Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Такой случай показан на рис. 57. Рассмотрим теперь другой случай. Пусть функция 1/о(х) монотонно убывает (или является такой хотя бы на небольшом участке). Тогда наклон характеристик прп движении слева направо увеличивается (рис. 58), что приведет к их пересечению. В точке пересечения решение не будет однозначным, поскольку каждая характеристика «принесет» в эту точку свое начальное значение. Поэтому в таких точках решение считается разрывным, Точки ~Я ГЛ.
З. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ разрыва образуют линию разрыва в рассматриваемой области решения, Различают два вида разрывов: слабые разрывы, когда терпят разрыв производные, и сильные разрывы — разрывы самого решения. Слабые разрывы в квазплинейном уравнении распространяются по характеристикам, сильные разрывы (в механике сплошных сред это обычно ударные волны) распространяются пе по характеристикам.
В точках разрыва производные неопределенны, поэтому уравнение теряет смысл. Следовательно, задачу нужно как-то доопределить, заменив в точках разрыва дифференциальные уравнения некоторыми конечными соотношениями. Рис. 58 Рис. 57 Пусть х = ~(г) — уравнение линир разрыва, Г- и Г" — значения решения соответственно слева и справа от точки разрыва, причем У ) У+ (только в этом случае происходит пересечение характеристик). Тогда значения производной ах/сй = ~р (1) на линии разрыва определяют по формуле с~'(~)=(У + Г)/2, У-) У+.
(8.57) Зто соотноптение на линии разрыва заменяет дифференциальное уравнение. Таким образом, решение задачи (8.53), (8.54), (8.57) ищется в классе разрывных функций. Перейдем к рассмотрению численных методов решения данной задачи. Они подразделяются на две основные группы: методы с выделением разрывов и методы сквоз-. ного счета. Методы с выделением разрывов являются модификациями рассмотренных выше методов. Различие состоит в том, что во всей области решение ищется обычным способом, а в окрестности линий разрыва счет проводит- 6 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 263 ся нестандартным образом.
При этом обычно требуется найти сначала точки разрыва, которые к тому же не являются расчетными узлами. Такой естественный способ нахождения разрывных решений отпугивает многих пользователей сложностью алгоритма. В методах сквозного счета разрыв не выделяется, и весь расчет проводится по единой схеме, что весьма выгодно при организации вычислений на ЭВМ; Разностные схемы, используемые для таких расчетов, называются однородными. Однако в этих схемах разрыв перестает быть разрывом в смысле изменения решения в одной точке.
Оп растягивается на несколько расчетных узлов, «размазывается». Рассмотрим этот вопрос подробнее, На рис. 59 изображено точное решение У в некоторый момент времени ~сплошная линия). В точке х, имеется разрыв, причем для простоты значения функции слева (У ) и справа (У+) приняты постоянными. При использовании некоторого метода сквозного счета получились значения сеточной функции, отмеченные точками.
Мы видим, что сеточная функция является монотонной (в данном случае она не возрастает). хо Рис. 59. Разрывное решение Схемы, которые сохраняют монотонность решения разностной задачи, называются монотонными. В теории разпостпых схем доказывается следующий необходимый и достаточный признак монотонности линейной схемы. Теорема.
Явная двухслойная разностная схема вида ,Н-1 и; = а1и; ц + а,и, А+1 + ... + а„и;+~ (8,58) монотонна тогда и только тогда, когда а„а... а„— неотрицательные числа,— ~64 гл, 8. уРАВ11ения с члстными пРОизВОдными У; х(а1, У=в Г, х.: аг; (8.60) Можно также показать, что для линейного уравнения переноса такие схемы могут иметь только первый порядок точности. Схемы высших порядков точности не являются монотонными. На рис. 59 штриховой линией отмечено решение, которое может быть получено сквозным счетом с использованием схемы второго порядка. Здесь наблюдается нарушение монотонности сеточной функции.
«Размазывание» разрывов решения при переходе от дифференциальной задачи ' к аппроксимирующей ее разностной схеме объясняется наличием в схеме так называемой аппроксил~аоионной вязкости. В частности, схемы (8.36), (8.43) первого порядка точности обладают аппроксимационной вязкостью, а схема второго порядка (8.45) ею не обладает.
Понятие аппроксимационной вязкости применимо только для линейных разностных схем вида (8,58).- Одним из приемов, используемых для расчета разрывных решений в рамках нелинейных уравнений (и, в частности, квазилинейных), является введение понятия искусственной вязкости (или псввдовязкости).
