Бесекерский В.А., Елисеев А.А., Небылов А.В. и др. Радиоавтоматика. Под ред. В.А.Бесекерского (1985) (1095884), страница 41
Текст из файла (страница 41)
7.2, а, б). Заметим, что систему с АИМ-2 называют импульсной системой с конечным временем съема данных, поскольку она реагирует не только на значение рассогласования к моменту начала очередного импульса, но и па его изменение за время длительности импульса. Анализ такой системы весьма сложен, что обычно заставляет пренебрегать изменением рассогласования за время длительности импульса и условно заменять АИМ-2 на АИМ-1.
Так как при АИМ-! существенны значения рассогласования лишь в моменты начала импульсов, целесообразно выделить для рассмотрения именно такие значения. Для этого используется замена непрерывной функции е(1) решетчатой функцией е [н), где и — дискретное время, я=-О, ~1, З-2, ... Решетчатой функцией времени называют функцию, определенную лишь в дискретные моменты времени г=пТ. Операция замены непрерывной функции решетчатой выражается формулой в [п)=г(нТ) (рис.
7.2, в). В более общем случае рассматривают смещенную решетчатую функцию е [н, г[=г(пТ+вТ), где е — относительное смещение, 0(а(1. С понятием решетчатой функции связано понятие идеального импульсного элемента, который ее вырабатывает из исходной непрерывной функции. Переход от решетчатой функции е [и), являющейся математической абстракцией, к реально существую;цим в системе импульсам е" (1) осуществляется с помощью фэрмируюн[гго элемента. При АИМ-1 он представляет собой генератор прямоугольных им- пульсов, следующих с периодом Т, причем высота каждого из них определяется текущим значением решетчатой функции. Таким образом, реальный импульсный элемент заменяется последовательным соединением идеального импульсного элемента ИИЭ и формирующего элемента ФЭ (см.
рис. 7.1, б). Формирующий элемент наравне с непрерывной частью определяет динамические свойства импульсной системы, поэтому его целесообразе /г/ е /г/ е[о) 37" а/ /// 7 Рвс. 7.2 Нахождение и анализ этого разностного уравнения составляют задачу исследования дискретной системы. Я-преобразование. Мощным математическим аппаратом исследования дискретных систем и решения разностных уравнений является г-преобразование. Оно играет ту же роль, что и преобразование Лапласа при исследовании непрерывных систем и решении дифференциальных уравнений. 198 но условно присоединить к непрерывной части. При этом получается приведенная непрерывная часть ИНЧ, ко входу которой приложена решетчатая функция е [и], а на выходе образуется непрерывная функция у(1) (см.
рис. 7.1, б). При анализе динамики замкнутой системы особый интерес представляют значения выходной величины у(/) в дискретные моменты времени /=пТ, поскольку именно они влияют через цепь главной обратной связи на дискретные значения рассогласования е [и], Рассмотрение вместо непрерывной функции у(1) решетчатой функции у [п]=у(/)Ь=.т позволяет считать приведенную непрерывную часть системы импульсным фильтром. Импульсным фильтром называют любое динамическое звено (или систему), входная и выходная величины которого рассматриваются в дискретные моменты времени. Замена приведенной непрерывной части импульсным фильтром — эффективный прием при исследовании импульсных и цифровых автоматических систем.
Естественно, что вся замкнутая система при этом также считается импульсным фильтром, входной и выходной сигналы которого — решетчатые функции у [и] и у [и]. Связь между ними выражается некоторым разностным уравнением, которое можно записать через значения входного и выходного сигналов: а,у [п1 + а,у [и — 1] +...
+ а,у [и — 1] = = Ь,у [и] + Ь,д [и — 1] +... + Ь [и — т], Для некоторой решетчатой функции ) (л!, определенной при п)0, г-преобразование записывают через дискретное преобразование Лапласа р (р)= Х1Ие-" ц=а с использованием аргумента г=ерт: Л (7 (п1) = Р (г) = ~~р~ ) (п~ г ". г-преобразование можно применить также к изображению исходной непрерывной функции по Лапласу: При записи Е(т„(р))=-т (г) подразумевают, что фактически г-преоб- разование взято от решетчатой функции 7 (и), однозначно связанной с изображением Р (р). Т а б л и ца 7.1 Ивобраисении решетчатых функций Исходная непрерывная фуниция г.прсобратоваине Несмещенная решетчатая фуницнв преобрааоваиие Лапласа моанфнцнрованное оригинал простое 7.(1) = =( !при 1=О, Опри ! ~О бо (ц) 1 Р 1 ,рх 1 Ра 1 Р+г" 1 (ц) г — 1 г — 1 Tг (г 1)в Т'г (г+ 1) 1т 21 (ц7)в 21 2! (г — 1)' — с(=е -ит г †б ' г г — г1' -ит е и-ццу нн т (1 — о)г Р (Р+ш) е-аТ, -анТ г — 1 г — о (г — 1) (г — и) Для смещенных решетчатых функций вводят модифицированное г-преобразование: ~ () (п1) = г',() )и, и)') = т (г, е) = ~~~ ~ (и, г-преобразования некоторых решетчатых функций, а также исходные непрерывные функции и их изображения по Лапласу приведены в табл.
7.1. Там введена единичная импульсная решетчатая функция 1 при п= 0, 0 при п чьО, играюшая при исследовании дискретных систем такую же роль, как б-функция при исследовании непрерывных систем. Более подробные таблицы г-преобразований имеются, например, в!2, 4, 17). Там же описаны его свойства, некоторые из которых без доказательства приведены далее. 1. Свойство линейности: 2 ~~~~ сД (п] = ~~Р~ с!Р! (г). 1!=! ! ~=! 2. Теорема запаздывания: 7. (11п — и]) =г "Р(г).
