Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 49
Текст из файла (страница 49)
При этом каждая новая переменная требует введения одного промежуточного этапа на каждом шаге по времени. Другая группа методов расщепления основана на расщеплении задачи по физическим процессам. На каждом 'шаге по времени исходная сложная задача, описывающая некоторый физический процесс при наличии нескольких влияющих на него факторов, расщепляется на более простые задачи. В настоящее время имеется несколько схем расщепления по физическим процессам в вычислительной аэродинамике. Например, при исследовании течений сжимаемого газа каждый шаг по времени можно проводить в два этапа.
На первом из пих определяется изменение параметров течения под влиянием только давления без учета процессов переноса. Второй этап состоит в пересчете полученных на первом шаге промежуточных ре- вяз гл. 3. ~'Рлвнения с члстными пРОизВОдными зультатов с учетом процессов переноса. Изложение вопросов, связанных с построением указанных схем, можно найти в специальной литературе.
4. Уравнение Лапласа. Многие стационарные физические задачи (исследования потенциальных течений жидкости, определение формы нагруженной мембраны, задачи теплопроводности и диффузии в стационарных случаях и др.) сводятся к решению уравнения Пуассона вида д~У дУ дУ вЂ” +, + —, Г(х, у, г), (8,109) дх~ ду дх~ дУ д2С д~У вЂ” +— .д1 дхг ду2 (8.112) Если г'(х, у, з) =О, то уравнение (8.109) называется уравнением Лапласа. Для простоты будем рассматривать двумерное уравнение Лапласа д2~ Д2Ц вЂ”,, + —, = О, . (8.110) дх~ ду Решение этого уравнения будем искать для некоторой ограниченной области 6 изменения независимых переменных х, у, Границей области С является замкнутая линия Б.
Для полной формулировки краевой задачи кроме уравнения Лапласа нужно задать граничное условие на границе Ь. Примем его в виде с'(х, у)1, = ср(х, у). (8.111) Задача, состоящая в решении уравнения Лапласа (или Пуассона) при заданных значениях искомой функции на границе расчетной области, называется задачей Дирихле.
Одним из способов решения стационарных эллиптических задач, в том чпсле н краевой задачи (8.110), (8.111), является их сведение к решению некоторой фиктивной нестационарной задачи (гиперболической или параболической), найденное решение которой при достаточно больших значениях ~ близко к решению исходной задачи. Такой способ решения называется методом установления. Поскольку решение Г(х, у) уравнения (8.110) не зависит от времени, то можно в это уравнение добавить равный нулю (при точном решении) член дЕЧдЕ. Тогда уравнение (8.110) примет вид 9 3. УРАВнениЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 287 Это — известное нам уравнение теплопроводности, для которого в и.
3 уже строились разностные схемы. Остается только задать начальное условие. Его можно принять практически в произвольном виде, согласованном с граничными условиями. Положим Рис. 70. Шаблон для ураиневия Лапласа Граничное условие (8.111) при этом остается стационар. ным, т. е. не зависящим от времени. Процесс численного решения уравнения (8Л12) с условиями (8Л13), (8.111) состоит в переходе при ~- от произвольного значения (8.113) к искомому стационарному решению.
Счет ведется до выхода решения на стационарный режим. Естественно, ограничиваются решением при некотором достаточно большом ~, если искомые значения па двух последовательных слоях совпадают с заданной степенью точности. Метод установления фактически представляет итерационный процесс решения задачи (8.112), (8.113); (8Л11), причем на каждой итерации значения искомой функции получаются путем численного решения некоторой вспомогательной задачи.
В теории разностных схем показано, что этот итерационный процесс сходится к решению исходной задачи, если такое стационарное решение суще- с /+1 ствует. Для решения задачи Дирихле можно также построить разност- ~-1,,~' ~,/ ~+1,~' ную схему путем аппроксимации уравнения (8.110). Введем в прямоугольной области С сетку с по. мощью координатных прямых х = сопз$ и у = сопз1. Примем для с,,~'-1 простоты значения шагов по переменным х и у равными Ь (предполагается, что стороны области С соизмеримы).
Значения функции У в узлах (х;, у;) заменим значениями сеточной функции ии. Тогда, аппроксимируя в уравнении (8.110) вторыо производные с помощью отношений конечных разностей, получим разностное уравнение (шаблон изображен па рис. 70): и. — 2и. +и и. — 2и. +и..