Этот прием позволяет превратить разрывные решения в непрерывные и при этом достаточно гладкие. С этой целью в исходное ' уравнение вводится малая добавка (возмущение), и разрывное решение может быть получено как предел введенного гладкого решения при стремлении к пулю параметра возмущения. Итак, вместо исходного квазилинейного уравнения (8.53) рассмотрим уравнение — +г — + — ' —.~ — ~ =о.
дУ дУ 8 д 1дГЛ д~ дх 2 дх1дх~ (8,59) Последний член этого уравнения есть искусственная вязкость, при этом параметр е мал. Ясно, что при малом значении е решения уравнений (8.53) и (8.59) при одинаковых начальных условиях будут близкими, если эти решения достаточно гладкие (вторая производная ограничена). Рассмотрим теперь разрывное решение исходной задачи (8.'3), (8,54). Пусть это решение представляет собой ступенчатую функцию (см. рис. 59) 5 2.
УРАВнеппЯ пеРВОГО пОРЯДкА Зто решение можно трактовать как ударную волну, движущуюся со скоростью а. При этом У, У+ — некоторые постоянные. Легко убедиться в том, что функция (8.60) удовлетворяет как квазилинейному уравнению (8.53), так и соотношению (8.57), заменяющему на лиш1и разрыва дифференциальное уравнение. Построим решение уравнения (8.59) . Будем искать это решение в виде Е7,(х, К) =/(х — аХ).
(8.62) На это решение можно наложить асимптотическое условие, которое состоит в том, что вдали от разрыва решение У,(х, ~) уравнения (8,59) и решение с'(х, ~) уравнения (8.53), являющиеся гладкими функциями, близки, т, е. (8.63) !(х — а1) - У~, х— Решение (8.62) подставим в уравнение (8.59). При этом учтем, что функция !(х — а1) является сложной функцией одного аргумента г = х — аг. Ее производные равны дУ д! дх у/ дх дг дх дУ Ы/ дд !/ д6 ~Й дЕ 'д Подставляя этп выражения в уравнение (8.59), получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение относительно искомой функции !(х — аЕ): — а!'+ !!'+ е"!'!" = О, !' (е'! ' + ! — а) = О.
Приравнивая нулю ка"кдый из сомножителей, получаем два значения функции !: !~ = С~, !. = а + С, я и ~ (х — и~) /е1, (8.64) где С„С~ — постоянные. Из значений (8.64) с учетом (8.60), (8.61) можно построить решение, напоминающее «размазанную» ударную 26д гл. 8. уРлвненпя с члстпыми пгоизводнън1И волну (рис. 60), которое имеет вид х — а1 й — < —— (8.65) Это — гладкое решение, оно имеет даже кусочно непрерывную вторую производную. При малом ь' зона перехода от Г к с1+ мала и решение близко к разрывному. Таким образом, вместо нахождения разрывного решения задачи (8.53), (8.54), (8.57) можно искать непрерывное решение уравнения (8.59) — О 'при малых значениях е.
А это Рис, 60. Реше е с искус- уравнение решается с по- ственной вязкостью мошью однородных разностных схем. Следует при этом обратить внимание на выбор шага Ь (а для неявных схем также т), с тем чтобы в области разрыва располагалось хотя бы несколько узлов. Примером разностной схемы для уравнения (8.59) с искусственной вязкостью может быть следующая схема: — а ° и,— и 3+1 1 1 1 Ь 2 й Упрощая это выражение и разрешая его относительно неизвестного значения сеточной функции на 1+ 1-и слое, пол5 чаем ~+1 1 т ~ ~ 1 и =и.— — и (и.— и 11— 1 2~ — ' —;(и',+1 — и', 1) (и';+, — и';+ и'; 1). (8.66) 2й~ 5 2.
УРЛВПЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 267 Зта явная схема условно устойчива при выполнении не- равенства т ~ й/У(х, ~), (8.67) (8. 68) Проинтегрируем это уравнение по ячейке х,, = х ( х„ 12(~~ ~у 1'. х~ х И~ —;Ю+ д~ .~ ~~' —, ~й = О, в котором роль скорости распространения возмущения а (для линейного уравнения) .играет сама функция У. Разностпая схема (8.66) пригодна для решения задач при наличии движущихся разрывов. 3.
Консерватнвнь1е схемы. Для нелинейных уравнений и соответствующих им разностных схем трудно доказывать сходимость. Поэтому пользуются часто так называемым понятием прпктнчесхой сходи ности. Она состоит в том, что расчеты по данной схеме проводят многократно па сгущающейся сетке. Сходимость к некоторому решению является подтверждением достоверности результатов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
