Бесекерский В.А., Елисеев А.А., Небылов А.В. и др. Радиоавтоматика. Под ред. В.А.Бесекерского (1985) (1095884), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Ошибки слежения в установившемся режиме. Как следует из (1.1), >шибка е(1)=д(Г) — у(») замкнутой автоматической системы зависит от >ида задающего воздействия д(1). Поэтому при теоретическом иссле1ованин точности автоматических систем оценку установившихся ошиюк обычно производят для некоторых простейших функций времени, >ли типовых воздействий д(1), таких, как единичная ступенчатая функ>ни 1(Г), гармоническая функция и т. д, При анализе систем радиоавтоматнки в качестве типового воздей>твия широко используют полиномиальную функцию (2.23) .де д, — начальное значение задающего воздействия; д, — начальная :корость изменений задающего воздействия; д, — ускорение, с кото>ым изменяется задающее воздействие. Такая функция достаточно хорошо описывает движение объектов сопровождения.
При известном задающем воздействии д(Г) ошибка системы е(1)= =Н„(р)д(1), где Н,(р) — передаточная функция для ошибки по задаюцему воздействию Я 1.4). Установившуюся ошибку е„„определим как .(1)1» „. В соответствии с теоремой о конечном значении из свойств >реобразования Лапласа имеем еЯ1» =РЕ(Р)1 о, откуда следует, >то установившемуся режиму системы (» — оо) в области изображений оответствует значение р О. Поэтому при вычислении установившейся >шибки передаточную функцию для ошибки Н,(р) можно разложить з степенной ряд по степеням р в окрестности точки Р=О, т.
е, предста>ить в виде (2.24) о о где с„=( — '), й=О, 1, 2, /» "Н„> »>Р р= о Коэффициенты со называют коэффициентами о<пибок. Для изобра>кения установившейся ошибки при этом получим выражение Е (Р) = Н, (Р) С (Р) = (с,+ с Р+ — с р' +... ) С (р) (2 25) и, переходя во временную область, находим е„„(/) = (с, + с,р+ — сьп'+...
~ хг (/), р = — „, (2 26) или „„(/) = с,а (/)+ с,я(/)+ — с,я(/)+... + —, схй'"'(/) + =е,(/)+е, (/) —;е,(/)+... +е„(/)+..., (2.27) где ех(/)=с„доп (/)//г), А=О, 1, 2,... — составляющая установившейся ошибки системы по й-й производной. чм в Таким образом, каждый й-й коэффициент ошибки сд определяет значение составляющей ошибки по й-й производной входного воздействия. Использование полученного выражения наиболее удобно в случае, когда функция д(/) имеет конечное число т отличных от нуля производных, т.
е. когда я(/) — полиномиальная функция, например, вида (2.23). В этом случае бесконечный ряд (2.27) превращается в полипом, содержащий т+1 слагаемых. Из (2.27) следует, что при полиномиальном задающем воздействин основная составляющая установившейся ошибки определяется коэффициентом ошибки с наименьшим индексом, т. е. коэффициентом с„если он отличен от нуля, коэффициентом с, при с,=-О, коэффициентом с, при со=О, с,=О и т.
д. Можно показать, что для статической системы (т, е. для системы с астатизмом нулевого порядка) все коэффициенты ошибок отличны от нуля. При этом основную роль играет коэффициент ошибки с,=1/(!+ +К,), так как при полиномиальном задающем воздействии хг(/) этот коэффициент определяет наиболее быстро нарастающую во времени составляющую установившейся ошибки. Для системы с астатизмом первого порядка с,=О и основную роль играет коэффициент ошибки с,=1 К,. Для системы с астатизмом второго порядка равны нулю первые два коэффициента ошибок с,=с,= — О и основным коэффициентом ошибки является коэффициент с,=-2,'К,.
Вообще, для астатической системы с астатизмом г-го порядка обращаются в нуль первые г коэффициентов ошибок, т. е. с,=с,=...с,,= =О, и первым отличным от нуля является г-й коэффициент ошибки с„= =г1/К,. Таким образом, зная коэффициенты оц|ибок исследуемой системы, можно в соответствии с (2.27) оценить установившуюся ошибку системы при известном задающем воздействии д(/). В частности, для полиномиального задающего воздействия установившаяся ошибка приближенно может быть определена как ех„(/)=и(/)/(!+К,) — для статической системы, е „(/) =д(/)/К, — для системы с астатизмом первого порядка, е...(/)=д(/)/К, — для системы с астатизмом второго порядка, е,,„(/)=дел(/)/К, — для системы с астатизмом г-го порядка.
