Бесекерский В.А., Елисеев А.А., Небылов А.В. и др. Радиоавтоматика. Под ред. В.А.Бесекерского (1985) (1095884), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Известно [5), что любое линей)1ое инерционное звено или система полноРис. зм стью о1тнсываются передаточной функцией Ю(р) и функцией веса ю(г), связанными между собой преобразованием Лапла- са: Ят (р) =1. (ю(1)), $Пусть имеется разомкнутое звено, описываемое указанными ха- рактеристиками, на входе которого действует случайный процесс х(1) с корреляционной функцией г(„(1„1,) (рис. 3.4), На основании известной формулы свертки (интеграл Дюамеля) выходнол сигнал д 11) = ~ ю (т) х (1 — т) дт = ~ и (1 — т) х (т) бт. (3 16) о ~о Дляуматематического ожидания случайного выходного процесса у(1), используя возможность перестановки нахождения среднего и интегрирования, получим И1(у(1)) = ~ в(1 — т) хКт)т(т= у(г).
",,',(3.1У) о Для определения корреляционной функции Ра(1„1,) выходного процесса у"'(г) найдем центрированное значение выходного процесса, положив л"(1)=х(Г) — х(1), у'(1)=у(1) — у(1): у",(1.) = ) ~.'(ч) '(1 — ч);бч а у'(1.) = ~ и (ЧМх',(1 — Ч) 1Ч о Для корреляционной функции Ра(1„1,1 из (3.18) получаем )~„,'(1„ 1.~ = Л4 Ь' (Г ) Р' (Г,)) = ~ ~ ю (Ч) '()~) М ( (1 — Ч) л (1 — )„)) Х о О1 Х(Ч 1).=К) ю(ц)1ю())Р.Е(1.— )). (Г,— ЧЛ Ь1(), (318) где Я„(1;, 1Д определяется для входного случайного процесса л(1). а за.зм 113 Дисперсия выходного процесса получается из формулы (3.19) при В„(1,) = ~ ш(т)) дт) ~ ш(Х) Я„~(1,— т1), (Г,— Х)) НХ.
(3.20) о о Предположим, что случайный процесс на входе является стацио- нарным, т. е. его корреляционная функция Я„.(1„1з)=Я„.(т) зависит только от сдвига 1,— Г,=т. Однако за счет конечной полосы пропуска- ния любого звена процесс на выходе вначале будет нестационариым, а его корреляционная функция и дисперсия могут быть определены с учетом общих выражений (3.!9) и (3.20) по формулам и К„(1„(,) = ~ ш (т1) Нт1 ~ ш (Х) Я„(т — и+ Х) Ю, (3.21) Ц (1,) = ~ ш(т1) с~~) ~ ш (Л) Й„() — и) г0.. о о Если в (3.21) 1,-+- оо и 1, -~- со и рассматриваемое звено (или система) устойчиво, то г( (1„1~) и Р (С,) стремятся к некоторым пределам: (3.22) Для нахождения указанных статистических характеристик установившегося стационарного процесса на выходе системы можно воспользоваться и спектральной плотностью входного процесса 5„(а). Между спектральной плотностью процесса на выходе линейного звена с передаточной функцией К(р) и входной спектральной плотностью 5,(м) имеется зависимость [3, Я Я„(и)=', В'()ы) ~'5„(в).
(3.23) Для нахождения дисперсии В, выходного случайного процесс необходимо проинтегрировать по всем частотам спектральную плотность, определяемую по формуле (3.23): О Ю В = — ~ 5 ~(ы) йо — ~ (%'((а) (аЯ (а) с(о). (3.24) ! З -в В частном случае, когда физические размерности входной и выходной величин одинаковы, а входной процесс представляет собой белый шум Я„(а)=)Ч=сопз(, дисперсия выходного процесса Р„= — ~ ( В' ((а) (' йа = й(Л~„ (3.25) ОЭ 114 где Л(, — эквивалентная полоса пропускания белого шума, определяемая как интеграл в бесконечных пределах от квадрата модуля частотной передаточной функции.
