Бесекерский В.А., Елисеев А.А., Небылов А.В. и др. Радиоавтоматика. Под ред. В.А.Бесекерского (1985) (1095884), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Ч= Х гогЬ=К'1. Здесь г=! Рас. 6 2 Ю'=Ъ„го„..., пг„1'— матрица-столбец весовых коэффициентов пгг, выбранных из условия минимума среднеквадратичной ошибки оценки величины д. Найдем уравнение для определения оптимальной матрицы весовых коэффициентов У'. Дисперсия ошибки оценки определяется вьграяеен нем В,=ее=(~~ — д]г=([Г' 7 — А'в)'= = [ГЯ К вЂ” 2Ю"Яг,А -, 'А'Яг,А, где Я»,— — ~~'=[Щ при г, я=1, и — автокорреляционная матрица входного сигнала размера лХьи йр — — Гз'=[Ггзь[ при г, й=1, п — взаимная корреляционная матрица входного и полезного сигналов размера пхгц Й„=зз'=[згзь[ при г', й=1, и — автокорреляционная матрица полезного сигнала размера пХл.
Процедура минимизации дисперсии ошибки О, как функции весовых коэффициентов гог приводит к следугощему уравнению для весовой матрицы [Р', представляющему собой уравнение Винера — Хопфа для задачи оптимальной весовой обработки сигналов: йтгА — Яг,1Р'= О, из которого находим оптимальную весовую матрицу [[2=Я~,Ч~ЛА, обеспечивающую при известных корреляционных матрицах й11 и К~, минимум среднеквадратичной ошибки оценки величины д. $6.2. ФИЛЬТРЫ КАЛМАНА Общие замечания. Фильтры Винера обеспечивают минимум средней квадратичной ошибки системы лишь при бесконечном времени наблюдения, т, е.
в установившемся режиме, и при условии стационарности случайных процессов, соответствующих задающему воздействию и помехе. !88 а„оз'"+а„,вь' '+... + а,е'+ ! (6,36) Произведя факторизацию спектральной плотности (6.36), найдем передаточную функцию Ч' (а) формирующего фильтра для задающего воздействия. ПУсть Яв(ы)=Ч"в(?ьэ)Ч'х( — 1а), тогда на основании (6.36) Ч' ()в) имеет вид Ч' ы ! т 0 )" +т.- 0 )" '+. +! +! (б.
37) Здесь коэффяциенты ую я=1, и, однозначно определяются коэфф!щиентами аь 1=1, п, из (6.36). Обозначим через и (1) порождаю".ций белый шум, из которого фильтр с передаточной функцией (6.37) формирует случайное задаюцее воздействие д(1) со спектральной плотностью (6.36). Тогда из (6.37) при подстановке )а — «р «Й/г(1, разделив числитель и знаменатель на Т„, получим Иногда требуется минимизировать ошибку системы радиоавтох!алики при любом конечном времени наблюдения, т. е.
с учетом переходных процессов, а также при нестационарных случайных воздействиях на входе системы. В этом случае эффективным методом оптимального синтеза является метод, разработанный Калманом и Бьюси (2), сводящий задачу нахождения оптимальной оценки у(1) входного воздействия д(1) к решению некоторого дифференциального уравнения. Этот метод успешно реализуется при использовании вычислительных машин, в особенности цифровых.
Современное развитие микропроцессорной техники привело к широкому использованию этого метода для оптимизации бортовых систем обработки информации летательных аппаратов, морских судов и других объектов. Системы, оптимизируемые указанным методом, носят название Фильтров Калмапа. Уравнения состояния. В основе теории оптимальной фильтрации Калмана лежит понятие пространства состояний (см. гл.
1). Поэтому метод Калмана называют также методом пространства состояний. В отличие от метода Винера случайное задающее воздействие о (1) и помеха о(1) в методе Калмана характеризуются не спектральными плотностями Зв(в) и 5,(ы), а уравнениями состояния. Ограничиваясь случаем, когда помеха о(1) является белым шумом со спектральной плотностью Я,(а)=Л'=сонэ?, покажем, как может быть получено уравнение состояния для задающего воздействия при заданной спектральной плотности этого воздействия. Пусть спектральная плотность задающего воздействия имеет вид Запишем теперь (6.38) в форме уравнения состояния.
Обозначим ха(1) =8ь 'дй(1" ', 1=1, и, (6.39) тогда ха Я=Р|(г(1ь=х„~„((), й= 1, и — 1. (6.40) Используем векторно-матричные обозначения для совокупностей переменных и коэффициентов: х=~хм хм ..., х„)'— (6, 41) матрица-столбец размера пм1, или п-вектор; в=(о, о, ..., ьу— (6.42) матрица-столбец размера пх1; 1 0 ...
0 0 0 0 0 1 ... 0 0 0 ... 0 (6.43) 0 0 0 ... 1 с — а, — а,— а, ... — а„,а квадратная матрица размера пХп. Тогда уравнение (6.38) запишем в виде одного матричного уравнения первого порядка (см. гл. 1, вывод уравнения (1.30)): дх/й = Ах'(1)+ Ви,'(1), (6.44) которое и является уравнением состояния для и-мерного задающего воздействия х(1). Количество переменных состояния х„х,,..., х„ в этом уравнении определяется степенью полинома в знаменателе выражения (6.36) для спектральной плотности задающего воздействия д(1), которому в матрице (х„, х„..., х„!' соответствует обозначение х,. Чтобы из совокупности п переменных состояния, содержащихся в матричном уравнении (6.44), выделить задающее воздействие д(1), необходимо (6.44) дополнить матричным уравнением вида а(1) =Сх(1), (6.