Заметим, что определение коэффициентов ошибок путем дифференцирования передаточной функции для ошибки — процедура довольно зо трудоемкая. Поскольку передаточная функция — всегда дробнорациозальная функция переменной р, коэффициенты опшбок удобнее нахо1нть делением числителя передаточной функции для ошибки на ее знаменатель с последующим сравнением полученного ряда с рядом ;2. 24) .
Ошибки типовых систем радиоавтоматики. Рассмотрим подробнее /становившиеся ошибки систем с астатизмом нулевого, первого и вто>ого порядков при задающем воздействии вида (2.23). Для статической системы (г/-О) на основании изложенного имеем ат~~ (/) - ' ~И (/) = (й~+ й~/ + з й~/ ~ I (1+ К~) = е~~+ г~, + Вз~, где е Ыо . , Ыв~ сг ~ + к ° ск ~ ( к ° тсн з (~ 1 к ) ( ) Следовательно, установившаяся ошибка статической системы при золиномиальном входном воздействии вида (2.23) имеет три составаяющие: постоянную ошибку е„, зависящую от начального значения у, входного воздействия; ошибку е,„, зависящую от начальной скорости входного воздействия д, и неограниченно возрастающую с течением времени, и ошибку е,,„, зависящую от ускорения д, и неограниченно возрастающую пропорционально квадрату времени.
Постоянную ошибку е„.„пропорциональную постоянной составляющей входного воздействия д„называют статизмом. Статизм — это ошибка, свойственная только статической системе. Как будет показано, эта ошибка отсутствует (равна нулю) у астатических систем (отсюда название: астатическая система; это система, у которой отсутствует статизм). Для системы с астатизмом первого порядка (г=-1) е,„, (/) ж д(/)/К, =д/К,-,'— д,//К, =е,„-)-ез,„, где (2.29) е„= д,/К„е„,„= д,г/К,. Таким образом, в астатической системе с астатизмом первого порядка статизм, т.
е. ошибка, пропорциональная постоянной составляющей я; входного воздействия, равен нулю. Ошибка е,„, зависящая от начальной скорости д, изменений входного воздействия — величина постоянная, пропорциональная этой скорости и обратно пропорциональная добротности системы по скорости К,. Что же касается ошибки е„„, то она не имеет самостоятельного значения, поскольку скорость изменений всяких реальных величин всегда ограничена и, следовательно, задающее воздействие д(/) не может бесконечно долго изменяться с постоянным ускорением. Поскольку сумма й;+д,г представляет собой мгновенную скорость )/(/) изменений входного воздействия, то установившаяся ошибка рассматриваемой системы может быть записана в виде (2. 30) е„„(г)=Ъ'(/)/К„где Ъ'(/)=я,+И,( Для системы сопровождения по углу нлн по дальности движущихся объектов это означает, что если объект движется с постоянной скоростью р'=да или с постоянным ускорением, то установившаяся ошибка системы сопровождения пропорциональна скорости движения объекта.
Эту ошибку называют скоростной ошибкой системы радиоавтоматики. Для системы с астатизмом второго порядка (г=2) е„„= д (1) /К, = д,! К, = е„,„. (2.31) Следовательно, в астатической системе с астатизмом второго порядка обращаются в нуль статизм и скоростная ошибка. Установившаяся ошибка этой системы при полиномиальном задающем воздействии вида (2.23) постоянна и пропорциональна ускорению изменений входного воздействия и обратно пропорциональна добротности системы по ускорению К,. Полученные результаты позволяют выявить такое важнейшее свойство астатических систем, как пааиипь. Рассмотрим для определенности систему с астатизмом второго порядка, передаточная функция которой к,(1+ тр) д, (1+ тр) ь,, (Р) =,а ар Здесь добротность системы по ускорению К„равная произведению коэффициентов передачи всех звеньев системы, формально представлена в виде трех сомножителей, где к р — коэффициент передачи дискриминатора; й, — произведение коэффициентов передачи всех остальных звеньев системы, включая первый интегратор; ка — коэффициент передачи второго интегратора.
Ряс. 2лз В соответствии с (2.32) на рис. 2.13 изображена структурная схема системы с астатизмом второго порядка. Рассмотрим случай, когда задающее воздействие изменяется с постоянной скоростью, т. е. д(1)= ра, 'р"=сопз1. Как было показано, для системы с астатизмом второго порядка установившаяся ошибка в этом случае равна нулю. Следовательно, выходное напряжение и„дискриминатора равно нулю, а управляемая величина в каждый момент времени равна задающему воздействию, т. е. у(1)=д(1)=рг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
