцая система, на входе которой действует этот процесс, обладает астатизмом первого и более высоких порядков. Поэтому первый коэффициент ошибки с, у следящей системы равен нулю. Это дает возможность использовать спектральную плотность (3.6) при расчете динамической ошибки следягцей системы. Недостатком формул (3.5) я (3.6) является также то, что подобная модель входного процесса приводит к бесконечной дисперсии углового ускорения, что определяется принятым мгновенным переходом от одной угловой скорости к другой (см. рис. 3.2).
Для более точного описания входного процесса принимают, чтоэти переходы совершаются не мгновенно, а по экспоненте с некоторой постоянной времени. Это показано на рис. 3.2 штриховой линией. При такой модели входного процесса вместо выражений (3.5) и (З.б) получаются следующие зависимости: Яп(т) Рп ! ' е-! Я Нг, ' -е-! Я !Iгя~ и! т,— т, т,— т, 2 (Тд+ Т ) Рп 2ТЯР 2Т,"Рг, (1+аЯТд) (1+аЯТя) (Т,— Тя) (1+а'Тд) (Тя — Т,) (1+ адтяд)' (3.8) где Т,— среднее время, которое проходит от одной перемены скорости до другой; Тя — постоянная времени экспоненты, характеризудощая инерционные свойства объекта.
Если перейти к угловому ускорению е=ая)1я(1, то для него )'(')=Рп~(т.(т — .)' ' "+т.(т.— т)' ""~= Р ~ Я е !Я!!г + д е-!Я!!гя) т т т — т т — т 2а (тд ття) Ра тая(тд+тя) тдтяРя (1+аЯТЬ (1 +аЯТЬ (1 +аот',) (!+ адт)) 2ТдТяРя 2тдтяРя (т,— тя)(1+ Ят!) (т,— т,)(!+адтд) ' Здесь Рх=Р„)(Гдт,) — конечная дисперсия углового ускорения на входе. 4. Нерегулярная качка.
В некоторых случаях угловые перемещения подвижного объекта, вызванные воздействием волнения при движении в водной среде или турбулентностью атмосферы при движении в воздушной среде, описываются гармонической функцией и=А з(п())я+я(д) с известными амплитудой А н угловой частотой р, соответствующей собственной частоте колебаний объекта, и неизвестной начальной фазой яР, лежащей в интервале Π— 2п. Для движения такого типа корреляционная функция имеет вид Ко(т)=-Ря сов ()т, где Ро=0,5АЯ вЂ” дисперсия рассматриваемой координаты (напрнмер, угла наклона).
Однако на самом деле рассматриваемое движение обычно отличается от гармонического (рис. З.З, а). Для учета затухания корреляционной связи между последукщими и предыдущими значениями рассматриваемой координаты вводят корреляционную функцию вида (рис. 3,3, б). Яя (т) = Р,е — дд-! ' ! соз ())т), (3.9) где р — пресбладакщая частота (близкая к собственной частоте колебгнвя сбъекта); (д — параметр затухания. Для этой корреляционной функции спектральная плотность ! ') аР, (1+ Ьад) о( ) =р о ( !дя+(р — а)я + !дя+(й+а)я ) ! !+а!а+Ь(!а)я/я' Здесь а=2рЦ)яд+Я; (д=1!(рд+)дд).
108 График спектральной плотности изображен иа рис. 3.3, а, Неудобством рассмотренной агироксимации (3.9) является то, что этой формулой можно описать поведение какой-либо одной координаты — в данном случае угла наклона объекта. При этом дисперсия угловой скорости стремится к бесконечности. Для описания процесса, представляющего собой угловую скорость, можно применить формулу (3.9) непосредственно к этому процессу. Однако при этом дисперсия угла наклона будет стремиться к бесконечности. су Более удобно записать корреляционную ф~нкциго в виде )г,(т) =))е-и1 1 ~совет+ 1' з!п))ут)~, при этом спектральная плотность + 2Р+уг 1 2аУУа уга+(9+ау)и1 ! 1+ауиу+Ь(ум)' 1а ) ' а спектральная плотность для первой производной рассматриваемой координаты ) 1+ ау га+ Ь (Уи)и '1 а Ее интегрирование в бесконечных Рис.
3.3 гределах дает конечную дисперсию угловой скорости: О,=)'.),()г'+~'). Однако дисперсия углового ускорения и здесь получается бесконечной. Чтобы получить конечное значение дисперсий первой и второй производных",рассматриваемой координаты, требуется использование еще более сложных выражений для корреляционной функции. Узкополосные случайные процессы. Случайный процесс с непрерывным энергетическим спектром называют узкополосным, если его .энергетический спектр сосредоточен в относительно узкой полосе частот около некоторой частоты ау,.
Условие узкополосности математически может быть выражено неравенством ауа(<га„ где ау, — центральная частота спектральной плотности мощности. При некоторых весьма общих предположениях (8) можно по заданному случайному стационарному процессу х(У) образовать с помощью преобразования Гильберта новый сопряженный х(У) стационарный случайный процесс у (у) = — (пп ) — у(т. 1 . Г х (т) -г 109 Тогда случайный процесс х(1) и ему сопряженный процесс у(!) удобно представить в виде х Я = Е (() сов Ф (Г), у (!) = Е (!) в(п Ф (г), (З.)О) Можно показать [8), что взаимная корреляционная функция случай- ного процесса х(1) и сопряженноГо ему процесса у(1) О Йщ(т)= — Я„„(т)= — ! 5(а) в!патаа, 1 Г о где 5(а) — энергетический спектр процесса х(г). Взаимный энергетический спектр процессов х(!) и у(!) определяетси соотношением ( — !5(а), а> О, 5„(а) = 15 (а), а < О.