3. Начальное значение оригинала: К 10] =!пп — Р (г). Е->Ю 4. Конечное значение оригинала: 11ш 7 1!!] = 1пп — (Р (г). П->Ф г ! 5, Изображение свертки двух решетчатых функций: л 2 ~ ~~Р~ )! ~т] ), [п — т] = Р, (г) Р, (г). Обратный переход от изображения Р(г) к оригиналу 1'!и! в символической форме записывают как обратное г-преобразование: ) (п)= =Х '(Р(г)). Эта задача не представляет трудностей, если изображение является табличным. При более сложном изображении оно обычно заменяется суммой дробей первой степени. Например, если изображение есть отношение двух многочленов В (г) 'гВ!! (г)' Р(г'= — =— А (г) А (г) причем степень числителя не выше степени знаменателя, а корни знаменателя простые, то его можно представить в виде суммы (4) ~~~ Во (П) г !=О где Л(г) — производная полинома А(г) по г; г! (!=1, 2, ..., !)— корни знаменателя.
200 Отсюда, воспользовавшись табл. 7.1, получим ! Во (г!) А (г!) Для нахождения оригинала часто применяют также разложение изображения в ряд Лорана г" (г) =с„+с,г '+с,г '+... +с„г "+... Так как по определению г-преобразования г (г) =1[01+1[Ц г !+7[21 г '+... +7[й~ г "—, или, на основании теоремы запаздывания, ! ХП У(г) ~~'„агг г=б(г) ~Ьуг (7. 2) г=о 1=о Здесь за знаки суммирования вынесены изображения Г(г)=Я[у (п)) и б(г)=2(д(пЦ, не зависящие от переменных ! и 1'. Из (7.2) получим для изображения искомой решетчатой функции выраженне ~~~ ьгг-! 1=о 6(г) =О(г) 0 (г), ~~>!гцг ' (7.3) о где введена дискретная передаточная функция импульсного фильтра О(г). Она определяется как отношение г-преобразования выходного сигнала к г-преобразованию входного сигнала. Дискретная передаточная функция играет в дискретных системах ту же роль, что и обычная передаточная функция в непрерывных системах, которую также определяют как отношение изображений, но по Лапласу.
201 то коэффициенты ряда Лорана совпадают с соответствующими значениями оригинала, т. е. 1(0)=со, 1 И)=с,, 1" (2)=с, и т. д. Наиболее удобным приемом разложения дробно-рациональных функций в ряд Лорана является деление числителя на знаменатель. Дискретные передаточные функции. Рассмотрим разностное уравнение импульсного фильтра в форме (7.1): п~ ~~„', а,у [п — !)' =,~'„Ь) д [и — 1), ! о г=о где д 1п) и у (и) — входной и выходной сигналы.
Используя свойство линейности г-преобразования, перейдем к изображениям ! бг ~~'„'аг2(у[п — !)) = ~~'„Ь,2(д[п — 1)) г=о 1=о Выражению (7.3) соответствует запись дискретной передаточной функции как дробно-рациональной функции от г ": Ь,+Ь|г '+... +Ь г- (7. 4) ао+а,г-'+... +аы-' При этом особенно наглядна ее взаимно однозначная связь с разностным уравнением импульсного фильтра (7.1) через коэффициенты а; и Ьь Разделив числитель и знаменатель (7.4) на г ' в старшей степени, можно получить дробно-рациональную функцию аргумента г '. Заметим, что соотношение порядков числителя и знаменателя дискретной передаточной функции (7,4), записанной относительно г ', может быть произвольным и не влияет на возможность физической реализации импульсного фильтра.
Это видно из разностного уравнения (7.1), в которое ни при каких порядках величин 1 и и не входят будущие значения входной и выходной величин. При нахождении дискретной передаточной функции за основу обычно принимаются временные характеристики дискретной системы. Важной временной характеристикой импульсного фильтра является решеичаи я весовая функция й [п], определяемая как реакция импульсного фильтра на единичную импульсную решетчатую функцию д,[п], поданную на его вход при нулевых начальных условидх. В соответствии с этим определением при д [а]=б,[п] на выходе получаем у [п]=й [и]. Тогда выражение (7.3) конкретизируется в виде Я(й [пЦ=Н (г) Л[б,[пЦ.
Поскольку Я(б,'[пЦ = 1, то Н (г) = Л (й [п1). Таким образом, дискретная передаточная функция импульсного фильтра есть г-преобразование его решетчатой весовой функции. Следовательно, правая часть выражения У(г)=Н(г) 6(г) является произведением изображений решетчатых функций й [п! и д [и], в соответствии со свойством г-преобразования равным изображению их свертки. Поэтому при переходе к оригиналу получим для выходной решетчатой функции л у [п] = ~~' й [т] д [и — т|. (7.5) я=О Частотные характеристики импульсных фильтров. Пусть выходной сигнал импульсного фильтра является решетчатой функцией синусоидального вида: д [п] = а з и (глпТ + гр), (7.6) где а, ~р и а — амплитуда, начальная фаза и частота: Т вЂ” период дискретности. При анализе удобно использовать ее символическую запись как последовательности комплексных чисел: а [п| = ае' ' " г ел = ае~т е1 "г = ае~'"" г, (7.7) мнимая составляющая которых совпадает с (7.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
