Бесекерский В.А., Елисеев А.А., Небылов А.В. и др. Радиоавтоматика. Под ред. В.А.Бесекерского (1985) (1095884), страница 17
Текст из файла (страница 17)
е. вокруг точки с координатами ( — 1, 1'0) (рис. 2.3). Из рисунка ясно, что для рассматриваемой системы Лф,=О лишь в том случае, если АФХ этой системы не охватывает точку с координатами ( — 1, 10). Если АФХ, изображенная на рис. 2,3, охватывает эту точку, то полное приращение аргумента ЛФ, составит 8п/2. Для дальнейшего важно отметить, что внутренняя область, ограниченная кривой У7Цги), лежит справа от этой кривой при движении по ней в направлении возрастания частоты г» от 0 до со и далее от — оо до О.
Следовательно, рассматривая условия устойчивости статической автоматической системы, приходим к выводу, известному как критерий устойчивости Найквиста. Для устойчивости замкнутой автоматической системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, необходимо п достаточ- зв но, чтобы АФХ разомкнутого контура втой системы, построенная прн изменении частоты с» в пределах от — со до сс, не охватывала критическую точку с координатами ( — 1, 10). Астатическая система с астатизмом первого порядка. Рассмотрим автоматическую систему, содержащую помимо устойчивых позиционных звеньев одно интегрирующее звено. Примерный внд АФХ такой системы показан на рис.
2.4. Характеристический полипом разомкнутого контура и-! О(р)=р Ц (1+т,р) имеет один корень, равный нулю, и и — 1 корней с отрицательной вещественной частью. Применяя критерий Михайлова к атому полиному, находим, что при изменении со от — сс до сс полное приращение аргумента этого полинома Лфо=(л — 1)п. Рис, 2.5 Рис. 2.4 '„=Лап — Л«„п«» — (и — 1)п=п. Это означает, что вектор (Р'„((«с) при изменении «с от 0 до сс и далее от — сс до 0 должен повернуться на угол и против часовой стрелки (Л«г, положительно), как показано на рис.
2.4. Из рисунка видно, что АФХ рассматриваемой системы делит плоскость на две области — «внутреннюю», лежащую справа от АФХ при движении по ней в направлении возрастания частоты, и «внешнюю». Как и в предыдущем случае, замкнутая автоматическая система будет устойчивой, если точка с координатами ( — 1, 1 0) не попадает во внутреннюю 'область, т. е, если АФХ системы не охватывает зту точку. Таким образом, приведенная формулировка критерия устойчивости Найквиста остается справедливой и для автоматических систем с астатизмом первого порядка. Астатнческая система с астатизмом второго порядка. Рассмотрим автоматическую систему, содержащую помимо устойчивых позиционных звеньев два интегрирующих звена. Примерный внд АФХ такой системы показан на рис.
2.5. Характеристический полином разомкну- 8! того контура системы с астатизмом второго порядка » — 2 ()(р) — р П (1+Т»р) имеет два корня, равных нулю, и и — 2 корней с отрицательной вещественной частью. Применяя критерий Михайлова к этому полиному, находим, что при изменении о от — ао до оо полное приращение аргумента этого полинома Л»ро=(п — 2)п. Тогда Л»р,=Л»р„— Л»ро=лп — (п — 2)п=2п, Это означает, что вектор Ю',()о) при изменении о от 0 до оо и далее от — оо до 0 должен повернуться на угол 2п против часовой стрелки (Л»р, положительно), как показано на рис.
2.5. Из рисунка видно, что АФХ рассматриваемой системы делит плоскость на две области — «внутреннюю», лежащую справа от АФХ при движении по ней в направлении возрастания частоты, и»внепщюю», Таким образом, как и в предыдущих случаях, система с астатизмом второго порядка будет устойчивой, если точка с координатами ( — 1, 1 0) не попадет во внутреннюю область, т. е. если АФХ разомкнутого контура системы не охватывает эту точку. Преимуществом критерия Найквиста является возможность использования его для определения устойчивости системы по снятым экспериментально частотным характеристикам, когда ввиду сложности исследуемой системы трудно получить ее дифференциальное уравнение.
Абсолютно устойчивые н условно устойчивые системы. Рассмотрим замкнутую систему радиоавтоматики, описываемую, например, уравнением (1,5) и имеющую передаточную функцию разомкнутого контура вида К» р (1 + т,р) (1+ т,р) ' соответствующую астатизму первого порядка. Из (2.12) при р=)о получаем А (о) = о Р 1+о'т', 1 1., о»т,' »р (о) = — —" — агс1я оТ,— агс(аоТ,. (2.13) Рис, 2.6 АФХ устойчивой системы, соответствующая (2.12), изображена на рис. 2.6, кривая А (для положительных о).
Точка пересечения АФХ с отрицательной полуосью абцисс соответствует частоте ор, при которой»Р(ор)=180'. Точка пересечения АФХ с окружностью единичного радиуса соответствует частоте о„при которой А (о,) =-1. Эту частоту называют частопюй среза разомкнутой системы. Изменению о от 0 до оо соответствует движение точки по АФХ в направлении, указанном на рис. 2.б стрелкой. Для устойчивой системы, как следует из рисунка, о»)о,.
