Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(8.26) .',Гогда Х+ !1 — 2Х~+~ =~„+1 — 21+ с, = 1. Эти соотноше- 2оо ГЛ. Я. УРАВПЕ11ПЯ С ЧАСТПЪ|З1И ПРОИЗВОДНЫМИ нпя используем для оценки сеточного решения (8.2э): шах ~ о';+' ~ = шах ~11:,' 1+ (1 — 2Х) е';+ Хп,'~1+ тД ~( о <1<1 О< 1<1 ( шах [г',! + т гпах )Д~. (8.27) о <1<1 1<1<1 — 1 Прп у =О, учитывая (8.24), получаегг „х ~1,', ~ т~ж о<~<1 где /~ — некоторое характернее значение функции ~ в узлах сетки, например 1ж = шах ~ ~;~. Лналогично прп у — 1 г,1 пз (8.27) с учетом (8.28) находим шах ~ г'; ~ ( шах ~ г,' ~ + т/ж ( 2т~ж. о<1<1 0<1<1 Следовательно, для некоторого характерного решения гж в рассматриваемой области получаем оценку вида иж ~ Ут1ж = с~ж.
(8.29) В качестве пж монино взять гж = шах ~ 1, ~. Это неравенство означает устойчивость разностнол схемы (8.7) по правой части при выполнении условия (8.26). Мо'кно показать, что при нарушении этого условия схема (8.7) будет неустойчивой. Исследования устойчивости разностной схемы лишь по правой части в данном случае достаточно, поскольку начальное и граничные условия здесь аппроксимируются точно.
Итак, явная схема (8.7) условно устойчива. Из аппроксимации и устойчивости следует ее сходимость со скоростью 0(й'+ т) . Для исследования устойчивости неявной разностной схемы (8.8) снова рассматривается по аналогии с (8.23) вспомогательная задача с однородными начальными и граничными условиями, но на этот раз неявная: и'+1 — З г!+' — 2И " + Рот 1 ~~1 1 1 — 1 1 Ь Отсгода для значений вспомогательной сеточной функции получается система линейных алгебраических уравнений Ц+1 — ('( + 2Х) и';~' + Хг';~+1 — — — 1"; — тД.
(8,30) ~~ 2, УРЛВПЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 251 Эта система мо~кет быть решена методом прогонки. Безусловная устойчивость неявной схемы (8.8) обеспечивается выполнением условий устойчивости метода прогонки для системы (8,30). Оценки устойчивости и сходпмости разпостпых схем можно провести путем измельчения сетки (Ь- О, т- О). Однако это приводит к существенному увеличению объема вычислений и возрастанию суммарных погрешностей. Многолетняя практика использования численных методов для решения инженерных задач па ЗВМ показывает, что применение чей или иной разностной схемы, даже если она исследована теоретически, требует ее тщательной апробации при решении конкретной задачи. Для этого проводятся методические вычислительные эксперименты, состоящие в расчетах с разными значениями шагов при разных исходных данных.
Полезно также отладить методику с помощью тестовых задач, для которых лиоо удается получить аналитическое решение, либо имеется численное решение, найденное другим численным методом. 1 2. Уравнения первого порядка 1. Линейное уравнение переноса. При классификации уравнений с частными производными (8.1) отмечалось, что уравнения первого порядка называются также уравнениями переноса.
Это объясняется тем, что такие уравнения описывают процессы переноса частиц в средах, распространения возмущений и т. и. В общем случае уравнения переноса могут иметь значительно более сложный вид (например, интегродифференциальное уравнение Больцмана в кинетической теории тазов). Однако здесь мы ограничимся линейным уравнением с частными производными первого порядка.
Его решение представляет интерес не только с практической точки зрения; в еще большей степени это уравнение полезно при разработке и исследовании разностных схем, Будем считать, что искомая функция У зависит от времени 7 и одной пространственной переменной т. Тогда линейное уравнение переноса может быть записано в виде дУ д7.7 — + а — = Г(х, е). (8.31) Здесь а — скорость переноса, которую будем считать постоянной и положительной, Это соответствует переносу 252 Гл 8 углвпенпл с члстнымн пРОпзводными (распространению возмущений) слева направо в положительном направлении оси х. Характеристики уравнения (8.31) определяются соотношениями х — а1= С, При постоянной а они являются прямыми линиями, которые в даном случае (а ) О) на- клонены вправо (рис.
48). Расчетная ооласть при решении уравнения (8.31) может быть как бесконечной, так и ограниченной. В первом случае, задавая начальное условие при ~ = 0: Г(х, 0) =Ф(х), (8.32)' Рис. 48. Область реп~ения получаем задачу Коши для полуплоскости (~~ О, -оо < ~х( ). На практике обычно приходится решать уравнение переноса в некоторой ограниченной области (например, в прямоугольнике 0 ~ ~ ~ У, 0 ~ х ~ 1; см.
рис. 48), Начальное условие (8.32) в этом случае задается на отрезке 1„граничное условие нужно задать при х = О, т. е. на отрезке 1„поскольку при а) 0 возмущения распространяются вправо. Это условие запишем в виде и(о, ~)=ч р). (8.33) Таким образом, задача состоит в решении уравнения (8.31) с начальным и граничным условиями (8.32) и (8.33) в ограниченной области С: 0<~< Т, 0<х<1.