При вычислениях интеграла (3.24) обычно приходится иметь дело подынтегральным выражением вида 1В()оо)ИА (!оо)1к, где А(1оо) и В ()оо) — некоторые полиномы комплексной переменной )оо. Учитыная, что в реальной системе при наивысшей степени полинома знамевателя 2л степень полинома числителя не должна превосходить 2л — 2 для удобства интегрирования представим это выражение в виде 1В((оо) р Ьо(ао)'к к+Ь|(ао)кк к+...+Ь„ 1 А Ооя 1к ! ао ((м)" +а, (1м)"-'+...
+ ах 1к В приложении 1 вычислены интегралы этого типа до значений в=5. Рассмотрим несколько примеров прохождения случайных процессов через типовые линейные звенья. 1. Диффвренпируюп(ее звено. Для определения корреляционной функции процесса на выходе дифференцирующего звена необходимо вначале ввести понятие производной случайной функции (8). Производная случайной функции х(() ах (1) 1. х (С +Д1) — х (1) (3.26) В (3.26) под пределом понимают предел уже не случайной функции, а дисперсии 11пм/Г (1) х(1+до)- (1)1к1 О Для дифференцнруемости случайной функции х(г) необходимо чтобы она была непрерывной в среднеквадратическом значении: 1пп М([х((+Л() — х(Г))') =О.
(3.27) Однако не все случайные процессы, непрерывные в среднеквадратическом значении (3.27), имеют производные, т. е. дифференцируемы. Заметим, что достаточным условием дифференцируемости стохастического процесса является ограниченность второй производной от корреляционной функции. Для стационарных процессов это условие соао1к (т) стоит в выполнении неравенства и к < аа при любом т, из которого вытекает другое условие днфференцируемости )г (0) Саа. Найдем среднее значение производной от случайного процесса.
Учитывая определение (3.26), для у(()=г(х(г)И имеем М( (Г)=М! 1 х "+") — '(')~= (ы о М (х(1+До)) — М (х(1)) и Д1 М О' Зак. 561 115 т, е. математическое ожидание производной процесса равно производной его математического ожидания. 2. Интегрирующее звено. Интеграл от случайной функции определяют, как и производную в среднеквадратнческом значении. Итак, с д (г) = 1 х (Л) Ю. о (3.28) Представл„я интеграл (3.28) как предел суммы, почучим М Ь (У)) = М ( 1 х ()о) Ю 1 = 1 М (х (Х)) Ю, 1о у о Яо (оо) = оооЬ'1 (оо), при двойном дифференцировании — на оо' и т. д. При поступлении случайного сигнала на идеальное интегрирующее звено (3.28) с передаточной функцией Яг(р)=1/р спектральная плотность выходной величины (интеграла от входной величины) может быть получена делением спектральной плотности входной величины на оо'. 5о(оо) =я, (оо)!ио, при двойном интегрировании — на оо' и т.
д. Рассмотрим вопрос о взаимной корреляции процессов на выходах двух линейных систем, когда на их входах действует один и тот же случайный процесс х(1) со спектральной плотностью Я(оо). Пусть у,(1) и уо(1) процессы на выходах этих систем, а их функции веса: пь(1) и ио(1). Тогда в соответствии с (3.16) у, (1) = ~ ов, (1 — т) 'х (т) с(т, Ф уо(1)= ~ ов,(1 — т)х(т)о(т. СО 116 т, е. действия интегрирования и нахождения математического ожидания можно переставлять, что было использовано ранее [см., например, (3.25) и (3.27)], При прохождении через линейные звенья и цепи изменяются законы распределения случайных процессов. Исключение составляет нормальный процесс, который на выходе любой линейной цепи сохраняет свое распределение, а изменяется лишь его корреляционная функция. При поступлении случайного сигнала на идеальное дифференцнрующее устройство (3.28) с передаточной функцией ЧУ(р)=р спектральная плотность выходной величины (производной от входной величины) может быть получена умножением спектральной плотности входной величины на оо': Взаимная корреляционная функция )т'„(1„1О) этих процессов по (3.19) Ь (г~, г ) ФО 1 1 пО (Ч) Оа.