~+ 1,3 Ц 1 — 1,2 7',2+1 з2 $,~ — 1 ГЪ гО,~ л р ~ 2 + 4~ Ь~ 288 гл. 8. уРАВнения с чАстными НРоизводными Данное уравнение можно представить в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно значений сеточной функции в узлах. Эту систему можно записать в виде и»+„,, + и»»»+ и»»+»+ и»,; » — 4и;, =О, (8.115) 1 = 1, 2, ..., 1 — 1, 1 = 1, 2, ..., У вЂ” 1. Значения сеточной функции в -узлах, расположенных на границе расчетной области, могут быть найдены из граничного условия (8.111): им — — ср(т„у;), и„= »р(х„у;), у = О, 1, ..., l; и;,=»р(х;, у,), и», =ср(х»» у,), ~=0, 1, ..., 1.
В теории разностных схем доказывается, что решение построенной разностной задачи существует, а сама схема устойчива. Перейдем теперь к практическому вычислению искомых значений, т. е. к решению системы (8.115). Каждое уравнение системы (за исключением тех, которые соответствуют узлам, расположенным вблизи границ) содержит пять неизвестных. Одним из наиболее распространенных методов решения этой системы линепных уравнений является итерационный метод.
Каждое из уравнений записываем в виде, разрешенном относительно значения ив в центральном узле (см. рис. 70): 1 иц = — (и;+1,;+и; 1;+ и;;~1+ и»,; 1). (8.116) Алгоритм решения задачи Дирихле с использованием итерационного метода решения разностных уравнений (8.116) изображен в виде блок-схемы на рис. 71. В представленном алгоритме предусмотрено вычисление начальных значений и;;. Иногда полагают ие = О для всех ~, у. Итерационный процесс контролируется максимальным отклонением М значений сеточной функции в узлах для двух последовательных итераций.
Если его величина достигнет некоторого заданного малого числа е, итерации прекращаются и происходит вывод результатов. Рассмотренные разностные схемы метода сеток используют конечно-разностные аппроксимации входящих 290 Гл. 8 уРАВнения с чАстными пРОизВоднытли в уравнения производных по всем переменным. В ряде случаев уравнение с частнымн производными удобно привести к системе обыкновенных дифферепцнальпых уравнений, в которых оставлены производные искомой функции лишь по одной переменной. Такой способ можно использовать и для решения уравнения Лапласа (8.110), Пусть требуется решить для него задачу Дприхле в прямоугольнике АВС0 (рис.
72). Разобьем прямоугольник на полосы с помощью прямых, паС раллельных оси х. Для опрег деленности проведем три отз резка г„г„г„которые разделят прямоугольник на четыре г1 полосы постоянной ширины Ь. г На каждом из этпх отрезков А О сеточная функция и зависит — з 0 а только от одной переменнои х, Рис, 72.
т. е. и;= и;(х) (г = 1, 2, 3). На отрезках го и г; значения и,(х) и и„. (х) заданы граничными условиями. Построим разностпую схему для определения значений сеточной функции и;(х). Аппроксимируя в уравнении (8.110) -вторую производную по у с помощью отношения конечных разностей, получаем ~2 Нх Ь' Таким образом, решение задачи Дирихле (8.110), (8.111) сводится к решению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (8А17) относительно значени|л искомой функции вдоль прямых г„7„г,. В этом состоит метод прямых, Граничные условия для уравнений (8.117) прп х = а, х = 6 можно получить из уравнений и;(а)=ср(а, у;), и,(Ь)=ср(Ь, у,), г=1, 2, 3. (8,118) Направление дискретизации у обычно легко выбрать в тех случаях, когда заранее известен характер поведения искомой функции; это направление должно соответствовать направлению наибольшей гладкости функции.
Метод прямых тпироко используется для решенпя не- стационарных задач. Например, если имеются две неза- упгх~кнепия 291 висимые переменные х, 1, а искомый параметр является гладкой функцией переменной х, то дискретизация вводится по этой переменной. Тогда исходная задача заменяется задачей Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида ди,/дх = ~(и;, Г). Упражнения 1. Решение линейного уравнения переноса ищется в ограниченной области, заданной в полярной системе координат (г, ~р): г, < г ( го О ( ~р ( л/2. Сформулировать математическую постановку задачи и построить разностные схемы ее решения; а) явную; б) неявную.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