Правильно (корректно) поставить данную задачу можно было бы с учетом вида решения уравнения (8,31), которое при Е(х, ~) = 0 имеет вид Г = Н(х — а1). (8.34) В этом легко убедиться, подставляя (8.34) в уравнение (8.31). Здесь П вЂ” произвольная дифференцируемая функция. Решение (8.34) называется бегуи~ей волной (со скоростью а).
Это решение постоянно вдоль каждой характеристики: при х — а~=С искомая функция У=Н(х— — а~) = П (С) постоянна. Таким образом, начальные и граничные условия переносятся вдоль характеристик, поэтому они должны задаваться на отрезках 1, и 1, расчетной области 6 (см. рис. 48). Можно также построить аналитическое решение задачи Коши для неоднородного уравнения (8.31), Заметим 253 $2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА лишь, что решение этой задачи меняется вдоль характеристики, а пе является постоянным. Рассмотрим разностные схемы для решения задачи (8.31) — (8.33). Построим в области 6 равномерную прямоугольную сетку с помощью прямых т =й (~=0, 1, ..., 7), ~,=~т (7'=О, ~,,~+1 1, ..., 'У) . Вместо функций С (т, ~), 7'(х, ~), Ф(т) и Ч'(~) будем рассматривать сеточные функции, значения которых в узлах (х», 1„) соответственно равны и';, Д, ср;, ф.
Для построения разност- с-1,,/ ~./ ной схемы необходимо выбрать шаблон. Рис. 49. 11раПримем его в виде правого нижнего уголка (рис 49) При этом входящие Уголок в уравнение (8.31) производные аппроксимируются конечно-разностными соотношениями с использованием односторонних разностей: ~~+ т ~1 Ы Ы (8.35) Решая разностное уравнение относительно единственного неизвестного значения и; на у + 1-м слое, получаем з 1-1 следующую разностную схему: и'; ' ' = Хи';, + (1 — Х) и1 + т~';, (8.36) Х=ат/Ь, ~=1, 2, ..., 1, !=О, 1, ..., У вЂ” 1. Полученная схема — явная, поскольку значения сеточной функции в каждом узле верхнего слоя ~ = 1,+, выражаются явно с помощью соотношений (8.36) через ранее найденные ее значения на предыдущем слое. Для начала счета по схеме (8,36), т.
е. для вычисления сеточной функции на. первом слое, необходимы ее значения на слое ~ =О. Они определяются начальным условием (8.32), которое записываем для сеточной функции: и'; = ср;, г = О, 1, ..., 1.- (8.37) Граничное условие (8.33) также записывается в сеточном виде: ио'='Ф', 1=1, 2, ..., Х (8.38) Таким образом, решение исходной дифференциальной задачи (8.31) — (8.33) сводится к решению разностной задачи (8.36) — (8.38), Найденные значения сеточной ~54 гл.
8, уРАБнвппя с члсте1ымп ПРОпзводнымп пршшмаются в качестве значений искомой узлах сетки. решения исходной задачи (8.3Х) — (8.33) с применением рассмотренной разностпой схемы достаточно прост. Е1а рис. 50 представлена его блок-схема. В соответствии с этим алгоритмом в памяти ЭВМ хранится весь двумерный массив и';, и он целиком выводится на печать по окончании счета.
С целью экономии памяти (и если эти результаты не понадобятся для дальнейшей обработки) можно хранить лишь значения сеточной функции на двух соседних слояхи;, и; 'Рекомендуем ~+1 читателю соответственным образом модифицировать представленный на рис. 50 алгоритм и построить новую блоксхему для двухслойной схемы. Укажем теперь некоторые свойства данной разностной схемы. Она аппроксимирует исходную задачу с первым порядком, т. е. невязка имеет порядок О (1г + т) . Схема условно устойчива; условие устойчивости имеет вид функции и'; функции У в Алгоритм 0 < т ( Уг/а. (8.39) Эти свойства схемы установлены в предположении, что решение С~(т, 1), начальное и граничное значения Ф (ж) и Ч" (~) дважды непрерывно дифи~п' линей~ ого ура~в~~ен~я ференцируемы, а правая часть переноса Г (х, 1) имеет непрерывные первые производные.
Поскольку схема (8.36) устойчива и аппроксимирует исходную задачу, то в соответствии с приведенной в 3 1 в 2. углвнения пеРвого порядкА 255 теоремой сеточное решение сходится к точному с первым порядком при Ь- О, т — О. Отметпм, что при а < О условие (8.39) не выполняется, и схема (8.36) не сходится. ь,,/+1 ~-1,/+1 .с„/+1 С„/ С+ 1~' Рис. 51. Левый нижний уголок Рис. 52. Правыи верхний уголок Можно построить 'сходящуюся схему и для случая а ( О. В качестве шаблона для построения разностной схемы для уравнения (8.31) примем левый нижний уголок (рис.
51). Разностпое уравнение в атом случае при-- мет вид (8.40) Эта схема является условно устойчивой (следовательно, сходящейся) при а ( О, если выполнено соотношение т< — Ыа, (8.41) иН1 и1 и~+1 ' ЦЯ 1 1 1 1 1 2 +а М (8.42) которое аналогично условию (8.39). При а) О эта схема не сходится. При построении явной разностной схемы (8.36) производная дГ/дх в уравнении (8.31) аппроксимировалась с помощью значений сеточной функции на /'-м слое; в результате получалось разпостпое уравнение (8.35), в котором использовано значение .сеточной функции и,' лищь в одном узле верхнего слоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