45) где С=!1, О, 0„..., О! — матрица размера 1хп. Уравнения (6.44) и (6.46) являются исходными соотношениями для оптимального синтеза методом пространства состояний. Заметим, что (6.38) является дифференциальным уравнением формирующего фильтра, возбуждаемого белым шумом и(1). На рис. 6.3 представлена схема набора на модели формирующего фильтра, соот- 290 откуда найдем стохастическое дифференциальное уравнение для случайного задающего воздействия со спектральной плотностью (6.36): + а„,, „и ~ )+...
+ а, ~ ~ ~ + а,д (1) = Ь,и (1). (6.38) ветствующая (6.38), которая может быть использована для получения случайного процесса с заданной спектральной плотностью при моделировании систем радиоавтоматики, работающих в условиях случайных воздействий. Синтез фильтров Калмана. В общем случае фильтр Калмана представляет собой многомерный нестационарный следящий измеритель. т, е, систему с переменными параметрами. Нестационарность фильтра Рас, 6.3 Калмана обусловлена, во-первых, тем, что фильтр Калмана является оптимальным при конечном времени наблюдения, т.
е. является оптимальным не только в установившемся, но и в переходном режиме, а во-вторых, тем, что задающее воздействие и помеха могут быть нестационарными случайными процессами. Задача синтеза такого многомерного нестационарного фильтра состоит в следующем (2). Дан случайный нестационарный и-мерный процесс х(() (х,(г), х,(г), ..., х (г))', описываемый уравнением состояния х(г) = А (1) х(1)+В (Г) и (1), (6.46) где и(г) — случайный г-мерный процесс типа белого шума, порождающий случайный процесс х(г); А(г) — квадратная матрица коэффициентов размера пхп; В(г) — прямоугольная матрица коэффициентов размера п~~г.
В отличие от (6.44) коэффиш~енты уравнения (6.46) переменные, что является следствием нестационарности процесса х(г). Корреляционная матрица порождающего белого шума и(г) имеет вид К..(~ Б)= (()и'(Б)=0(Об(~ — Б) (6.47) где Я(1) — матрица размера гХг, элементы которой имеют размер. ность н смысл спектральных плотностей дп и взаимных спектральных плотностей дм составляющих и;(1) н иф) процесса и(г); 6( ) — дельта- функция. На вход синтезируемого фильтра поступает ш-мерная совокуп- ность наблюдаемых величин, имеющая смысл многомерного входного воздействия; г (1) =С(1) х(1)+ о(1), (6,48) где С(1) — матрица наблюдений размера тХи; о(1) — случайный т-мерный процесс типа белого шума (например, флуктуационные помехи в каналах связи) с корреляционной матрицеи К„(1, $)=Р'(1) 6(1 — 5); 16.49) здесь й (1) — положительно определенная симметричная матрица размера тХт, для которой существует обратная матрица Й '(1).
Элементы матрицы тс (1) имеют смысл и размерность спектральных плотностей рн и взаимных спектральных плотностей рм, составляющих о;(1) и оз(1)т-мерной помехи о(г). Оптимальный фильтр, имея на входе совокупносгь наблюдаемых величин г(1)=(г,(1), г,(г),..., г (1)Р, должен дать оценку у(1) процесса х(1), оптимальную по критерию минимума среднеквадратичной ошибки измерений каждой из составляющих процесса х (1). Выражение для критерия оптимума многомерного фильтра Калмана аналогично формуле (6.9) и имеет вид !ь — — 1п)п е~, я=1, и, где е,',=(х~(г) — ух(1) Р. Как доказывается в теории оптимальной фильтрации (8), оптимальная оценка у(1) процесса х(1) удовлетворяет и-мерному матричному дифференциальному уравненшо (уравнение оценки) ~у)(1=А(1)у(1)+К(1)[.(г) — с(1)у(1)1, (6.50) где (6.51) матричный коэффициент передачи оптимального и-мерного фильтра (фильтра Калмана); Р (1) = [х(1) — у(г)] [х(1) — у(Г))'— (6.52) дисперсионная матрица ошибок фильтра.
Элементами последней матрицы являются величины Ра Я = [х, (1) — У, (Г)) [хг (1) — Ут (Г)) причем на главной диагонали этой матрицы находятся дисперсии ошибок оптимального фильтра Рп(г)=(х;(г) — у;(г)Р=е1. Дисперсионная матрица ошибок Р(1) определяется путем решения дисиерсионного уравнения — = АР+ РА' — РС'й 'СР+ ВЯВ', Уравнение (6.53) — зто матричное нелинейное дифференциальное уравнение Риккати.
Для его решения необходимо задать начальное значение Р((,) дисперсионной матрицы. Если в начальный момент времени (=1, процесс у(1,) на выходе фильтра равен нули, то, как 192 видно из (6.52), Р((е)=х(г,)х'((,) соответствует матрице дисперсий компонент измеряемого процесса х((). Совокупность уравнений (6.50), (6.51) и (6.53) определяет структуру и характеристики фильтра Калмана.
Структурная схема многомерного фильтра Калмана, соответстнующая уравнению (6.50), приведена на рис. 6.4. Рис. 6.4 Пример 6.3. Рассмотрим синтез одномерного фильтра Каллэана. Пусть задающее воздействие синтезируемой системы я(э) — стационарный случайный процесс с дисперсией ээ и спектральной плотностью бк (~) = (6.54) где Бо=2ээ(оэз, оэ,— круговая частота, определяющая ширину спектра (6.54); Т= )эые. Задающее воздействие я (э) поступает на вход системы в аддитивнон смеси с помехой о(0, представляющей собой белый эпум со спектральной плотностью Б„(оэ) =йэ = сопя( и корреляционной функцией К„ч (т) = й 6 (т), т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
