Бесекерский В.А., Елисеев А.А., Небылов А.В. и др. Радиоавтоматика. Под ред. В.А.Бесекерского (1985) (1095884), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

, Заметим, что для уравнений первого н второго порядков полученное условие устойчивости является не только необходимым, но и достаточным, в чем нетрудно убедиться прямым вычислением корней уравнения. Критерий устойчивости Гурвица. Критерий устойчивости Гурвицг относится к числу алгебраических критериев, т. е. критериев, сформулированных в виде некоторых алгебраических формул. Критерий Гурвица приведем без доказательства. Составим из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой автоматической системы (1.12) квадратную матрицу, пользуясь следуюгцим правилом, По главной диагонали матрицы записывают коэффициенты уравнения от а, до а„.

Затем каждый столбец матрицы заполняют коэффициентами этого же уравнения: вверх — в порядке возрастания индекса коэффициентов, вниз — в порядке убывания. В тех местах каждого столбца, где индекс оказывается отрицательным или превышает п, записывают нуль. Таким образом, матрица имеет вид и достаточно, чтобы при а,>0 все п определителей Гурвица, составленных из коэффициентов этого уравнения, были положительны, т.

е. чтобы Л, > О, Л, > О, ..., Л„, > О, Л„> О. Фактически при ' определении устойчивости системы необходимо вычислить не и, а п — 2 определителя, поскольку Л,=а,>0 в силу необходимого условия устойчивости, а Л„а„Л„„так как последний столбец определителя Л„содержит лишь один отличный от нуля элемент а„, причем а„~О. В качестве примера рассмотрим условия устойчивости системы АСН (см. ~~ 1,3), дифференциальное уравнение которой имеет вид (1.6): (т,т,ру+(Т„+Т,) р +р+К,1д(1)=К,й(1), чему соответствует характеристическое уравнение а,р'+а,р'+и'р+а, = О, (2.3) где а,=ТдТу а,=Тд+Ту а,=1, а, К,.

Поскольку необходимое условие устойчивости выполнено, т. е. все коэффициенты характеристического уравнения положительны, система может быть устойчивой. Условие устойчивости, т. е. значения параметров системы, при которых система будет устойчивой, определим посредством критерия Гурвица. Из матрицы (2.2) для данного случая получаем а, а, 0 1а, а,~ Л,=а„Л,=~~ у д11=ауа,— аа„Л,= а, а, 0 =а,Л,. 1ао аа1 О а а 1 у Таким образом, для рассматриваемой системы имеем лишь одно условие устойчивости Л,>0, т.

е. а,а,— а,а».»0 или а,а,>а,а,, Подставляя значения коэффициентов, получаем Т„+Т > Т„Т„К,. (2.4) При проектировании замкнутой автоматической системы постоянные времени ее звеньев, в частности постоянная времени Тд исполнительного двигателя и постоянная времени Т„усилителя, являются заданными. Они определяются свойствами соответствующих элементов автоматики, входящих в состав системы, и не могут быть изменены в процессе проектирования системы. Значение же коэффициента К,= =А„рй йдкр (см. 5 1.3) можно изменять в широких пределах, регулируя коэффйцйейт передачи й усилителя. Поэтому найдем допустимое по условию (2.4) значение К, при заданных Тд и Т,: К, < 11Т,+ 11Т,. Из (2.5) видно, что увеличение постоянных времени отрицательно сказывается на устойчивости системы, так как при этом снижается предельное значение коэффициента передачи системы К„ при котором система еще остается устойчивой.

Устойчивость многомерных систем. Если уравнение автоматической системы записано в переменных состояния (1.30), где матрица коэффициентов г а„а„... а,„1 — ам ам ° аа .а„, а„, ... а„„.) то характеристическое уравнение системы может быть получено путем приравнивания нулю определителя 1А — р1~, где ( — единичная матрица размером иХп. В результате имеем а„— р а„... а„ ар1 ацт — р ... а2„ =0 а„„вЂ” р а„, а„, Раскрывая определитель, получим характеристическое уравнение, аналогичное (1.12): 1„ ', ~ А — р!1=( — р)" +а,( — р)" '+...и„,( — р)+а„=О. Полинам в левой части этого выражения называют характеристической или собственнон функцией матрицы А, а корни Х„А„..., )„характеристического уравнения — собственными значениями матрицы А. Автоматическая система, описываемая уравнением (1.30), устойчива тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы А имеют отрицательные вещественные части.