При увеличении добротности системы К„как видно из (2.13), АФХ «раздувается» и приближается к критической точке ( — 1; 1 О), при этом частоты ср, и ср сближаются и в случае, когда АФХ (кривая Б на рис. 2.6) проходит через критическую точку ( — 1, 1О), становятся равными (срс=ыр). При этом у характеристического уравнения (2.3) системы появляется пара чисто мнимых корней Р„«=~1р„и в системе возникают незатухающие гармонические колебания с круговой частотой !)„. Этот случай соответствует так называемой колебательной границе устойчивости.
При дальнейшем увеличении добротности К, АФХ системы будет охватывать критическую точку ( — 1, 1О) и система станет неустойчивой. Аналогичный результат (2.5) был получен для рассматриваемой системы при использовании критерия Гурвица. Системы, добротность которых ограничена условиями устойчивости лишь сверху, называют абсолютно устойчивыми системами. При проектировании замкнутых автоматических систем добротность их выбирают не из условий устойчивости, а из условий точности 8 2.3), и, как правило, добротность систем высокой точности значительно превосходит значение, допустимое по условиям устойчивости.
Для обеспечения устойчивости системы в этом случае в ее состав включают корректирующие устройства, содержащие форсирующие звенья, которые в определенной полосе частот уменьшают отрицательный фазовый сдвиг, вносимый интегрирующими и апериодическими звеньями.
При этом АФХ деформируется (рис. 2.7, кривая 2). Кривая 1 соответствует АФХ системы без корректирующих звеньев. 1 /р Рис. 2.7 Как видно из рис. 2.7, а, АФХ скорректированной системы не охватывает критическую точку ( — 1, 1О), и, следовательно, система устойчива. Заметим, что после коррекции в системе появилось три частоты «рр„с»р, и срр„для которых ф(сэр)= — 180', вместо одной мр до коррекции, причем йр,)ыр,)«ср„. Кроме того, изменились соотношения: с»"(ср', — до коррекции, что свидетельствует о неустойчивости системй, и срр,)с», — после коррекции, что характерно для устойчивой системы. При этом существенным является то обстоятельство, что две частоты; срр, и сэр, меньше частоты среза ы,.
Рассмотрим устойчивость скорректированной системы. Из рис. 2.7 видно, что при увеличении добротности скорректированной системы точка, соответствующая частоте сср„приближается к критической точ- ке ( — 1, /О), и при некотором значении добротности АФХ скорректированной системы будет охватывать критическую точку, как показано на рис, 2.7, б, т. е. система станет неустойчивой. Таким образом, у скорректированной системы ограничение сверху для добротности К; сохраняется, хотя граничное значение добротности скорректированной '/ /. системы в десятки раз больше гра- '-гд пичного значения добротности не- .мх-1 /мх-з скорректированной системы.
лхх -зд При уменьшении добротности к критической точке ( — 1, /О) будет приближаться точка АФХ, соответ- У и'с ствующая частоте аюп как это еле-~аз м ~м ш и/ ю дует из рис. 2.7, а. При некотором достаточно малом значении К, эта в точка окажется правее точки ( — 1, /О), и АФХ системы, как видно из рис. 2.7, в, снова будет охватывать критическую точку,т. е.
сиРис. 2.6 стема станет неустойчивой. Следо- вательно, для рассматриваемой скорректированной системы помимо ограничения добротности сверху появляется ограничение допустимого значения добротности снизу,, т. е. система будет устойчивой при К„если К ы (К,(К,„. Системы, допустимые значения добротности которых имеют ограничение как сверху, так и снизу, называют условно устойчивыми. Заметим, что для условно устойчивых систем с астатизмом не выше второго порядка число частот в,ь меньших частоты среза, всегда четно. Это используют для анализа устойчивости автоматических систем методом логарифмических частотных характеристик.
Иа рис. 2.8 представлены ЛАХ и ЛФХ условно устойчивой системы. Как показано на рисунке, для удобства анализа разметка шкалы ЛФХ сделана так, что горизонталь, проходящая через точку ф= — 180', совпадает с осью частот. Как видно на рис. 2.8, рассматриваемая система имеет три частоты, на которых ф(вр)= — 180': фр,, ар, и ор,, причем две из них (четное число!) меньше частоты среза ы,. При этом, как показано на рисунке, асимптота ЛАХ в окрестности частоты среза имеет наклон — 20 дБ/дек. Можно показать [5), что необходимым и достаточным условием устойчивости системы, состоящей из минимально-фазовых звеньев, является то, что ЛАХ системы в окрестности частоты среза должна иметь наклон — 20 дБ/дек или, другими словами, что асимптота ЛАХ, пересекающая ось частот, должна иметь наклон — 20 дБ/дек.
Прн увеличении нлн уменьшении добротности системы К, логариф,мическая амплитудная характеристика перемещается вдоль оси ординат параллельно самой себе вверх или вниз. При этом точка, соответствующая частоте среза, перемещается по оси частот или вправо (при увеличении К,) или влево (при уменьшении К~). Если изменения добротности достаточно велики, то, как показано на рис. 2.8 (/7АХ-2 или ,/7ЛХ-З), наклон /7АХ в окрестности частоты среза уже не будет ра- вен — 20 дБ/дек и соответственно число частот ырь меньших частоты среза, не будет четным. Так, в рассматриваемом примере ЛАХ-2 пересекает ось частот с наклоном — 40 дБ/дек, при этом все три частоты вр, (нечетное число!) оказываются меньше частоты среза. РТАХ-3 пересекает ось частот с наклоном — 60 дБ/дек и при этом левее точки а, лежит лишь одна (нечетное число!) точка, соответствующая частоте вр,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
