Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Однако такой способ годится только для гладких решений. При решении задач с разрывами такая сходимость решения к некоторому пределу при Ь вЂ” О может оказаться ложной, а получаемое при этом решение — неверным. Подобных ситуации можно избежать путем использования консервативных разностных схел~. Они основаны 'на дивергентной форме записи исходных уравнений. Поясним суть этой формы. При описании физических процессов исходные уравнения могут записываться в дифференциальной форме относительно искомых функций (например, плотности, давления, скорости и др.).
Существует и другая форма записи уравнений, т. е. когда в качестве искомых параметров Принимаются масса, энергия, количество дв1пкепия и т. п., а эти уравнения выражают законы сохранения этих параметров. Такая форма записи уравнений называется дивергентной, Формально квазилипейное уравнение переноса можно также записать в дивергентной форме: 2ея гл. 3. уРАВнения с чАстными пРоизводньпги или х 1 — 1 (8.69) Последнее уравнение представляет собой точное интегральное уравнение для данной ячейки. Обычно при исследовании физических процессов оно выражает закон сохранения. Аналогичное интегральное уравнение можно получить для всей расчетной области х, <х <х,, 0< ~< ~„если проинтегрировать уравнение (8.68) по этой области.
Оно имеет вид хо Уравнения (8.69) и (8.70) можно трактовать как физические законы сохранения. При этом, если просуммировать уравнение (8.69) по всем ячейкам, получается уравнение (8.70) для всей области. Таким образом, из законов сохранения по каждой ячейке следует закон сохранения для всей области. Схемы, не обладающие этим свойством, называются неконсервативными.
При их суммировании по всем ячейкам появляется некоторая величина, называемая дисбалансом, которая приводит к нарушению закона сохранения для всей области. Б консервативных схемах дисбаланс равен нулю. Приведем пример построения такой схемы. Для этого нужно использовать некоторый численный метод вычисления интегралов, входящих в уравнение (8.69). Воспользуемся для простоты формулой прямоугольников, причем узлы предполагаем совпадающими с узлами рассматриваемой разностной сетки. Окончательно получим разностную схему вида и~+1 — и~ (и'.)2 — (и) )2 + 1 1 — 1 26 Отсюда можно найти значение искомой функции на верхнем слое с помощью решения па нижнем слое.
Следовательно, это явная схема. Она обладает свойством консер- 2 2, УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 269 + 1э д 11(хг ~~ 'г1 г) ди да (8.71) ди дп а11 дг + а12дг + ди да а21дг + 22дг + 21 Коэффициенты а „, Ь,.„(пг, и = 1, 2) этой системы переменные и зависят от х, ~, гг, и. Введем следующие обозначения: Ь = (и, 21) — искомый вектор; Г= (~,, Д— вектор правой части; А,  — матрицы коэффициентов: ' 1 Запишем систему уравнений (8.71) в векторном виде: Для решения этого квазилинейного векторного уравнения могут быть использованы различные разностные схемы, которые применяются для решения одного уравнения.
вативности. Аналогичным образом, выбирая различные шаблоны, можно построить другие консервативные раз'ностные схемы. Консервативные схемы дают результаты с хорогпей точностью как для разрывных, так и непрерывных решений. Они оказались полезными при исследовании различных физических явлений. Конкретную схему для решения данной задачи выбирают с учетом требования этой задачи, предьявляемых к схеме (монотошюсть схемы, однородность, порядок аппроксимации и др.), которые. часто бывают противоречивы. Выбранная схема должна быть испытана на решении тестовых задач.
4. Системы уравнений. Характеристики. Для решения систем уравнений с частными производными первого порядка могут быть использованы различные разностные схемы метода сеток, разработанные для одного уравнения. С этой целью формально систему уравнений можно записать в векторной форме с помощью одного уравнения, и тогда вид разпостных формул сохраняется таким же, как и для скалярного уравнения. Разница состоит в том, что вместо скалярной сеточной функции вводится векторная. Рассмотрим систему двух квазплпнейных уравнений относительно искомых функций и(х, г), г(х, 8): 270 Гл.
8, уРлвнения с члстныыи пРОизВОдными Мы не будем повторять сказанное ранее для одного уравнения, а остановимся на одном частном случае системы (8.71), важном для приложений. Речь идет о системах гиперболического типа. Введем матрицу С = Аи— — В~, где а, р — некоторые числа. '1'огда определитель этой матрицы а ~х — Ь р а а — Ь,,~ с1е$ С = а,,а — Ь р а2~а — ЬЯ (8.73) является квадратичной формой относительно м, р, т. е.
йе1С = ~(я, р) = д,а"-+ д,сс~+ д,~', (8.74) где коэффициенты а„о,, д, легко выразить через элементы матриц А, В, раскрывая определитель (8.73). Система уравнений с частными производными первого порядка (8.71) называется гиперболической, если квадратичная форма (8.74) разлагается на вещественные линейные множители: Ч(сс, р) = (р сс — ~Д (р я — ~Д), причем векторы (р„~,), (р,, ъ,) неколлинеарны, Эти векторы в каждой точке плоскости (х, Е) образуют два направления, которые называются характеристическими. Линия, касательная к которой в каждой точке имеет характеристическое направление, называется характеристикой.