(Ч) ЬО (1 — Л, 1 — т)) О(ЧО(Л. Для линейных систем с постоянными параметрами и стационарного в широком смысле случайного входного процесса последняя формула переходит в (3.21). Используя это соотношение и введенное ранее понятие взаимной спектральной плотности 5„(ы), получим 5ОО'(аа) = ~ ~ ~ Й(т=т1+Л) иО,(т1) ша(Л) е-1 'г(та(Л1(71.
(3.29) Заменой т на т — т1+Л в (3.29) удается 'разделить переменные интегрирования и получить 5ОО (ы) =Ф 5(в) ЯТ, фа) ПЯО ( — 1аа), (3.3О) где В',()аа), У'О(1аа) — передаточные функции соответствующих линейных систем. Если линейные системы одинаковы, то Ж',(уаа)=)Р'О()аа) и (3.30) переходит в (3.23).
Прохождение случайных процессов через замкнутые линейные системы. Рассмотрим замкнутую структуру с обратной связью (рис. 3,3). Корреляционные функции и спектральные плотности задающего воздействия д(1) и гй~ помехи ~(г) считаем заданными и известны- ТМ ми. УМ, У(1/ Пусть Ь,(1) функция веса для ошибки по задающему воздействию, а Ь1(1) функция веса Рис, з.в для ошибки по помехе. Тогда с учетом аддитивного характера взаимодействия задающего воздействия и помехи и формулы (3.1б) для ошибки е(1) получаем Ф О е (1) = ~ д (1 — Л) Ь, (Л) Ж, + ~ ) (т — Л) Ь (Л) г(Л, (3,31) а а Для корреляционной функции Я,(т) ошибки имеем Т Ф Ф )1', (т) = 11 — ~ ~(1 ~ д (О + — П) Ь, ( ) ~~ ~ Л (1 — Л) Ь, (Л) г(Л+ а О ОО Т + ~ (1 ~1(1+т — Ч) Ь,(П) Ь1~1(1 — Л) Ь,(Л) (Л+ ~,(1 ~й(1+т — П) Х вЂ” т а а -т а 117 Хй,(1) й)~Д( — й)й,(Ца+ ~ ((~й(( — З)й,(З) ().Х о -т о Ю ~с ) 1(Г+ — Ч) йс ()) П)1 Переходя к пределу, находим сс ( ) = 1 ссх 1 (ь (х) )с (т+)с — ч) ь (ч)+ь (х) )с (т+х — ч) ь (ч) 1- О Ф +йх()) йс (т+Х вЂ” Ч) й,(т))+Ь, Юй .(т+Х вЂ” Ч) йс(ч)) с(Ч, (3.32) где Нм(т) и Ям(т) — взаимные корреляционные функции.
Для спектральной плотности ошибки Я,(в) имеем Ю в Я, (в) = ~ Н, (т) е-св' с(т, О, = — ~ Я, (в) йо. 1 Как показано в (4], Я,(в) =) Н,(ссо) ~'Я (в)+(Н(св) /'Я (в)+ Н,(ув) Н;(ссо) Я (со)+ —,— Н," (усо) Н (св) Я (со), (3.33) где Н,(/в), Н(св) — частотные передаточные функции замкнутой системы для ошибки по задающему воздействию и для ошибки от действия помехи соответственно; Я (в) и Яс(в) — спектральные плотности полезного д(() и мешающего 1(с) воздействий; Яас (в), Ям (со) — взаимные спектральные плотности полезного сигнала и помехи (звездочкой обозначена операция сопряжения). Если между помехой ((1) и задающим сигналом отсутствует корреляция, то (3.33) принимает вид Я,(со)=!Н,(/в)!'Ях(в)+(Н(/в)~'Яс(со). (3.34) Если предположить, что помеха действует иа входе в месте приложения задающего воздействия д(1), то (3.34) переходит в формулу Я,(со) =~ + . ! Ях(со)+~ ", . 1Я (в).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