Каждой матрице А может быть поставлена в соответствие квадратичная форма х'Ах. Если для всех хФО эта квадратичная форма имеет строго положительные (отрицательные) значения, то ее называют положительно (отрпцательно) определенной формой. Соответственно матрица А также называется положительно (отрицательно) определенной. Рассмотрим случай, когда матрица А — симметрическая, т. е.

ее элементы удовлетворяют равенству а„.=а;,. Собственные значения симметрической положительно (отрицательно) определенной матрицы являются положительными (отрицательными) действительными числами. Существует критерий Сильвестра положительной определенности симметрической матрицы. Симметрическая матрица А будет положительно определенной, если все ее главные диагональные миноры строго положительны, т. е. если а„>0, " "(>О, ...,1А(>0. Таким образом, в случае, когда матрица А коэффициентов уравнения (1.30) симметрическая, вопрос об устойчивости системы, описываемой этим уравнением, может быть решен на основании критерия Сильвестра положительной определенности матрицы А, взятой с обратным знаком, а именно: если матрица ( — А) положительно определенная, то соответственна матрица А будет отрицательна определенной и, следовательно, все ее собственные значения отрицательны и система устойчива.

йвгдд фл ф Критерий устойчивости Михайлова. Рассмотрим левую часть характеристического уравнения (1.!2), которая представляет собой характеристический полинам: 0(р)=ар" +а,р" '+... +а„,р+а„. (2.6) Подставив в этот полинам р=)в, получим характеристический комплекс: 0Цв)=а,Цв)" +а, Цв)" '+... +а„=)0(1в) ~ егтгвг, где ~0 Цв) ~ — модуль характеристического комплекса; гр(в)= = ага 0 Цв) — аргумент характеристического комплекса. Найдем полное приращение аргумента г)г(в) при изменении в от — со да +со для устойчивой и неустойчивой систем. Для простаты ограничимся случаем вещественных корней характеристического уравнения. Представим характеристический полинам в виде 0(р)=а,(р— — р,)(р — р,)...(р — р„) и соответственно 0 Цв)=а,Цв — р,)Цв — р,)...

Цв — р„), где рд, ?г=1, и — корни характеристического уравнения. Для устойчивой системы при вещественных корнях имеем рд= = — од, ад .О, й=~, и. Тогда 0Цв)=адЦв+а,) Цв+а,)...Цв+ +а„) и аргумент гр(в)= ~', агс1н —. Отсюда д=г .ад Лг)г = гр (со) — г(г ( — со) = пл?2 — ( — пл?2) = 2пл?2. Таким образом, полное приращение аргумента характеристического комплекса устойчивой системы при изменении в от — оо до +со составляет 2пл/2. Если же система неустойчива н среди п корней характеристического уравнения этой системы имеется т положительных корней, т.

е. если рд — — ад)О, ?г=(„т, р,= — аг, аг)О, г=т+1,п, то 0 Цв) = а, (1в — а,) (ро — сгд)... (/в — а,„) Цв+ а д,)... (1в+ а„) н тогда ~р(в) = ,~, агс1и — + ~ агсги — , д= г — ад г= а+ г ир откуда Лгр=гр(со) — гр ( — со) = 2 гт 1 — —" 1+(и — пг) — 1 = 2 г 2~ = 2 (и — 2т) — < 2п — ".