~1ерез каждую точку проходят две характеристики, соответствующие двум характеристическим направлениям. Таким образом, всю плоскость (х, ~) мон.но покрыть двумя семействами характеристик (рпс. 61). Заметим, что в случае системы уравнений (8.71) с постоянными коэффициентами характеристические направления, если они существуют, постоянны для всех точек плоскости. Им соответствуют два семейства прямолинейных характеристик. В самом общем случае, когда коэффициенты системы (8.71) зависят от х, ~, и, о, характеристики могут существовать в одной части плоскости (х, ~) и отсутствовать в другой. Следовательно, гиперболичность системы (8.71) может быть не на всей плоскости, а лишь в некоторой области. Наряду с гиперболическими системами существуют также параболические (с одним семейством характеристик) и эллиптические (действительных характеристик нет).
2. УРАВПЕ1П1Л ПЕРВОГО ПОРЯДКА 271 Характер11стики можно использовать для построения алгоритма численного решения системы уравнений с частными производными в области ее гиперболичности. Такой способ решения называется методом характеристик, Не приводя подробных выкладок и опуская сами формулы, изложим идею метода характеристик. Рассмотрим задачу Коши. Пусть при ~ = 0 заданы начальные значения функций и(х), и(х). Выбираем любой отрезок [а, б] на оси х и разбиваем его па части точками А0, А~, ..., А„ (рис, 62). В данном случае принято и = 4. Аа А~ А, А, А1 о Рис.
61. Характеристики Рис 62. Из точки А, проводим характеристику первого семейства, из А, — второго. Находим точку пересечения В,. Использу я некоторые соотношения (характеристические) вдоль отрезков характеристик А,В, и А,В„заменяющих исходные уравнения, вычисляем искомые функции в точке В,. Лналогично находим решение в других точках слоя В. Прп этом в отличие от метода сеток этот слой пе является прямолинейным отрезком 1 = сонары, а определяется точками пересечения характеристик. Далее вычисляем искомые значения в точках слоев С, Й и т. д. ??ри этом каждый раз (при решении задачи Коши) при переходе от слоя к слою число узлов уменьшается на единицу, так что на последнем слое получается лишь один узел. Область решения задачи Коши представляет собой криволинейный треугольник с кусочно гладкими сторонами.
При решении краевой задачи используются значения искомых функций на границах, В этом случае расчетная область изменяется: она прилегает к границе х = сонары, на которой заданы значения функции и, г. При этом 27~ гл. 8. уРАВнеш1я с чАстныып НРОизводными вблизи границы используются характеристики одного семейства, выходящие из границы и попадающие в расчетную область. Если граничные условия зада1отся при двух значениях х, то алгоритм метода характеристик значительно усложняется. Достоинством метода характеристик является то, что он основан на физической сущности задачи, поскольку возмущения распрострапя1отся по характеристикам.
Метод позволяет выявить разрывы в решении. Недостатком метода является нерегулярность получаемой сетки, поскольку узлы располагаются неравномерно (в точках пересечения характеристик) . Для устранения этого недостатка разработаны так называемые сеточно-хпрактерпстические л1етоды. Их идея состоит в том, что сетка фиксируется заранее, а характеристики проводятся «назад» пз узлов 1+ 1-го слоя до пересечения с 1-и слоем. Значения и, п в точках пересечения вычисляются путем интерполяции по ранее найденному решению / в узлах 1-го слоя. Геометрическая интерпретация '~с сеточно-характеристического метода Рис. 63 показана на рис, 63.
Здесь точками отмечены заранее выбранные узлы; штриховые линии — отрезки характеристик. Значения функций в точках пересечения А и В находятся интерполированием решения в узлах (1 — 1, 1), (1, у) и (1+ 1, ~),Эти значения используются для определения решения в расчетном узле (1, у+ 1). 8 3. Уравнения второго порядка 1. Волновое уравнение. Одним из наиболее распространенных в инженерной практике уравнений с частными производными второго порядка является волновое уравнение, описывающее различные виды колебаний. Поскольку колебания — процесс пестационарный, то одной из независимых переменных является время ~.
Кроме того, независимыми переменными в уравнении являются также пространственные координаты х, у, а. В зависимости от их количества различают одномерное, двумерное и трехмерное волновые уравнения. Однол1ерное волновое уравнение описывает продольные колебания стержня, сечения которого совершают з 3. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 273 плоскопараллельные колебательные движения, а также поперечные колебания тонкого стержня (струпы) и другие задачи. Двумерное волновое уравнение используется для исследования колебаний тонкой пластины (мембраны). Трехмерное волновое уравнение описывает распространение волн в пространстве (например, звуковых волн в жидкости, упругих волн в сплошной среде и т, и.).
Рассмотрим одномерное волновое уравнение, которое можно записать в виде з2ц з2ц а2 вх (8.75) Эти условия описывают начальную форму струны У— = 1р(х) и скорость ее точек 11~(х). На практике чаще приходится решать пе задачу Коши для бесконечной струпы, а смешанную задачу для ограниченной струны некоторой длины ~. В этом случае задают граничные условия па ее концах. В частности, при закрепленных концах пх смещения равны нулю, и граничные условия имеют вид О1„=, = О, И„=, = О. (8.77) Рассмотрим некоторые разностные схемы для решения задачи (8.75) — (8.77).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