Энергетические спектры исходного х(1) и сопряженного у(!) случайных процессов совпадают друг с другом, ибо они по определению имеют одинаковые амплитудные составляющие, фазы которых сдвинуты на и!2, а энергетический спектр не зависит от фаз. Из последнего выражения следует, что при т=О эти случайные процессы некоррелированы, а если они являются гауссовыми процессами, то эти процессы независимы. Особый интерес представляют так называемые узкополосные случайные процессы. Рассмотрим выражение для корреляционной функции узкополосного стационарного (по крайней мере, в широком смысле) случайного процесса М Й (т) = — ~ 5 (а) сов ат с(а. 1 Г Введем новую переменную а=а,— а, где а, — центральная частота спектральной плотности мощности исходного случайного процесса х(1).
Тогда ие Й (т)= — ] 5(а,— а) сов [(а,— а) т]йо= 1 г" — ] 5(а,— а) сов ат йо сова,т+ г + — ! 5(а,— а)в!патйо в!па,т. 110 Введем обозначения «« Я, (т) = — ) Я (о, — а) соз ат йо, 1 а «« Й~ (т) = ) 8 (ы«О) з1ПОусйО 1 — « Из последней формулы находим 1г (т) = Я, (т) соз 1а„т — р (т)), где Я,'(т)=й«,'(т)+Р,'(т); р(т)=агс1ц 111«,(т)/й«,(т)). Так как энергетический спектр Я(а,— о) расположен в низкочастотной области, что вытекает из условия узкополосности исходного случайного процесса, то Я,(т) и й«,(т) будут медленно меняющимися функциями т. Если 5(ы,— а) можно считать симметричной относительно центральной частоты а„то «(.>= — 1«(..—.> ° «.)..«-«,ь)-"«.
— « Следовательно, корреляционная функция узкополосного процесса. энергетический спектр которого расположен симметрично относительно высокой частоты а„ равна умноженной на соз м,т корреляционной функции й,(т), соответствующей спектру, полученному из исходного смещением на а, в область низких частот. Из выра'кения (3.10) вытекает справедливость равенств Е (1) = и' х'(1)-(-у',(г) и Ф(г)=агс!цЯ, где Е(1), Ъ (1) — огибающая и фаза исходного случайного процесса х(1) Введем обозначение Ф(1)=со,г — «р(1) и, подставив его в (3.10), получим х(1)=Е (Г) соз !ы à — ~р(т)) =А (1) созаг+С(1) з!па«Г, у Я = Е (1) з !п 1ы„! — ~р (г)~ = А (г) а!и ы,г — С (1) соз ы«1, где А (1) = Е (1) соз «р (1); С (1) = Е (1) з !в «р (1).
Отсюда Е (г) =~/ А'(1)+С'(1); ~р(г)=агс(п — 1. Иногда вводят понятие комплексной огибающей 2(г) узкополос- ного случайного процесса х(1): х(г) — ме У(1) е1«««~, где 7 (1)=Е (1)е — 1т щ, Из (3.10) также следует А(1) х(!)сояа,!+у(1)я!пао1, С (!) = х (г) я1п ао! — у (!) соя ао!. (3.11) Обозначим 1гл(т), 1>>с(т), Иле (т), Ясл (т) корреляционные и взаимно корреляционные функции введенных случайных процессов А (!) и С(1).
Тогда из (3.11) следует Ял (т) = )тс (т) = Я (т) соя а,т + );>„о (т) я!и а т, Йлс (т) = — М~сл (т) = Я,(т) я>п аот Йоо (т) соя соот. (3.12) С учетом (3.12) определяем К (т) = Ил (т) соя о>,т+ Рис (т) я 1и а,т. Выражая корреляционную функцию Р (т) процесса через энергети- ческий спектр Я(а), из (3.12) имеем Ь'л (т) =)~с (') = — ) 5 (") соя [(а — а.) т1 "" ! Г о Для узкополосного процесса о 1ол(т) =Ис(т) = — ~ Я(ао — а) сояато(а.
! о (3. 14) оо )>лс(т>= — Йсл(т)= — ) 5(а)я1п[(а — а,)т|йо. (3.15) ! Г о Для узкополосного процесса, принимая во внимание (3.15), на- ходим о )тле(т) = — Лсл(т) = — „) ~(ао — а) я>пат (а. ! о !!2 Из формулы (3.13) следует, что дисперсии введенных в рассмотрение случайных процессов А(!) и С(!) одинаковы и равны дисперсии исходного процесса х(!), т. е. )ол(0)=)ос(0)=)о(0). Соотношение (3,14) показывает, что для узкополосного исходного случайного процесса х(!) корреляционные функции случайных и». цессов А(!) и С(1) — медленно меняющиеся функции по сравнению с соя ао!.
Принимая во внимание (3.10), находим, что корреляционные функции огибающей Е (г) и фазы >р(г) также являются медленно меняющимися по сравнению с соя аог, а их энергетические спектры сосредоточены в низкочастотной области. Отсюда следует, что узкополосный процесс носит характер высокочастотного колебания частоты а, и медленно меняющихся огиба>ошей и фазы. Для взаимных корреляционных функций процессов А(!) и С(1) из (3.12) имеем Из формулы (3.15) вытекает, что при т=О, т. е. в совпадающие мо- менты времени, случайные процессы А (Г) и С(1) всегда некоррелиро- ваны, а если А (1) и С(1) — гауссовы процессы, то они еще и независимы между собой, Прохождение случайных процессов через разомкнутые линейные цепи. Злементы радиоавтоматических устройств подразделяют на нелинейные неинерционные и линейные инерцион- ные. Ранее были даны соответствующие определе- ф ~и†ния и указаны их основные свойства, которыми у/и теперь н воспользуемся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