2 2' Следовательно, полное приращение аргумента характеристического комплекса неустойчивой системы меньше чем 2пл/2. ?8 а передаточная функция разомкнутого контура этой системы у, г УУ (Р)" УУ (р) УУ (р) Ьор +Ь р'" 1+... +Ь,„ г — О (Р) 0 (Р) — Уг (Р) Я (Р) аоаа+а1Ро '+ +аа где (у(Р) — полипом степени и. Введем вспомогательную функцию (Р) = 1 (а (Р) = 1 + уг (р) уг (р) гу (р) г) (р) ' (2. 8) Если Ю' (уог) = (у (ог) + уу (огг, (ь' 0' ) = 1+ су (ог) + у)' (ог) (2.9) то (2. 10) Из (2.9) и (2.!О) видно, что если начало вектора Г,(уог) поместить в точку с ноордииатами ( — 1; 10), как показано на рис.

2.2, то конец этого вектора при изменении го от — оо до оо опишет ту же кривую, что и конец вектора (Ь'(уы), т. е. амплитудно-фазовую характеристику ра. замкнутого контура автоматической системы. Представим полином 0(уог) и Я(уог) в виде 0 (уог) =10 (аког) уехр (уфр (о>)1, су (уог) = ~ Я (аког)1ехр (уфгу (ьг)1, где г(го(ог) — аргумент полинома 0(уог); фч(ьг) — аргумент полииома Я(урм). Тогда )Р', (Уог) = .м) ехР У' (гур (ог) — гРо (ы)1 = ! )а, (Ро) ) е "Ь У">, Аналогичный результат может быть получен и при наличии среди корней характеристического уравнения комплексно-сопряженных корней.

Сформулируем критерий устойчивости Михайлова. Характеристический валином (2.6) не будет иметь корней в правой полуплоскости, если полное приращение аргумента ф(ы) при изменении ог от — оо до оо равно 2пп)2, где п — степень полинома 0(Р). Критерий устойчивости Найквиста.

Критерий устойчивости Найк- виста позволяет судить об устойчивости замкнутой автоматической системы по виду амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) разомкнутого контура этой системы. Вывод критерия Найквиста базируется на критерии устойчивости Михайлова. Пусть замкнутая автоматическая система описывается дифференциальным уравнением 0(Р)у(У)=7с(Р)д(У), где 0(Р)=а,р"+а,ра '+... +а„,р+а„— характеристический полипом замкнутой системы степени и; Уг'(Р)=Ьор +Ь,Р '+...+Ь„,р+Ь вЂ” полином степени лг, причем аг .и. Тогда передаточная функция замкнутой автоматической системы Р(р) ь„р +ь,р -'+... +Ь,р+ь,„ (2.7) В(р) аор'+а,ра-'+...

+аа,р+а„' где 1Ю',Цги))=~ВЦги)ЙЯЦги)1 — модуль вектора Ч7,Цги); р,(ы) =рв(о) — М(м)— (2.1 1) аргумент вектора Ж', Цгэ). При изменении частоты гв от — со до со вектор 1)2, Цги) как указывалось, опишет на плоскости УОй' АФХ разомкнутой системы, совершив при этом поворот на угол Лтр„определяемый в соответствии с (2.11) разностью полных приращений аргументов характеристических полиномов Е>Цги) и ЯЦги). Найдем полное приращение аргумента Лф, вектора У', Цги): Ч,=Лро — Л зо при изменении ги от — со до со для различных типов автоматических систем при условии, что замкнутая автоматическая система устойчива, т. е.

по критерию Михайлова, Л~Рэ=пп при ги Е( — со, со), Рис. 2.2 Рис. 2.3 Статическая система, устойчивая в разомкнутом состоянии. Рассмотрим систему, в состав которой входят лишь устойчивые позиционные звенья, т. е. систему, все корни характеристического полинома разомкнутого контура которой имеют отрицательные вещественные части. Тогда, применяя критерий Михайлова к полиному ЯЦгз), имеем Я~я — — пи и, следовательно, Лф,=Л~р„— Ь~д —— ип — пи=О. )Щ Таким образом, вектор Яг, Цги), описав АФХ этой системы, не должен совершить ни одного оборота вокруг своего начала координат, т.

Характеристики

Список файлов книги